Матриця коваріації — це тип матриці, який використовується для опису значень коваріації між двома елементами у випадковому векторі. Вона також відома як матриця дисперсії-коваріації, оскільки дисперсія кожного елемента представлена ​​вздовж головної діагоналі матриці, а коваріація представлена ​​серед недіагональних елементів. Коваріаційна матриця зазвичай є квадратною матрицею. Він також позитивно напіввизначений і симетричний. Ця матриця стає в нагоді, коли справа стосується стохастичного моделювання та аналізу головних компонент.

Що таке коваріаційна матриця?

The дисперсія -коваріаційна матриця є a квадратна матриця з діагональними елементами, які представляють дисперсію, і недіагональними компонентами, які виражають коваріацію. Коваріація змінної може приймати будь-яке дійсне значення - позитивне, негативне або нульове. Позитивна коваріація свідчить про те, що дві змінні мають позитивний зв’язок, тоді як негативна коваріація вказує на те, що вони не пов’язані. Якщо два елементи не змінюються разом, вони мають нульову коваріацію.

Вивчайте більше, Діагональна матриця

Приклад коваріаційної матриці

Припустимо, є 2 набори даних X = [10, 5] і Y = [3, 9]. Дисперсія набору X = 12,5 і дисперсія набору Y = 18. Коваріація між обома змінними дорівнює -15. Коваріаційна матриця має такий вигляд:

egin{bmatrix} Variance~of~Set~X & Coorelation~of~Both~Sets Coorelation~of~Both~Sets& Variance~of~Set~Y end{bmatrix}=egin{bmatrix} 12.5 & -15 -15& 18 end{bmatrix}

Формула коваріаційної матриці

Загальний вигляд коваріаційної матриці має такий вигляд:

де,

• Дисперсія зразка: де (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
• Зразок коваринації: (x₁, і₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Дисперсія популяції: де (x_п) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Коваріація населення: (x_п, і_п) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

тут, м це середнє значення чисельності населення

overline x є середнім значенням вибірки

п це кількість спостережень

х _i є спостереженням у наборі даних x

Давайте подивимося формат коваріаційної матриці 2 ⨯ 2 і 3 ⨯ 3

2 ⨯ 2 Коваріаційна матриця

Ми знаємо, що в 2 ⨯ 2 матриця є два рядки і два стовпці. Отже, 2 ⨯ 2 коваріаційну матрицю можна виразити якegin{bmatrix}mathrm{var(x)}& mathrm{cov(x,y)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)}end{bmatrix}

3 ⨯ 3 Коваріаційна матриця

У матриці 3⨯3 є 3 рядки та 3 стовпці. Ми знаємо, що в коваріаційній матриці діагональні елементи є дисперсією, а недіагональні елементи є коваріацією. Отже, 3⨯3 коваріаційну матрицю можна надати якegin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

Як знайти коваріаційну матрицю?

Розміри коваріаційної матриці визначаються кількістю змінних у даному наборі даних. Якщо в наборі є лише дві змінні, то коваріаційна матриця матиме два рядки та два стовпці. Подібним чином, якщо набір даних має три змінні, то його коваріаційна матриця матиме три рядки та три стовпці.

Дані стосуються оцінок, набраних Анною, Керолайн і Лаурою з психології та історії. Складіть коваріаційну матрицю.

Необхідно виконати наступні кроки:

Крок 1: Знайдіть середнє значення змінної X. Підсумуйте всі спостереження за змінною X і розділіть отриману суму на кількість доданків. Отже, (80 + 63 + 100)/3 = 81.

10 з 10

Крок 2: Відніміть середнє значення з усіх спостережень. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

крок 3: Візьміть отримані вище різниці в квадрати і потім складіть їх. Таким чином, (80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)².

крок 4: Знайдіть дисперсію X, поділивши значення, отримане на кроці 3, на 1 менше, ніж загальна кількість спостережень. var(X) = [(80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)²] / (3 – 1) = 343.

крок 5: Так само повторіть кроки з 1 по 4, щоб обчислити дисперсію Y. Var(Y) = 633.

Крок 6: Виберіть пару змінних.

Крок 7: Відніміть середнє значення першої змінної (X) від усіх спостережень; (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

Крок 8: Повторіть те саме для змінної Y; (70 – 47), (20 – 47), (50 – 47).

Крок 9: Перемножте відповідні доданки: (80 – 81)(70 – 47), (63 – 81)(20 – 47), (100 – 81)(50 – 47).

Крок 10: Знайдіть коваріацію, додавши ці значення та поділивши їх на (n – 1). Cov(X, Y) = (80 – 81)(70 – 47) + (63 – 81)(20 – 47) + (100 – 81)(50 – 47)/3-1 = 481.

Крок 11: Використовуйте загальну формулу для коваріаційної матриці, щоб упорядкувати члени. Матриця стає:egin{bmatrix} 343 & 481 481& 633 end{bmatrix}

Властивості коваріаційної матриці

Нижче наведено властивості коваріаційної матриці:

• Коваріаційна матриця завжди квадратна, це означає, що кількість рядків у коваріаційній матриці завжди дорівнює кількості стовпців у ній.
• Коваріаційна матриця завжди симетрична, що означає, що транспонувати коваріаційної матриці завжди дорівнює вихідній матриці.
• Коваріаційна матриця завжди додатна і напіввизначена.
• The власні значення коваріаційної матриці завжди дійсні та невід’ємні.

Детальніше,

• Типи матриць
• Множення матриць
• Дисперсія та стандартне відхилення

Вирішені приклади на коваріаційній матриці

Приклад 1: Оцінки, набрані трьома учнями з фізики та біології, наведені нижче:

Обчисліть коваріаційну матрицю за наведеними вище даними.

рішення:

Зразок коваріаційної матриці заданоfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

Тут μ_х= 84, n = 3

вар(х) = [(92 – 84)²+ (60 – 84)²+ (100 – 84)²] / (3 – 1) = 448

Отже, μ_і= 60, n = 3

вар(y) = [(80 – 60)²+ (30 – 60)²+ (70 – 60)²] / (3 – 1) = 700

випадкова математика java

Тепер cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84)(80 – 60) + (60 – 84)(30 – 60) + (100 – 84)(70 – 60)] / (3 – 1) = 520.

Коваріаційна матриця генеральної сукупності подається як:egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}

Приклад 2. Підготуйте коваріаційну матрицю сукупності з наступної таблиці:

рішення:

Дисперсія популяції визначається якfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} .

Тут μ_х= 56,5, n = 4

вар(х) = [(68 – 56,5)²+ (60 – 56,5)²+ (58 – 56,5)²+ (40 – 56,5)²] / 4 = 104,75

Отже, μ_і= 30, n = 4

вар(y) = [(29 – 30)²+ (26 – 30)²+ (30 – 30)²+ (35 – 30)²] / 4 = 10,5

Тепер cov(x, y) =frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4}

cov(x, y) = -27

Коваріаційна матриця генеральної сукупності подається як: egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix}

Приклад 3. Інтерпретуйте наступну коваріаційну матрицю:

egin{bmatrix} & X & Y & Z X & 60 & 32 & -4 Y & 32 & 30 & 0 Z & -4 & 0 & 80 end{bmatrix}

рішення:

1. Діагональні елементи 60, 30 і 80 вказують дисперсію в наборах даних X, Y і Z відповідно. Y показує найменшу дисперсію, тоді як Z відображає найбільшу дисперсію.
2. Коваріація для X і Y дорівнює 32. Оскільки це додатне число, це означає, що коли X збільшується (або зменшується), Y також збільшується (або зменшується)
3. Коваріація для X і Z становить -4. Оскільки це від’ємне число, це означає, що коли X збільшується, Z зменшується, і навпаки.
4. Коваріація для Y і Z дорівнює 0. Це означає, що між двома наборами даних немає передбачуваного зв’язку.

Приклад 4. Знайти зразкову коваріаційну матрицю для таких даних:

рішення:

Зразок коваріаційної матриці заданоfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

n = 5, м_х= 22,4, вар(X) = 321,2 / (5 – 1) = 80,3

пріоритет оператора java

м_і= 12,58, вар.(Y) = 132,148 / 4 = 33,037

м_с= 64, вар(Z) = 570 / 4 = 142,5

cov(X, Y) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76

cov(X, Z) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97

cov(Y, Z) = frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87

Коваріаційна матриця задається як:

egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}

Поширені запитання щодо коваріаційної матриці

1. Визначте коваріаційну матрицю

Коваріаційна матриця — це тип матриці, який використовується для опису значень коваріації між двома елементами у випадковому векторі.

2. Що таке формула для коваріаційної матриці?

Формула для коваріаційної матриці подана як

left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight]

Де, Дисперсія зразка: де (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}

• Зразок коваринації: (x₁, і₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Дисперсія популяції: де (x_п) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Коваріація населення: (x_п, і_п) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

3. Яка загальна форма 3 ⨯ 3 коваріаційної матриці?

Загальний вигляд 3 × 3 коваріаційної матриці надається таким чином:

egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

4. Які властивості коваріаційної матриці?

Коваріаційна матриця є квадратною матрицею, яка також є симетричною за своєю природою, тобто транспонування вихідної матриці дає вихідну матрицю.

5. У яких секторах можна використовувати коваріаційну матрицю?

Коваріаційна матриця використовується в галузі математики, машинного навчання, фінансів та економіки. Коваріаційна матриця використовується в розкладі Чолскі для виконання моделювання Монте-Карло, яке використовується для створення математичних моделей.