Матриця — це прямокутний масив чисел, символів, точок або символів, кожен з яких належить до певного рядка та стовпця. Матрицю ідентифікують за її порядком, який подано у формі рядків ⨯ і стовпців. Числа, символи, точки або символи, присутні всередині матриці, називаються елементами матриці. Розташування кожного елемента визначається рядком і стовпцем, до якого він належить.

Матриці важливі для учнів 12 класу, а також мають велике значення в інженерній математиці. У цій вступній статті про матриці ми детально дізнаємось про типи матриць, транспонування матриць, ранг матриць, приєднані та обернені матриці, визначники матриць та багато іншого.

Зміст

• Що таке матриці?
• Порядок матриці
• Приклади матриць
• Операція над матрицями
• Додавання матриць
• Скалярне множення матриць
• Множення матриць
• Властивості додавання та множення матриць
• Транспонування матриці
• Слід Матриці
• Типи матриць
• Визначник матриці
• Обернена до матриці
• Розв’язування лінійного рівняння за допомогою матриць
• Ранг матриці
• Власне значення та власні вектори матриць

Що таке матриці?

Матриці — це прямокутні масиви чисел, символів або символів, де всі ці елементи розташовані в кожному рядку та стовпці. Масив — це набір елементів, розташованих у різних місцях.

Припустімо, що точки розташовані в просторі, кожна з яких належить певному місці, тоді формується масив точок. Цей масив точок називається матрицею. Елементи, що містяться в матриці, називаються елементами матриці. Кожна матриця має кінцеву кількість рядків і стовпців, і кожен елемент належить лише до цих рядків і стовпців. Кількість рядків і стовпців у матриці визначає порядок матриці. Скажімо, матриця має 3 рядки та 2 стовпці, тоді порядок матриці задається як 3⨯2.

Матриці Визначення

Прямокутний масив чисел, символів або знаків називається матрицею. Матриці ідентифікуються за їх порядком. Порядок матриць задано у вигляді кількості рядків ⨯ кількості стовпців. Матриця представлена ​​як [P]_m⨯nде P — матриця, m — кількість рядків і n — кількість стовпців. Матриці в математиці корисні для розв’язування численних задач лінійних рівнянь та багатьох інших.

Порядок матриці

Порядок матриці говорить про кількість рядків і стовпців у матриці. Порядок матриці представляється як кількість рядків, помножена на кількість стовпців. Скажімо, якщо матриця має 4 рядки та 5 стовпців, то порядок матриці буде 4⨯5. Завжди пам’ятайте, що перше число в порядку означає кількість рядків у матриці, а друге число означає кількість стовпців у матриці.

Приклади матриць

Приклади матриць наведені нижче:

приклад: egin{bmatrix} 1 & 2 3 &4 end{bmatrix}_{2 imes 2},egin{bmatrix} 1 & -1 & 2 3 & 2 & 6 4 & -2& 5\end{bmatrix}_{3 imes3}

Операція над матрицями

Матриці піддаються різноманітним математичним операціям, таким як додавання, віднімання, скалярне множення та множення. Ці операції виконуються між елементами двох матриць, щоб отримати еквівалентну матрицю, яка містить елементи, отримані в результаті операції між елементами двох матриць. Давайте вивчимо операція матрицями .

Додавання матриць

в додавання матриць , елементи двох матриць додаються, щоб отримати матрицю, яка містить елементи, отримані як сума двох матриць. Додавання матриць виконується між двома матрицями одного порядку.

Приклад: Знайдіть суму old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} і old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

рішення:

внутрішня робота hashmap

Тут ми маємо A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}і B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

A + B =egin{bmatrix} 1& 2 4& 5 end{bmatrix}+egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ A + B =egin{bmatrix} 1 + 2 & 2 + 3 4 + 6& 5 + 7 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 3 & 5 10& 12 end{bmatrix}

Віднімання матриць

Віднімання матриць — це різниця між елементами двох матриць одного порядку для отримання еквівалентної матриці того самого порядку, елементи якої дорівнюють різниці елементів двох матриць. Віднімання двох матриць можна представити в термінах додавання двох матриць. Скажімо, нам потрібно відняти матрицю B від матриці A, тоді ми можемо записати A – B. Ми також можемо переписати це як A + (-B). Розв’яжемо приклад

Приклад: відніміть old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} від old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix} }.

Припустимо A =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}і B =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

A – B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}–egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

⇒ A – B =egin{bmatrix} 2 – 1 & 3 – 2 6 – 4 & 7 – 5 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 1 2 & 2 end{bmatrix}

Скалярне множення матриць

Скалярне множення матриць означає множення кожного члена матриці на скалярний член. Якщо скалярне число «k» помножити на матрицю, тоді еквівалентна матриця міститиме елементи, що дорівнюють добутку скаляра на елемент вихідної матриці. Давайте подивимося на приклад:

Приклад: помножити 3 на old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}}.

3[A] =egin{bmatrix} 3 imes1 & 3 imes 2 3 imes4& 3 imes5 end{bmatrix}

⇒ 3[A] =egin{bmatrix} 3 & 6 12& 15 end{bmatrix}

Множення матриць

В множення матриць , дві матриці перемножуються, щоб отримати одну еквівалентну матрицю. Множення виконується таким чином, що елементи рядка першої матриці множаться з елементами стовпців другої матриці, а добуток елементів додається, щоб отримати один елемент еквівалентної матриці. Якщо матриця [A]_i⨯jмножиться на матрицю [B]_j⨯kтоді добуток подається як [AB]_i⨯k.

Давайте подивимося на приклад.

Приклад: Знайдіть добуток old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} і old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

рішення:

Нехай A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}і B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 imes2+2 imes6 & 1 imes3+2 imes7 4 imes2+5 imes6& 4 imes3+5 imes7 end{bmatrix}

⇒AB = egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

Властивості додавання та множення матриць

Нижче наведено властивості, за якими слідує Множення та додавання матриць:

• A + B = B + A (комутативний)
• (A + B) + C = A + (B + C) (асоціативний)
• AB ≠ BA (не комутативний)
• (AB) C = A (BC) (Асоціативний)
• A (B+C) = AB + AC (розподільний)

Транспонування матриці

Транспонування матриці це в основному перегрупування елементів рядка в стовпці та елементів стовпця в рядку для отримання еквівалентної матриці. Матриця, в якій елементи рядка вихідної матриці розташовані в стовпцях або навпаки, називається транспонованою матрицею. Матриця транспонування представлена ​​як A^Т. якщо A = [a_ij]_mxn, потім А^Т= [б_ij]_nxmде b_ij= а_від.

Давайте подивимося на приклад:

приклад: Знайдіть транспонування egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix} .

рішення:

Нехай A =egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

⇒ А^Т=egin{bmatrix} 18 & 38 17& 47 end{bmatrix}

Властивості транспонування матриці

Нижче наведено властивості транспонування матриці:

• (А^Т)^Т= А
• (A+B)^Т= А^Т+ Б^Т
• (AB)^Т= Б^ТА^Т

Слід Матриці

Слід матриці є сумою головних діагональних елементів квадратної матриці. Слід матриці можна знайти лише у випадку квадратної матриці, оскільки діагональні елементи існують лише в квадратних матрицях. Давайте подивимося на приклад.

Приклад: Знайти слід матриці egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

рішення:

Припустимо A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Слід (A) = 1 + 5 + 9 = 15

Типи матриць

Матриці поділяються на різні типи залежно від кількості наявних рядків і стовпців і показаних спеціальних характеристик.

• Матриця рядків : Матриця, в якій є тільки один рядок і немає стовпців, називається матрицею рядків.
• Матриця стовпців : Матриця, в якій є лише один стовпець, а тепер рядок, називається матрицею стовпців.
• Горизонтальна матриця: Матриця, в якій кількість рядків менша за кількість стовпців, називається горизонтальною матрицею.
• Вертикальна матриця: Матриця, у якій кількість стовпців менша за кількість рядків, називається вертикальною матрицею.
• Прямокутна матриця : Матриця, в якій кількість рядків і стовпців неоднакова, називається прямокутною матрицею.
• Квадратна матриця : Матриця, в якій кількість рядків і стовпців однакова, називається квадратною матрицею.
• Діагональна матриця : Квадратна матриця, у якій недіагональні елементи дорівнюють нулю, називається діагональною матрицею.
• Нульова або нульова матриця : Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою матрицею. Нульова матриця також називається нульовою матрицею.
• Одиниця або матриця ідентифікації : Діагональна матриця, усі діагональні елементи якої дорівнюють 1, називається одиничною матрицею. Одиничну матрицю також називають матрицею тотожності. Матриця ідентичності представлена ​​I.
• Симетрична матриця : Квадратна матриця називається симетричною, якщо транспонування вихідної матриці дорівнює вихідній матриці. тобто (А^Т) = А.
• Кососиметрична матриця : Кососиметрична (або антисиметрична чи антиметрична [1]) матриця — це квадратна матриця, транспонування якої дорівнює від’ємному значенню, тобто (A^Т) = -A.
• Ортогональна матриця: Матриця називається ортогональною, якщо АА^Т= А^ТА = Я
• Ідемпотентна матриця: Матриця називається ідемпотентною, якщо A²= А
• Інволютивна матриця: Матриця називається інволютивною, якщо A²= Я.
• Верхня трикутна матриця : Квадратна матриця, в якій усі елементи нижче діагоналі дорівнюють нулю, відома як верхня трикутна матриця
• Нижня трикутна матриця : Квадратна матриця, в якій усі елементи над діагоналлю дорівнюють нулю, називається нижньою трикутною матрицею
• Сингулярна матриця : Квадратна матриця називається сингулярною, якщо її визначник дорівнює нулю, тобто |A|=0
• Несингулярна матриця: Квадратна матриця називається неособливою, якщо її визначник відмінний від нуля.

Примітка: Кожну квадратну матрицю можна однозначно виразити як суму симетричної матриці та косо-симетричної матриці. A = 1/2 (A^Т+ A) + 1/2 (A – A^Т).

Вивчайте більше, Типи матриць

Визначник матриці

Визначник матриці це число, пов’язане з цією квадратною матрицею. Визначник матриці можна обчислити лише для квадратної матриці. Він представлений |A|. Визначник матриці обчислюється додаванням добутку елементів матриці на їхні співмножники.

Визначник матриці

Давайте подивимося, як знайти визначник квадратної матриці.

Приклад 1: Як знайти визначник квадратної матриці 2⨯2?

перегляди та таблиці

Припустимо, у нас є матриця A =egin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}

Тоді визначником A є |A| = ad – bc

Приклад 2: Як знайти визначник квадратної матриці 3⨯3?

Скажімо, у нас є 3⨯3 матриця A =egin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}

Тоді |A| = a(-1)¹⁺¹egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}+ b(-1)¹⁺²egin{vmatrix} d& f g & i end{vmatrix}+ c(-1)¹⁺³egin{vmatrix} d& e g & h end{vmatrix}

Мінор матриці

Мінор матриці для елемента задається визначником матриці, отриманим після видалення рядка та стовпця, до якого належить конкретний елемент. Мінор матриці представлений Mij. Давайте подивимося на приклад.

приклад: Знайдіть мінор матриціegin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}для елемента «а».

Мінор елемента «а» подається як М₁₂=egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}

Кофактор матриці

Кофактор матриці визначається множенням мінора матриці для даного елемента на (-1)i+j. Кофактор матриці представлено як Cij. Отже, відношення між мінором і кофактором матриці подається як Mij = (-1)^i+jMij. Якщо ми впорядкуємо всі отримані кофактори для елемента, то отримаємо матрицю кофакторів, подану як C =egin{bmatrix} c_{11} & c_{12}& c_{13} c_{21} & c_{22} & c_{23} c_{31} & c_{32} &c_{33} end{bmatrix}

Вивчайте більше , Мінори та кофактори

Приєднаний до матриці

Ад’юнт обчислюється для квадратної матриці. Ад’юнт матриці є транспонуванням кофактора матриці. Таким чином, ад’юнт матриці виражається як adj(A) = C_Тде C — матриця кофакторів.

Скажімо, наприклад, у нас є матриця
A = egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}
потім
mathrm{adj(A)} = egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}^T Rightarrow mathrm{adj(A)} =egin{bmatrix} A_1 & A_2 & A_3 B_1 & B_2 & B_3 C_1 & C_2 & C_3 end{bmatrix}
де,
egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}є кофактором матриці A.

Властивості ад’юнта матриці

Нижче наведено властивості ад’юнта матриці:

• A(Adj A) = (Adj A) A = |A| я_п
• Adj(AB) = (Adj B) . (Adj A)
• |Adj A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1Adj(A)
• |adj(adj(A))| =|A| ^ (n-1) ^ 2
• adj(adj(A)) = |A|^(n-2)× А
• Якщо A = [L,M,N], тоді adj(A) = [MN, LN, LM]
• adj(I) = I {де I — матриця ідентифікації}

Де n = кількість рядків = кількість стовпців

Обернена до матриці

Матриця називається an обернена матриця «A», якщо матрицю зведено до степеня -1, тобто A-1. Зворотне значення обчислюється лише для квадратної матриці, детермінант якої відмінний від нуля. Формула оберненої матриці задається так:

А^-1= adj(A)/det(A) = (1/|A|)(Adj A), де |A| не має дорівнювати нулю, що означає, що матриця A має бути неособливою.

Властивості, обернені до матриці

• (А^-1)^-1= А
• (AB)^-1= Б^-1А^-1
• лише неособлива квадратна матриця може мати обернену.

Елементарна операція над матрицями

Елементарні операції над матрицями виконуються для розв’язування лінійного рівняння та знаходження оберненого до матриці. Елементарні операції між рядками і між стовпцями. Існує три типи елементарних операцій, які виконуються для рядків і стовпців. Ці операції згадуються нижче:

Елементарні операції над рядками включають:

• Міняючи місцями два ряди
• Множення рядка на ненульове число
• Додавання двох рядків

Елементарні операції над стовпцями включають:

• Міняючи місцями два стовпчики
• Множення стовпця на ненульове число
• Додавання двох стовпців

Доповнена матриця

Матриця, утворена об’єднанням стовпців двох матриць, називається Доповнена матриця . Розширена матриця використовується для виконання елементарних операцій із рядками, розв’язання лінійного рівняння та знаходження оберненого до матриці. Розберемося на прикладі.

Скажімо, у нас є матриця A =egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}, X =egin{bmatrix} x y z end{bmatrix}і B =egin{bmatrix} p_{1} p_{2} p_{3} end{bmatrix}тоді розширена матриця формується між A і B. Розширена матриця для A і B задається як

[A|B] =left[egin{array}lll a_1 & b_1 & c_1&p_1 a_2 & b_2 & c_2&p_2 a_3 & b_3 & c_3 &p_3end{array} ight]

Розв’язування лінійного рівняння за допомогою матриць

Матриці використовуються для вирішення лінійних рівнянь. Для розв’язання лінійних рівнянь потрібно скласти три матриці. Перша матриця складається з коефіцієнтів, друга матриця – змінних, а третя матриця – констант. Зрозуміємо це на прикладі.

Скажімо, у нас є два рівняння, подані як a₁x + b₁y = c₁і а₂x + b₂y = c₂. У цьому випадку ми сформуємо першу матрицю коефіцієнта, скажімо, A =egin{bmatrix}a_{1} & b_{1}a_{2} & b_{2}end{bmatrix}, друга матриця складається зі змінних, скажімо, X =egin{bmatrix}xyend{bmatrix}і третя матриця має коефіцієнт B =egin{bmatrix}c_{1}c_{2}end{bmatrix}тоді матричне рівняння задається як

AX = B

⇒ X = A ^-1 Б

де,

• А є матрицею коефіцієнтів
• X це змінна матриця
• Б є постійною матрицею

Отже, ми бачимо, що значення змінної X можна обчислити, помноживши обернену матрицю A на B, а потім прирівнявши еквівалентний добуток двох матриць на матрицю X.

Ранг матриці

Ранг матриці задається максимальною кількістю лінійно незалежних рядків або стовпців матриці. Ранг матриці завжди менший або дорівнює загальній кількості рядків або стовпців у матриці. Квадратна матриця має лінійно незалежні рядки або стовпці, якщо матриця не є сингулярною, тобто визначник не дорівнює нулю. Оскільки нульова матриця не має лінійно незалежних рядків або стовпців, її ранг дорівнює нулю.

Ранг матриці можна обчислити шляхом перетворення матриці у форму рядків-ешелонів. У формі ешелону рядків ми намагаємося перетворити всі елементи, що належать до рядка, на нуль за допомогою елементарної операції над рядком. Після операції рангом матриці є загальна кількість рядків, які мають принаймні один ненульовий елемент. Ранг матриці A представлено ρ(A).

Власне значення та власні вектори матриць

Власні значення – це набір скалярів, пов’язаних із лінійним рівнянням у матричній формі. Власні значення також називаються характерними коренями матриць. Вектори, які утворюються за допомогою власного значення для визначення напрямку в цих точках, називаються власними векторами. Власні значення змінюють величину власних векторів. Як і будь-який вектор, власний вектор не змінюється при лінійному перетворенні.

Для квадратної матриці A порядку «n» формується інша квадратна матриця A – λI того самого порядку, де I — тотожна матриця, а λ — власне значення. Власне значення λ задовольняє рівняння Av = λv, де v є ненульовим вектором.

Дізнайтеся більше про Власні значення та власні вектори на нашому сайті.

Формули матриць

Основна формула для матриць обговорюється нижче:

• А^-1= adj(A)/|A|
• A(adj A) = (adj A)A = I, де I – матриця ідентифікації
• |adj A| = |A|n-1, де n — порядок матриці A
• adj(adj A) = |A|n-2A, де n — порядок матриці
• |adj(adj A)| = |A|^{(n-1)^2}
• adj(AB) = (adj B)(adj A)
• adj(A^стор) = (присл. А)^стор
• adj(kA) = kn-1(adj A), де k — будь-яке дійсне число
• adj(I) = Я
• присл. 0 = 0
• Якщо A симетричний, то adj(A) також симетричний
• Якщо A — діагональна матриця, то adj(A) також є діагональною матрицею
• Якщо A — трикутна матриця, то adj(A) також є трикутною матрицею
• Якщо A є сингулярною матрицею, тоді |adj A| = 0
• (AB)^-1= Б^-1А^-1

Детальніше,

• Теорія множин
• Обчислення
• Тригонометрія

Матриці JEE Mains Питання

Q1. Кількість квадратних матриць порядку 5 із елементами з набору {0, 1}, таких, що сума всіх елементів у кожному рядку дорівнює 1, а сума всіх елементів у кожному стовпці також дорівнює 1, дорівнює

Q2. Нехай A — матриця 3 × 3 така, що |adj(adj(adj A))| = 12 ⁴ . Тоді |A ^-1 присл. А| дорівнює,

Q3. Нехай α і β — дійсне число. Розглянемо матрицю A 3 × 3 таку, що A ² = 3A + αI. Якщо ⁴ = 21A + βI, потім знайдіть значення α і β.

Q4. Нехай A = [a]ij, aij ϵ Z ∩ [0, 4], 1 ≤ i, j ≤ 2. Кількість матриці A, що сума всіх елементів є простим числом p ϵ (2, 13), дорівнює

Q5. Нехай A — матриця n × n така, що |A| = 2. Якщо визначник матриці Adj (2. Adj(2A ^-1 )) це 2 ⁸⁴ тоді n дорівнює,

b плюсове дерево

Матриці – FAQ

Що таке матриця в математиці?

Матриці в математиці — це прямокутні масиви чисел або змінних, які розташовані в певних рядках і стовпцях і піддаються різноманітним операціям.

Як розв'язувати матриці?

Ми розв’язуємо матриці для різних операцій, таких як додавання, віднімання, множення, транспонування тощо. Ці методи обговорюються під назвою Операції над матрицями.

Які є різні типи матриць?

Різні типи матриць: рядкова матриця, матриця-стовпець, горизонтальна матриця, вертикальна матриця, квадратна матриця, діагональна матриця, нульова матриця, одинична матриця, трикутні матриці, симетричні та косо-симетричні матриці, ермітові та косо-ермітові матриці тощо. Ці типи мають обговорювалися під назвою «Типи матриць»

Що таке ранг матриці?

Ранг матриці — це кількість лінійно незалежних рядків або стовпців, присутніх у матриці.

Що таке транспонування матриці?

Транспонування матриці - це перестановка елементів рядків у стовпці і навпаки.

Яка формула для знаходження оберненої матриці?

Обернену матрицю можна знайти за допомогою формули A^-1= (1/|A|)(adj A)

Яка умова множення двох матриць?

Дві матриці можна перемножити, тільки якщо кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці.

Як знайти визначник матриці 2⨯2?

Визначник матриці 2⨯2 можна знайти шляхом віднімання добутку діагональних елементів матриці.

Що таке головна діагональ матриці?

Діагональ квадратної матриці, що проходить від верхніх лівих сутностей до нижніх правих сутностей, є головною діагоналлю матриці.