logo

TechCodeview

Власні значення

Власні значення та власні вектори — це скалярні та векторні величини, пов’язані з Матриця використовується для лінійного перетворення. Вектор, який не змінюється навіть після застосування перетворень, називається власним вектором, а скалярне значення, додане до власних векторів, називається Власні значення . Власні вектори – це вектори, пов’язані з набором лінійних рівнянь. Для матриці власні вектори також називаються характеристичними векторами, і ми можемо знайти власний вектор лише квадратних матриць. Власні вектори дуже корисні при розв’язуванні різноманітних задач із матрицями та диференціальними рівняннями.

У цій статті ми дізнаємося про власні значення, власні вектори для матриць та інші на прикладах.



Зміст

Що таке власні значення?

Власні значення — це скалярні значення, пов’язані з власними векторами в лінійному перетворенні. Слово «Eigen» німецького походження, що означає «характерний». Отже, це характерне значення, яке вказує на коефіцієнт, на який власні вектори розтягуються у своєму напрямку. Це не передбачає зміни напрямку вектора, за винятком випадків, коли власне значення від’ємне. Коли власне значення від'ємне, напрямок змінюється на зворотний. Рівняння для власного значення задається формулою

Вимкнено = λv



Де,

  • А — матриця,
  • v асоційований власний вектор, і
  • λ — скалярне власне значення.

Що таке власні вектори?

Власні вектори для квадратних матриць визначаються як ненульові векторні значення, які при множенні на квадратні матриці дають масштабувальнику кратне вектора, тобто ми визначаємо власний вектор для матриці A як v, якщо він визначає умову, Вимкнено = λv

Множник λ у наведеному вище випадку називається власним значенням квадратної матриці. Перш ніж знаходити власні вектори матриці, ми завжди повинні спочатку знайти власні значення квадратної матриці.



Для будь-якої квадратної матриці A порядку n × n власним вектором є матриця-стовпець порядку n × 1. Якщо ми знаходимо власний вектор матриці A за допомогою Av = λv, v це називається правим власним вектором матриці A і завжди множиться на праву частину, оскільки множення матриці не є комутативним за своєю природою. Загалом, коли ми знаходимо власний вектор, це завжди правий власний вектор.

Ми також можемо знайти лівий власний вектор квадратної матриці A за допомогою співвідношення, vA = vl

Тут v є лівим власним вектором і завжди множиться на ліву частину. Якщо матриця A має порядок n × n, то v є матрицею-стовпцем порядку 1 × n.

Рівняння власного вектора

Рівняння власного вектора – це рівняння, яке використовується для знаходження власного вектора будь-якої квадратної матриці. Рівняння власного вектора таке:

Вимкнено = λv

Де,

  • А задана квадратна матриця,
  • в є власним вектором матриці A, а
  • л є будь-яким кратним масштабувальником.

Що таке власні значення та власні вектори?

Якщо A є a квадратна матриця порядку n × n, тоді ми можемо легко знайти власний вектор квадратної матриці, дотримуючись методу, описаного нижче,

Ми знаємо, що власний вектор задано за допомогою рівняння Av = λv, для одиничної матриці такого ж порядку, як порядок A, тобто n × n, ми використовуємо таке рівняння,

(A-λI)v = 0

Розв’язуючи наведене вище рівняння, ми отримуємо різні значення λ як λ1, л2, ..., лпці значення називаються власними значеннями, і ми отримуємо індивідуальні власні вектори, пов’язані з кожним власним значенням.

Спрощуючи наведене вище рівняння, ми отримуємо v, яке є матрицею-стовпцем порядку n × 1, і v записується як

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Як знайти власний вектор?

Власний вектор наступної квадратної матриці можна легко обчислити за допомогою наведених нижче кроків,

Крок 1: Знайдіть власні значення матриці A, використовуючи рівняння det |(A – λI| =0, де I – одинична матриця порядку, подібного до матриці A

Крок 2: Значення, отримане на кроці 2, називається λ1, л2, л3….

крок 3: Знайдіть власний вектор (X), пов’язаний із власним значенням λ1використовуючи рівняння (A – λ1I) X = 0

крок 4: Повторіть крок 3, щоб знайти власний вектор, пов’язаний з іншими власними значеннями λ, що залишилися2, л3….

Виконання цих кроків дає власний вектор, пов’язаний із заданою квадратною матрицею.

Типи власного вектора

Власні вектори, обчислені для квадратної матриці, бувають двох типів:

  • Правий власний вектор
  • Лівий власний вектор

Правий власний вектор

Власний вектор, який множиться на задану квадратну матрицю з правої частини, називається правим власним вектором. Він розраховується за допомогою наступного рівняння:

OF Р = λV Р

Де,

  • А задана квадратна матриця порядку n×n,
  • л є одним із власних значень, і
  • IN Р це вектор-стовпець матриці

Значення ВРє,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Лівий власний вектор

Власний вектор, який множиться на дану квадратну матрицю з лівої частини, називається лівим власним вектором. Він розраховується за допомогою наступного рівняння:

IN Л A = V Л л

Де,

  • А задана квадратна матриця порядку n×n,
  • л є одним із власних значень, і
  • IN Л вектор-матриця-рядок.

Значення ВЛє,

IN Л = [v 1 , в 2 , в 3 ,…, в п ]

Власні вектори квадратної матриці

Ми можемо легко знайти власний вектор квадратних матриць порядку n × n. Тепер давайте знайдемо такі квадратні матриці:

  • Власні вектори матриці 2 × 2
  • Власні вектори матриці 3×3.

Власний вектор матриці 2 × 2

Власний вектор матриці 2 × 2 можна обчислити за допомогою згаданих вище кроків. Прикладом того ж є,

Приклад: Знайдіть власні значення та власний вектор для матриці A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

рішення:

Якщо власні значення представлено за допомогою λ, а власний вектор представлено як v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Тоді власний вектор обчислюється за допомогою рівняння,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ2– 10 = 0

⇒ л2-5l -6 = 0

⇒ л2-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 і λ = -1

Таким чином, власні значення дорівнюють 6 і -1. Тоді відповідні власні вектори:

Для λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Спрощуючи наведене вище рівняння, ми отримуємо,

5а=2б

Шуканий власний вектор:

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Для λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

спрощуючи наведене вище рівняння, ми отримуємо,

a = -b

Шуканим власним вектором є

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Тоді власні вектори даної матриці 2 × 2 єegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Це два можливі власні вектори, але багато з відповідних кратних цих власних векторів також можна розглядати як інші можливі власні вектори.

Власний вектор матриці 3 × 3

Власний вектор матриці 3 × 3 можна обчислити за допомогою згаданих вище кроків. Прикладом того ж є,

Приклад: Знайдіть власні значення та власний вектор для матриці A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

рішення:

Якщо власні значення представлено за допомогою λ, а власний вектор представлено як v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Тоді власний вектор обчислюється за допомогою рівняння,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Спрощуючи наведений вище визначник, отримуємо

⇒ (2-l)(l2) + 2 хв2+ 2 хв2= 0

⇒ (-л3) + 6 хв2= 0

⇒ л2(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Для λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Спрощуючи наведене вище рівняння, ми отримуємо

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Нехай b = k1і c = k2

a + k1+ k2= 0

a = -(k1+ k2)

Таким чином, власний вектор є

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

приймаючи k1= 1 і k2= 0

власний вектор є,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

приймаючи k1= 0 і k2= 1

власний вектор є,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Для λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Спрощуючи наведене вище рівняння, ми отримуємо,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Нехай b = k1і c = k2, і взявши k1= k2= 1,

ми отримуємо,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Таким чином, власний вектор є

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Власний простір

Ми визначаємо власний простір матриці як набір усіх власних векторів матриці. Усі вектори у власному просторі лінійно незалежні один від одного.

Щоб знайти власний простір матриці, ми повинні виконати наступні кроки

Крок 1: Знайти всі власні значення заданої квадратної матриці.

Крок 2: Для кожного власного значення знайдіть відповідний власний вектор.

крок 3: Візьмемо набір усіх власних векторів (скажімо A). Результуюча множина, сформована таким чином, називається власним простором наступного вектора.

З наведеного вище прикладу заданої матриці A 3 × 3 сформований таким чином власний простір є {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Застосування власних значень

Деякі з поширених застосувань власних значень:

Лінійна алгебра

Діагоналізація: власні значення використовуються для діагоналізації матриць, що спрощує обчислення та ефективніше розв’язує лінійні системи.

Піднесення матриці до степеня: власні значення відіграють вирішальну роль у обчисленні піднесення матриці до степеня.

Квантова механіка

Рівняння Шредінгера: Власні значення оператора Гамільтона відповідають енергетичним рівням квантових систем, надаючи інформацію про можливі стани.

Вібрації та структурний аналіз:

Механічні коливання: власні значення представляють власні частоти коливальних систем. У структурному аналізі вони допомагають зрозуміти стабільність і поведінку конструкцій.

Статистика

Коваріаційна матриця: у багатовимірній статистиці власні значення використовуються в аналізі коваріаційних матриць, надаючи інформацію про поширення та орієнтацію даних.

Комп'ютерна графіка

Аналіз основних компонентів (PCA): власні значення використовуються в PCA для пошуку основних компонентів набору даних, зменшуючи розмірність і зберігаючи важливу інформацію.

Системи управління

Стабільність системи: власні значення матриці системи є критичними для визначення стабільності системи керування. Аналіз стабільності допомагає переконатися, що відповідь системи обмежена.

Діагоналізувати матрицю за допомогою власних значень і власних векторів

Власні значення та власні вектори використовуються для знаходження діагональних матриць. А діагональна матриця це матриця, яку можна записати як

A = XDX -1

Де,

  • Д це матриця, яка формується шляхом заміни одиниць в одиничній матриці на власні значення, і
  • X – матриця, утворена власними векторами.

Ми можемо зрозуміти концепцію діагональної матриці, взявши наступний приклад.

Приклад: діагоналізувати матрицю A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

рішення:

Ми вже розв’язали власні значення та власні вектори A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Власні значення A: λ = 0, λ = 0 і λ = -8

Власні вектори A єegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Таким чином,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Ми можемо легко знайти обернений X як,

X-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Детальніше,

  • Елементарна операція над матрицями
  • Матриця ідентичності
  • Обернена до матриці

Розв’язані приклади на власні вектори

Приклад 1. Знайдіть власні вектори матриці A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

рішення:

Власні значення матриці знаходять за допомогою,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – л)3= 0

Таким чином, власні значення:

λ = 1, 1, 1

Оскільки всі власні значення рівні, ми маємо три ідентичних власних вектора. Ми знайдемо власні вектори для λ = 1, використовуючи (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

розв’язуючи наведене вище рівняння, ми отримуємо,

  • а = К
  • y = 0
  • z = 0

Тоді власний вектор дорівнює

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Приклад 2: Знайти власні вектори матриці A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

рішення:

Власні значення матриці визначаються за допомогою

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – л)2= 0

Таким чином, власні значення:

λ = 5,5

Оскільки всі власні значення рівні, ми маємо три ідентичних власних вектора. Власні вектори для λ = 1 знайдемо за допомогою

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Просто кажучи вище, ми отримуємо,

  • a = 1, b = 0
  • a = 0, b = 1

Тоді власний вектор дорівнює

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Поширені запитання щодо власних векторів

Що таке власні вектори?

Ми визначаємо власний вектор будь-якої матриці як вектор, який при множенні на матрицю призводить до кратного масштабу матриці.

Як знайти власні вектори?

Власний вектор будь-якої матриці A позначається в . Власний вектор матриці обчислюється шляхом пошуку власного значення матриці.

  • Власне значення матриці визначається за формулою |A-λI| = 0, де λ дає власні значення.
  • Після визначення власного значення ми знайшли власний вектор за формулою Av = λv, де v дає власний вектор.

Яка різниця між власним значенням і власним вектором?

Для будь-якої квадратної матриці A власні значення представлені λ і обчислюються за формулою |A – λI| = 0. Після знаходження власного значення знаходимо власний вектор за Av = λv.

Що таке діагоналізована матриця?

Будь-яка матриця, яку можна виразити як добуток трьох матриць як XDX-1є діагоналізованою матрицею, тут D називається діагональною матрицею.

Чи однакові власні значення та власні вектори?

Ні, власні значення та власні вектори не однакові. Власні значення — це масштабувальник, який використовується для пошуку власних векторів, тоді як власні вектори — це вектори, які використовуються для пошуку векторних перетворень матриці.

Чи може власний вектор бути нульовим вектором?

Ми можемо мати власні значення, які дорівнюють нулю, але власний вектор ніколи не може бути нульовим вектором.

Що таке формула власних векторів?

Власний вектор будь-якої матриці обчислюється за формулою

імпорт сканера java

Вимкнено = λv

де,
л є власним значенням
в є власним вектором