Тригонометричні тотожності це різні тотожності, які використовуються для спрощення різноманітних складних рівнянь, що містять тригонометричні функції. Тригонометрія - це розділ математики, який вивчає співвідношення між сторонами та кутами трикутника. Ці співвідношення визначаються у формі шести співвідношень, які називаються тригонометричні співвідношення – sin, cos, tan, cot, sec і cosec.

У розширеному плані вивчаються також кути, що утворюють елементи трикутника. Логічно обговорення властивостей трикутника; розв’язування трикутника, а також фізичні задачі в області висот і відстаней з використанням властивостей трикутника – все це є частиною дослідження. Він також надає метод вирішення тригонометричних рівнянь.

Зміст

• Що таке тригонометричні тотожності?
• Список тригонометричних тотожностей
• Взаємні тригонометричні тотожності
• Тригонометричні тотожності Піфагора
• Тотожності тригонометричних відношень
• Тригонометричні тотожності протилежних кутів
• Тотожності додаткових кутів
• Тотожності додаткових кутів
• Періодичність тригонометричної функції
• Сума і різниця тотожності
• Подвійні кутові тотожності
• Формули половинного кута
• Ще кілька тотожностей половинного кута
• Ідентичності продукт-сума
• Ідентифікація продуктів
• Формули потрійного кута
• Доведення тригонометричних тотожностей
• Співвідношення кутів і сторін трикутника
• Поширені запитання щодо тригонометричних тотожностей

Що таке тригонометричні тотожності?

Рівняння, що містить тригонометричні співвідношення кута, називається тригонометричною тотожністю, якщо воно вірне для всіх значень кута. Це корисно, коли тригонометричні функції включені у вираз або рівняння. Шість основних тригонометричних співвідношень є синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс і котангенс . Усі ці тригонометричні співвідношення визначаються за допомогою сторін прямокутного трикутника, таких як прилегла сторона, протилежна сторона та сторона гіпотенузи.

Тригонометричні тотожності

Список тригонометричних тотожностей

Існує багато тотожностей у вивченні тригонометрії, яка включає всі тригонометричні співвідношення. Ці ідентичності використовуються для вирішення різноманітних проблем як в академічному середовищі, так і в реальному житті. Давайте вивчимо всі фундаментальні та розширені тригонометричні тотожності.

Взаємні тригонометричні тотожності

У всіх тригонометричних відношеннях існує взаємний зв’язок між парою відношень, який задається таким чином:

• sin θ = 1/cosec θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos θ = 1/сек θ
• сек θ = 1/cos θ
  
• tan θ = 1/cot θ
• ліжечко θ = 1/tan θ

Тригонометричні тотожності Піфагора

Тригонометричні тотожності Піфагора базуються на теоремі прямокутного трикутника або Теорема Піфагора , і є такими:

• без²θ + cos²θ = 1
• 1 + так²θ = сек²i
• cosec²θ = 1 + кот²i

Докладніше про Тригонометричні тотожності Піфагора .

Тотожності тригонометричних відношень

Оскільки tan і cot визначаються як відношення sin і cos, яке визначається такими тотожностями:

• tan θ = sin θ/cos θ
• cot θ = cos θ/sin θ

Тригонометричні тотожності протилежних кутів

У тригонометрії кут, виміряний за годинниковою стрілкою, вимірюється з від’ємною парністю, а всі тригонометричні співвідношення, визначені для від’ємної парності кута, визначаються таким чином:

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• tan (-θ) = -tan θ
• cot (-θ) = -cot θ
• сек (-θ) = сек θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Тотожності додаткових кутів

Доповняльні кути це пара кутів, сума яких дорівнює 90°. Тепер тригонометричні тотожності для додаткових кутів такі:

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• tan (90° – θ) = cot θ
• ліжечко (90° – θ) = тон θ
• сек (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sec θ

Тотожності додаткових кутів

Додаткові кути — це пара кутів, сума яких дорівнює 180°. Тепер тригонометричні тотожності для додаткових кутів такі:

• sin (180°- θ) = sinθ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• cosec (180°- θ) = cosec θ
• сек (180°- θ)= -сек θ
• tan (180°- θ) = -tan θ
• cot (180°- θ) = -cot θ

Періодичність тригонометричної функції

Тригонометричні функції такі як sin, cos, tan, cot, sec і cosec, усі вони періодичні за своєю природою та мають різну періодичність. Наступні тотожності для тригонометричного співвідношення пояснюють їх періодичність.

• sin (n × 360° + θ) = sin θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• tan (n × 180° + θ) = tan θ
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• сек (n × 360° + θ) = сек θ
• сек (2nπ + θ) = сек θ
  
• cot (n × 180° + θ) = cot θ
• cot (nπ + θ) = cot θ

Де n ∈ З, (Z = набір усіх цілих чисел)

Примітка: sin, cos, cosec і sec мають період 360° або 2π радіан, а для tan і cot період становить 180° або π радіан.

Сума і різниця тотожності

Тригонометричні тотожності для суми та різниці кута включають такі формули, як sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B) тощо.

• sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
• cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
• tan (A-B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Примітка: Тотожності для sin (A+B), sin (A-B), cos (A+B) і cos (A-B) називаються Тотожності Птолемея .

Подвійні кутові тотожності

Використовуючи тригонометричні тотожності суми кутів, ми можемо знайти нову тотожність, яка називається тотожністю подвійного кута. Щоб знайти ці тотожності, ми можемо додати A = B до суми тотожностей кутів. Наприклад,

a ми знаємо, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Підставляємо сюди A = B = θ з обох сторін, і отримуємо:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Так само

• cos 2θ = cos ² θ – sin ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – sin ² i
• tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan ² я)

Докладніше про Подвійні кутові тотожності .

Формули половинного кута

За допомогою формул подвійного кута можна обчислити формули півкута. Щоб обчислити формули півкута, замініть θ на θ/2, тоді,

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Докладніше про Тотожності половинного кута .

Ще кілька тотожностей половинного кута

Крім згаданих вище тотожностей, існують ще деякі тотожності півкута, які є такими:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Ідентичності продукт-сума

Наступні тотожності встановлюють зв’язок між сумою двох тригонометричних співвідношень і добутком двох тригонометричних співвідношень.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Ідентифікація продуктів

Тотожності продукту утворюються, коли ми додаємо дві тотожності суми та різниці кутів і є такими:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Формули потрійного кута

Окрім формул подвійного та половинного кутів, існують тотожності для тригонометричних співвідношень, які визначені для потрійного кута. Це такі ідентифікатори:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Докладніше про Потрійні кутові тотожності .

Доведення тригонометричних тотожностей

Для будь-якого гострого кута θ доведіть це

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ . cotθ = 1
4. без ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + так ² θ = сек ² i
6. 1 + дитяче ліжечко ² θ = cosec ² i

Доказ:

Розглянемо прямокутний △ABC, у якому ∠B = 90°

Нехай AB = x одиниць, BC = y одиниць і AC = r одиниць.

Потім,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ . cotθ = 1

Тоді, згідно з теоремою Піфагора, ми маємо

х²+ і²= r².

тепер,

(4) без²θ + cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= ( і²/р²+ х²/р²)

= (x²+ і²)/р²= r²/р²= 1 [x²+ і²= r²]

без ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + так²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/x²= (і²+ х²)/x²= r²/x²[x²+ і²= r²]

(р/х)²= сек²i

∴ 1 + загар ² θ = сек ² i.

(6) 1 + дитяче ліжечко²θ = 1 + (x/y)²= 1 + х²/і²= (x²+ і²)/і²= r²/і²[x²+ і²= r²]

(р²/і²) = cosec²i

∴ 1 + дитяче ліжечко ² θ = cosec ² i

Співвідношення кутів і сторін трикутника

Три правила, які пов’язують сторони трикутника з внутрішніми кутами трикутника:

• Його правило
• Правило косинуса
• Правило дотичної

Якщо трикутник ABC зі сторонами a, b і c є сторонами, протилежними ∠A, ∠B і ∠C відповідно, то

Його правило

Його правила встановлює зв’язок між сторонами та кутами трикутника, який є відношенням сторони та синуса кута, протилежного до сторони, завжди залишається незмінним для всіх кутів та сторін трикутника та задається таким чином:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Правило косинуса

Правило косинуса охоплює всі сторони, а один внутрішній кут трикутника задається таким чином:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

АБО

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

АБО

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Правило дотичної

• Правило дотичної також встановлює зв’язок між сторонами та внутрішнім кутом трикутника, використовуючи тригонометричне відношення tan, яке є таким:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Також читайте

• Тригонометрія Висота і відстань
• Тригонометрична таблиця

Розв’язаний приклад тригонометричних тотожностей

Приклад 1: Доведіть, що (1 – sin ² θ) сек ² θ = 1

рішення:

Ми маємо:

LHS = (1 – гріх²θ) сек²i

= cos²θ . сек²i

= cos²θ . (1/cos²я)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Звідси доведено]

Приклад 2: доведіть, що (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1

рішення:

Ми маємо:

LHS = (1 + tan²θ)cos²i

⇒ LHS = сек²θ . cos²i

⇒ LHS = (1/cos²θ) . cos²i

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Звідси доведено]

Приклад 3: Доведіть, що (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

рішення:

Ми маємо:

LHS = (cosec²θ – 1) tan²i

⇒ LHS = (1 + кот²θ – 1) отже²i

⇒ LHS = ліжечко²θ. так²i

⇒ LHS = (1/тан²θ). так²i

видалення зі списку масивів

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Звідси доведено]

Приклад 4: Доведіть, що (розд ⁴ θ – сек ² θ) = (tan ² θ + tan ⁴ я)

рішення:

Ми маємо:

LHS = (сек⁴θ – сек²я)

⇒ LHS = сек²θ(сек²я – 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) (1 + tan²я – 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) так²i

⇒ LHS = (тан²θ + tan⁴θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Звідси доведено]

Приклад 5: Доведіть, що √(сек ² θ + cosec ² θ) = (tanθ + cotθ)

рішення:

Ми маємо:

LHS = √(сек²θ + cosec²θ ) = √((1 + tan²i) + (1 + кот²я))

⇒ LHS = √(тан²θ + ліжечко²я + 2)

⇒ LHS = √(тан²θ + ліжечко²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ .cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [Звідси доведено]

Практичні запитання щодо тригонометричних тотожностей

Q1: Спростіть виразfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Q2: Доведіть тотожність tan (x) . cot(x) = 1.

Q3: Покажи цеfrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Q4: Спроститиsin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

Q5: Доведіть тотожністьcos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

Q6: Спроститиfrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

Q7: Доведіть тотожністьsec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Поширені запитання щодо тригонометричних тотожностей

Що таке тригонометрична тотожність?

Тригонометрична тотожність — це рівняння, яке пов’язує різні тригонометричні функції, такі як sin, cos, tan, cot, sec і cosec.

Як довести тригонометричні тотожності?

Існують різні методи доведення тригонометричних тотожностей, одним із яких є використання 6 основних відомих тригонометричних тотожностей для перепису виразу в іншій формі. Як і будь-який інший доказ, ми працюємо з однією стороною, щоб отримати вираз, ідентичний іншій стороні рівняння.

Скільки існує тригонометричних тотожностей?

Існує багато тригонометричних тотожностей, оскільки будь-яка тотожність з деякими варіаціями також є тотожністю. Тому ми не можемо точно сказати, скільки там ідентичностей.

Як запам'ятати всі тригонометричні тотожності?

Найпростіший спосіб запам'ятати всі ідентичності - це відпрацювати завдання, пов'язані з ідентичністю. Щоразу, коли ви вирішуєте проблему, використовуючи певну ідентичність, ви переглядаєте цю ідентичність, і зрештою вона стане для вас другою натурою.

Напишіть три основні тригонометричні функції.

У тригонометрії використовуються три основні функції: синус, косинус і тангенс.
sin θ = перпендикуляр/гіпотенуза
cos θ = основа/гіпотенуза
tan θ = перпендикуляр/основа

Що таке теорема Піфагора?

Теорема Піфагора стверджує, що в прямокутному трикутнику зі сторонами як гіпотенуза (H), перпендикуляр (P) і основа (B) співвідношення між ними визначається як:

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Напишіть застосування тригонометричних тотожностей.

Тригонометричні тотожності використовуються для розв’язування різноманітних задач із складними тригонометричними функціями. Вони використовуються для обчислення хвильових рівнянь, рівнянь гармонійного осцилятора, вирішення геометричних питань та інших задач.

Напишіть вісім основних тригонометричних тотожностей.

Вісім основних тотожностей у тригонометрії:

• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/сек θ
• tan θ = 1/cot θ
• без²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ так²θ = сек²i
• cot θ = cosθ/sinθ
• 1+ дитяче ліжечко²θ = cosec²i