Знання матриць необхідні для різних розділів математики. Матриці є одним із найпотужніших інструментів у математиці. З матриць походять визначники. Тепер ми бачимо одну з властивостей визначника в цій статті.
У цій статті ми побачимо, як знайти Приєднаний до матриці. Щоб знати про Приєднаний до матриці ми повинні знати про Кофактор матриці.
Зміст
- Ад’юнт матриці. Визначення
- Мінор матриці
- Кофактор матриці
- Транспонування матриці
- Як знайти ад’юнкт матриці?
- Властивості ад’юнта матриці
- Знаходження оберненого за допомогою ад’юнта матриці
Ад’юнт матриці. Визначення
Приєднаною матрицею є транспонована матриця кофактора даної матриці. Для будь-якої квадратної матриці A, щоб обчислити її кор. matrix, ми повинні спочатку обчислити матрицю-кофактор даної матриці, а потім знайти її визначник. Щоб обчислити Ajoint матриці, виконайте такі дії:
Крок 1 : обчислити мінор усіх елементів заданої матриці A.
Крок 2: Знайдіть кофактор матриці C, використовуючи другорядні елементи.
крок 3: Знайдіть приєднану матрицю A, взявши транспонування матриці кофактора C.
Для будь-якої 2×2 матриці A зображення її ад’юнта показано нижче,
Тепер давайте дізнаємося про мінор, кофактор і транспонування матриці.
Мінор матриці
Мінор матриці — це матриця або елемент, який обчислюється шляхом приховування рядка та стовпця матриці елемента, для якого обчислюється мінор. Для матриці 2×2 мінор – це елемент, який відображається шляхом приховування рядка та стовпця елемента, для якого обчислюється мінор.
Дізнайтеся більше про, Мінори та кофактори
Кофактор матриці
Кофактор — це число, яке ми отримуємо, коли видаляємо стовпець і рядок позначеного елемента в матриці. Це означає взяти один елемент з матриці та видалити весь рядок і стовпець цього елемента з матриці, а потім, які елементи присутні в цій матриці, що називається кофактор.
Як знайти співмножник матриці
Щоб знайти кофактор елемента матриці, ми можемо використати такі кроки:
Крок 1: Видалити весь рядок і стовпець, які містять розглянутий елемент.
Крок 2: Візьміть елементи, що залишилися, як вони є в матриці після кроку 1.
крок 3: Знайдіть визначник матриці, сформованої на кроці 2, який називається другорядний елемента.
крок 4: Тепер скористайтеся формулою для співмножника елемента aijтобто (-1)i+jМijде Mij — мінор елемента в iтисрядок і jтисякий уже обчислено на кроці 3.
крок 5: Результатом кроку 4 є кофактор елемента, який розглядається, і подібним чином ми можемо обчислити кофактор кожного елемента матриці, щоб знайти матрицю кофактора даної матриці.
Приклад: знайдіть матрицю кофактора
рішення:
Задана матриця є
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Давайте знайдемо співмножник елемента в третьому стовпці першого рядка, тобто 3.
Крок 1: Видалити весь рядок і стовпець, які містять розглянутий елемент.
тобто,
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} Крок 2: Візьміть елементи, що залишилися, як вони є в матриці після кроку 1.
тобто,
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} крок 3: Знайдіть визначник матриці, сформованої на кроці 2, який називається мінором елемента.
Менший з 3 дюймів
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 крок 4: Тепер скористайтеся формулою для співмножника елемента aijтобто (-1)i+jМij
Кофактор елемента 3 = (-1)1+3(32) = 32
крок 5: Продовжте процедуру для всіх елементів, щоб знайти кофакторну матрицю A,
тобто кофакторна матриця A =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Транспонування матриці
Транспонування матриці — це матриця, яка формується шляхом зміни рядків і стовпців матриці один на одного. Транспонування матриці A позначається AТабо А'. Якщо порядок матриці A дорівнює m×n, то порядок матриці транспонування дорівнює n×m.
Дізнайтеся більше про, Транспонування матриці
Як знайти ад’юнкт матриці?
Щоб знайти ад’юнкт матриці, спочатку нам потрібно знайти кофактор кожного елемента, а потім знайти ще 2 кроки. кроки нижче,
Крок 1: Знайти кофактор кожного елемента, присутнього в матриці.
Крок 2: Створіть іншу матрицю з кофакторами як її елементами.
крок 3: Тепер знайдіть транспонування матриці, отриманої після кроку 2.
Як знайти ад’юнт матриці 2×2
Давайте розглянемо приклад для розуміння методу знаходження ад’юнта матриці 2×2.
Приклад: знайдіть приєднану до
рішення:
Задана матриця є
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} Крок 1: Знайти кофактор кожного елемента.
Кофактор елемента в A[1,1]: 5
Кофактор елемента в A[1,2]: -4
Кофактор елемента в A[2,1]: -3
Кофактор елемента в A[2,2]: 2
Крок 2: Створіть матрицю з кофакторів
тобто,
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} крок 3: Транспонування кофакторної матриці,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
Як знайти ад’юнт матриці 3×3
Давайте візьмемо приклад матриці 3×3, щоб зрозуміти, як обчислити ад’юнт цієї матриці.
Приклад: знайдіть приєднану до
рішення:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Крок 1: Знайти кофактор кожного елемента.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 Крок 2: Створіть матрицю з кофакторів
спробуйте catch block java
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} крок 3: Транспонувати матрицю C до прилеглої до даної матриці.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Який є суміжним із заданою матрицею A.
Властивості ад’юнта матриці
Ад’юнт матриці має різні властивості, деякі з яких такі:
- A(Adj A) = (Adj A)A = |A| яп
- Adj(BA) = (Adj B) (Adj A)
- |Adj A| = |A|n-1
- Adj(kA) = kn-1(Adj A)
Знаходження оберненого за допомогою ад’юнта матриці
Знаходження зворотного є одним із важливих застосувань ад’юнта матриці. Щоб знайти обернену матрицю за допомогою Adjoint, ми можемо виконати наступні кроки:
Крок 1: Знайди визначник матриці .
Крок 2: Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця не є оборотною, і немає зворотної.
крок 3: Якщо визначник відмінний від нуля, то знайти приєднаний до матриці.
крок 4: Розділіть ад’юнкт матриці на визначник матриці.
крок 5: Результатом кроку 4 є обернена до даної матриці.
Приклад: знайдіть дію, обернену до
рішення:
Задана матриця
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)
⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0
Таким чином, зворотного до A не існує.
Дізнайтеся більше про, Обернена до матриці
Розв’язані приклади ад’юнта матриці
Приклад 1: Знайти ад’юнт даної матриці
рішення:
Крок 1: знайти співмножник кожного елемента
Щоб знайти кофактор кожного елемента, ми повинні видалити рядок і стовпець кожного елемента один за одним і взяти поточні елементи після видалення.
Кофактор елементів при A[0,0] = 1:
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Кофактор елементів при A[0,1] = 2:
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33Кофактор елементів при A[0,2] = 3 :
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Кофактор елементів при A[2,0] = 7 :
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6Кофактор елементів при A[2,1] = 4 :
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Кофактор елементів при A[2,2] = 5 :
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4Кофактор елементів при A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Кофактор елементів при A[3,1] = 8 :
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16Кофактор елементів при A[3,2] = 9 :
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10Матриця з кофакторами виглядає так:
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} Остаточна матриця кофакторів:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} Крок 2: Знайдіть транспонування матриці, отриманої на кроці 1
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} Це Ад'юнкт матриці.
Приклад 2: Знайти ад’юнт даної матриці
рішення:
Крок 1: знайти співмножник кожного елемента
Щоб знайти кофактор кожного елемента, ми повинні видалити рядок і стовпець кожного елемента один за одним і взяти поточні елементи після видалення.
Кофактор елемента в A[0,0] = -1 :
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Кофактор елементів при A[0,1] = -2 :
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Кофактор елементів при A[0,2] = -2 :
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Кофактор елементів при A[2,0] = 2:
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Кофактор елементів в A[2,1] = 1:
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Кофактор елементів в A[2,2] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Кофактор елементів при A[3,0] = 2:
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Кофактор елементів в A[3,1] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Кофактор елементів в A[3,2] = 1:
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3Остаточна матриця кофакторів:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} Крок 2: Знайдіть транспонування матриці, отриманої на кроці 1
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} Це Ад'юнкт матриці.
Поширені запитання про ад’юнт матриці
Що таке ад’юнкт матриці?
Приєднаний до квадратної матриці є транспонуванням матриці співмножників вихідної матриці. Вона також відома як ад'югатна матриця.
Як обчислюється ад’юнт матриці?
Щоб обчислити ад’юнкт матриці, вам потрібно знайти матрицю-кофактор даної матриці, а потім транспонувати її.
Що таке використання ад’юнта матриці?
Основним застосуванням або використанням ад’юнта матриці є знаходження оберненого до оборотних матриць.
Який зв’язок між оберненою матрицею та її приєднаним?
Обернена матриця отримується шляхом ділення її приєднаної матриці на її визначник. Тобто, якщо A є квадратною матрицею, а det(A) не дорівнює нулю, тоді
А -1 = adj(A)/det(A)
Що таке ад’югатна матриця?
Приєднану матрицю також називають ад’югатною матрицею. Це транспонування кофактора даної матриці.
Яка різниця між приєднанням і транспонуванням матриці?
Приєднання матриці є транспонуванням матриці кофакторів, тоді як транспонування матриці отримується шляхом перестановки її рядків і стовпців.
Чи завжди квадратна матриця оборотна?
Ні, квадратні матриці не завжди оборотні. Квадратна матриця є оборотною, лише якщо вона має ненульовий визначник.
Чи можна обчислити ад’юнт неквадратної матриці?
Ні, приєднаний до матриці можна обчислити лише для квадратної матриці через її визначення.