Транспонування матриці це дуже поширений метод, який використовується для перетворення матриці в лінійній алгебрі. Транспонування матриці виходить шляхом перестановки рядків і стовпців даної матриці або навпаки. Транспонування матриці можна використовувати для отримання суміжних і обернених матриць.

Перш ніж дізнаватися про деталі транспонування матриці, давайте спочатку дізнаємося про те, що таке матриця?. Матриця — це не що інше, як представлення набору даних у форматі прямокутного масиву. У матриці дані впорядковані в певних рядках і стовпцях. У математиці існують різні типи матриць, які представлені в порядку рядків × стовпців. Давайте візьмемо приклад матриці порядку 3 × 2 (скажімо, A).

A =egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}

У цій статті ми дізнаємося про транспонування матриці, її типи, властивості, символи та порядок, як знайти транспонування матриці та приклади цього.

Зміст

• Що таке Матриця?
• Типи матриць
• Що таке транспонування матриці?
• Символ матриці транспонування | Транспонування нотації
• Порядок транспонування матриці
• Як знайти транспонування матриці?
• Транспонування матриці рядків і стовпців
• Транспонування горизонтальної та вертикальної матриць
• Транспонування симетричної матриці
• Транспонування діагональної матриці
• Транспонування транспонованої матриці
• Транспонування квадратної матриці
• Транспонування матриці 3 × 3
• Визначник транспонування матриці
• Транспонування властивостей матриці

Що таке Матриця?

Прямокутний масив чисел, символів або символів, призначених певному рядку та стовпцю, називається матрицею. Числа, символи або символи, присутні в матриці, називаються елементами матриці. Кількість рядків і стовпців у матриці визначає порядок матриці. Наприклад, якщо матриця «A» містить «i» рядків і «j» стовпців, тоді матриця представлена ​​[A]i⨯j. Тут i⨯j визначає порядок матриці. Розглянемо приклад матриці.

egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}_{3 imes2}

У наведеному вище прикладі є три рядки та два стовпці, отже, порядок матриці 3⨯2.

Типи матриць

Існують різні типи матриць залежно від кількості рядків і стовпців, які вони мають, а також через специфічні характеристики, які вони демонструють. Давайте подивимося на деякі з них

• Матриця рядків: Матриця, в якій є лише один рядок і немає жодного стовпця, називається матрицею рядків.
• Матриця стовпців: Матриця, в якій є лише один стовпець, а тепер рядок, називається матрицею стовпців.
• Горизонтальна матриця: Матриця, в якій кількість рядків менша за кількість стовпців, називається горизонтальною матрицею.
• Вертикальна матриця: Матриця, у якій кількість стовпців менша за кількість рядків, називається вертикальною матрицею.
• Прямокутна матриця: Матриця, в якій кількість рядків і стовпців неоднакова, називається прямокутною матрицею.
• Квадратна матриця: Матриця, в якій кількість рядків і стовпців однакова, називається квадратною матрицею.
• Діагональна матриця: Квадратна матриця, у якій недіагональні елементи дорівнюють нулю, називається діагональною матрицею.
• Нульова матриця: Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою матрицею.
• Матриця одиниць: Діагональна матриця, усі діагональні елементи якої дорівнюють 1, називається одиничною матрицею.
• Симетрична матриця: Квадратна матриця називається симетричною, якщо транспонування вихідної матриці дорівнює вихідній матриці. тобто (А^Т) = А.
• Кососиметричний: Кососиметрична (або антисиметрична чи антиметрична [1]) матриця — це квадратна матриця, транспонування якої дорівнює від’ємному значенню, тобто. (А^Т) = -A.

Читайте також , Типи матриць

Що таке транспонування матриці?

Транспонування матриці — це матриця, отримана шляхом заміни рядків і стовпців даної матриці або навпаки, тобто для даної матриці елементи в рядках міняються елементами в стовпцях. Для будь-якої заданої матриці A її транспонування позначається як A^tабо А^Т.

Транспонування визначення матриці

Транспонування матриці — це математична операція, яка передбачає перевертання рядків і стовпців вихідної матриці.

Подання транспонування матриці

A = [a _(ij) ] _{m × n}
А ^t = [a _(від) ] _{n × m}

тут i, j представляють позицію елемента матриці, відповідно по рядках і стовпцях, так що 1 ≤ i ≤ m і 1 ≤ j ≤ n.

Приклад: для будь-якої даної матриці A порядку 2 × 3 його транспонування?

A = egin{bmatrix} 2 & 5 & 3 4 & 7 & 0 end{bmatrix}

рішення:

Транспонувати А

А^t=egin{bmatrix} 2 & 4 5 & 7 3 & 0 end{bmatrix}

Наказ А^tє 3×2

Символ матриці транспонування | Транспонування нотації

Транспонування матриці — це операція, яка перевертає матрицю по її головній діагоналі та міняє місцями її рядки стовпцями. Транспонування матриці A позначається позначенням A’ або A^Табо А^t.

Порядок транспонування матриці

Порядок матриці вказує на загальну кількість елементів, які містить матриця. Він також представляє кількість рядків і стовпців у матриці. Горизонтальні значення представляють рядки матриці, а вертикальні значення представляють стовпці матриці. Для будь-якої матриці А_m×n, порядок m × n, тобто він має m рядків і n стовпців. Таким чином, транспонування матриці A є A^tі його порядок n×m, тобто він має n рядків і m стовпців.

Як знайти транспонування матриці?

Транспонування будь-якої матриці можна легко знайти, змінивши значення в рядках значеннями в стовпцях. Розглянемо приклад, щоб зрозуміти це детальніше.

Для будь-якої матриці А₂₃, порядок 2×3, що означає, що він має 2 рядки та 3 стовпці.

A = egin{bmatrix} a & b & c x & y & z end{bmatrix}

Транспонування матриці A є A^tпорядку 3×2, що має 3 рядки та 2 стовпці. У матриці транспонування елементи першого рядка даної матриці змінюються першим стовпцем матриці транспонування. Аналогічно, елементи другого рядка даної матриці A міняються місцями з другим стовпцем нової матриці A^tі так далі, поки вся матриця не буде поміняна місцями.

приховані програми

А^t=egin{bmatrix} a & x b & y c & z end{bmatrix}

Транспонування матриці рядків і стовпців

Матриця, яка має один рядок, називається матрицею-рядком, тоді як матриця, яка має один стовпець, називається матрицею-стовпцем. Транспонування матриці-рядка є матрицею-стовпцем і навпаки. Наприклад, якщо P є матрицею-стовпцем порядку 4 × 1, то її транспонування є матрицею-рядком порядку 1 × 4. Якщо Q є матрицею-рядком порядку 1 × 3, то її транспонування є матрицею-стовпцем порядку 3 × 1.

P = left[egin{array}{cccc} a & b & c & dend{array} ight]⇒ P^{t} = left[egin{array}{c} a b c d end{array} ight]

Q = left[egin{array}{c} p q r end{array} ight]⇒ Q^{t} = left[egin{array}{ccc} p & q & rend{array} ight]

Транспонування горизонтальної та вертикальної матриць

Якщо кількість рядків у матриці менша за кількість стовпців, то матриця відома як горизонтальна матриця, а якщо кількість стовпців у матриці менша за кількість рядків, то матриця відома як a вертикальна матриця. Транспонування горизонтальної матриці є вертикальною матрицею і навпаки. Наприклад, якщо M є горизонтальною матрицею порядку 2 × 3, то її транспонування є вертикальною матрицею порядку 3 × 2.

M = left[egin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 0 & 3 & 4 end{array} ight]_{2 imes3}⇒ M^{t} = left[egin{array}{cc} 2 & 0 0 & 3 -1 & 4 end{array} ight]_{3 imes2}

N = left[egin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 4 & 6 & 8 6 & 9 & 12 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{4 imes3}⇒ N^{t} = left[egin{array}{cccc} 2 & 4 & 6 & 8 3 & 6 & 9 & 12 4 & 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{3 imes4}

Транспонування симетричної матриці

Симетрична матриця схожа на особливий вид шаблону, де числа розташовані таким чином, що дзеркально відображають одне одного по діагональній лінії від верхнього лівого кута до нижнього правого. Транспонування матриці означає перевертання матриці над цією діагональною лінією.

Наприклад,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Цифри по обидва боки від діагональної лінії однакові: 2 — навпроти 2, 3 — навпроти 3 і так далі. Тепер, якщо ми транспонуємо цю матрицю, ми просто перевернемо її по діагональній лінії. Таким чином, числа, які спочатку були в рядках, стають стовпцями і навпаки.

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Тут вихідна матриця та її транспонування абсолютно однакові. Це тому, що коли ви транспонуєте симетричну матрицю, ви отримуєте ту саму матрицю назад! Це особлива властивість симетричних матриць.

Транспонування діагональної матриці

Діагональна матриця схожа на шаблон, де числа з’являються лише вздовж діагональної лінії від верхнього лівого до нижнього правого кута, тоді як усі інші записи є нулями. Транспонування матриці означає перевертання матриці над цією діагональною лінією.

Наприклад,

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Тут по діагоналі стоять цифри 2, 3 і 5, а всі інші записи — нулі. Оскільки діагональна матриця вже симетрична відносно своєї діагоналі, транспонування діагональної матриці є просто самою собою:

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Транспонування транспонованої матриці

Коли ви транспонуєте матрицю, ви, по суті, перевертаєте її по діагоналі. Таким чином, транспонування матриці, яка вже була транспонована, означає повернення її до початкової орієнтації.

Наприклад,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix}

Тепер, якщо ми візьмемо транспонування цієї транспонованої матриці:

left( egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix} ight)^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix}

Транспонування квадратної матриці

Квадратні матриці — це матриці, які мають однакову кількість рядків і стовпців. для будь-якої квадратної матриці A_n×n, його транспонування має той самий порядок, тобто транспонування A, A^tмає порядок n × n. Рядки та стовпці міняються місцями при транспонуванні квадратної матриці.

Транспонування матриці 2 × 2

Для будь-яких 2 × 2 матриць A

A =egin{bmatrix} a & x b & y end{bmatrix}

його транспонування - A^t,

А^t= egin{bmatrix} a & b x & y end{bmatrix}

Приклад: знайдіть транспонування матриці A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}

рішення:

Транспонувати матрицю A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix} є

А^t=egin{bmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{bmatrix}

Транспонування матриці 3 × 3

Для будь-яких матриць A 3 × 3

A =egin{bmatrix} a & x & p b & y & q c & z & r end{bmatrix}

його транспонування - A^t,

А^t= egin{bmatrix} a & b & c x & y & z p & q & r end{bmatrix}

Приклад: знайдіть транспонування матриці A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

рішення:

Транспонувати матрицю A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} є

А^t=egin{bmatrix} 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 end{bmatrix}

Визначник транспонування матриці

Визначник транспонування матриці A дорівнює визначнику самої A, тобто для будь-якої квадратної матриці A

|A| = |А ^Т |

Транспонування властивостей матриці

Давайте дізнаємося про важливі властивості транспонування матриці:

• Квадратна матриця A порядку n × n називається ортогональною матрицею, якщо AA^Т= А^ТA = I, де I – одинична матриця порядку n × n.
• Квадратна матриця A порядку n × n називається симетричною матрицею, якщо її транспонування таке ж, як і вихідна матриця, тобто A^Т= А.
• Квадратна матриця A порядку n × n називається кососиметричною матрицею, якщо її транспонування дорівнює негативу вихідної матриці, тобто A^Т= –A.
• Подвійне транспонування матриці: Транспонування матриці транспонування є самою оригінальною матрицею.

(А ^t ) ^t = А

• Транспонування добутку матриць: Це властивість говорить про це

(AB) ^t = Б ^t А ^t

Доказ:

що означає xdxd

Якщо матриці A і B мають порядок m × n і n × p відповідно.

і

А^tі Б^tє транспонуванням матриць A і B порядків n × m і p × n відповідно (з правила добутку матриць).

Це означає, якщо A = [a(ij)] і A^t= [c(з)]

Тоді [c(ji)] = [a(ij)]

і,

Якщо B = [b(jk)] і B^t= [d(кДж)]

Тоді [d(kj)] = [b(jk)]

Тепер, виходячи з правила добутку матриць, ми можемо написати,

AB — це матриця m × p і (AB)^tє p × m матрицею.

Крім того, Б^tє матрицею p × n, і A^tє матрицею n × m.

Це означає, що

(Б^t)(А^t) є матрицею p × m.

тому

(AB)^tі (Б^t)(А^t) обидві матриці p × m.

Тепер ми можемо писати,

(k, i)^тиселемент (AB)^t= (i, k)^тиселемент АВ

sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} sum_{j=1}^{n} c_{ji} d_{kj}

sum_{j=1}^{n} d_{kj} c_{ji}

(k, i)-й елемент (Б ^t )(А ^t )

тому

елементи (AB) ^t і (Б ^t )(А ^t ) рівні.

тому

(AB) ^t = (Б ^t )(А ^t )

• Множення на константу: Якщо матрицю помножити на скалярне значення та використати її транспонування, то результуюча матриця дорівнюватиме транспонуванню вихідної матриці, помноженому на скалярне значення, тобто (кА)^t= кА^t, де k — скалярне значення.

Доказ:

Розглянемо матрицю A = [a_ij]_{m × n}і скаляр k.

Порядок заданої матриці A дорівнює m × n.

Якщо матрицю A помножити на скалярне значення k, то всі елементи матриці помножать на цю скалярну постійну k, але порядок матриці kA залишиться незмінним, тобто m × n.

Тепер порядок транспонування матриці kA, тобто (kA)^tбуде n × m.

Оскільки порядок матриці A дорівнює m × n, порядок її матриці транспонування, тобто A^tбуде n × m.

Якщо матриця А^tмножиться на скалярне значення k, то порядок матриці kA^tтакож буде n × m.

Отже, порядок матриць (кА)^tі кА^tоднакова, тобто n × m.

Тепер доведемо, що відповідні елементи (kA)^tі кА^tрівні.

(i, j)-й елемент (kA)^tдорівнюватиме (j, i)-му елементу kA.

(i, j)^тиселемент (кА)^t= (j, i)^тиселемент кА

⇒ (i, j)^тиселемент (кА)^t= (i, j)^тиселемент кА^t

Отже, ми говоримо, що відповідні елементи (kA)^tі кА^tрівні.

Як порядок і відповідні елементи (кА)^tі кА^tрівні,

Тому можна зробити висновок, що (кА) ^t = кА ^t .

gimp замінює колір

• Транспонування додавання матриць: Це властивість говорить про це.

(A + B) ^t = А ^t + Б ^t

Доказ:

Тут A і B — дві матриці порядку m × n

Дозволяти, A = [a(ij)] і B = [b(ij)] порядку m × n .

Так, (A + B) також порядок m × n матриця

Крім того, А ^t і Б ^t знаходяться в порядку n × m матриці.

Отже, Транспонування матриці (A + B) або (A + B) ^t є n × m матриця.

Тепер ми можемо сказати, А ^t + Б ^t також є n × m матриця.

Тепер, з правила транспонування,
(j, i)th елемент (A + B) ^t = (i, j)th елемент (A + B)

= (i, j)th елемент А + (i, j)th елемент Б
= (j, i)th елемент А ^t + (j, i)th елемент Б ^t
= (j, i)th елемент (А ^t + Б ^t )

тому

(A + B) ^t = А ^t + Б ^t

• Якщо A є квадратною матрицею будь-якого порядку і є оборотною, то обернена транспонована матриця дорівнює транспонованій оберненій вихідній матриці, тобто (A^t)^-1= (А^-1)^t.

Доказ:

Щоб довести це (А^t)^-1= (А^-1)^t, розглянемо неособливу квадратну матрицю A.

RHS = (А^-1)^t

Тепер помножте (А^-1)^tвід А^t

= (А^-1)^t× А^t

Ми знаємо, що (AB)^t= Б^tА^t

Отже, (А^-1)^tА^t= (АА^-1)^t

Ми знаємо, що АА^-1= I, де I – одинична матриця.

Отже, (А^-1)^tА^t= Я^t

⇒ (А^-1)^tА^t= I (Оскільки I^t= я)

⇒ (А^-1)^t= (А^t)^-1= LHS

Звідси доведено.

тому (А ^t ) ^-1 = (А ^-1 ) ^t

як об'єднати рядки в java

Люди також читають:

• Приєднаний до матриці
• Визначник матриці
• Обернена до матриці

Розв’язані приклади транспонування матриці

Приклад 1: Знайдіть транспонування матриці A = egin{bmatrix} a & b & c p & q & r end{bmatrix}

рішення:

Транспонування матриці A є A^t

А^t=egin{bmatrix} a & p b & q c & r end{bmatrix}

Приклад 2: для матриць A = egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} і B = egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

Доведіть, що для цих матриць виконується властивість (AB) ^t = (Б ^t )(А ^t )

рішення:

Ось A і B 23 і 3×2 матриці відповідно. Отже, за правилом добутку матриці ми можемо знайти їхній добуток, і остаточні матриці будуть 2×2 матриця.

Л.Х.С

тепер,

AB= egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

AB =egin{bmatrix} (-2)×2+1×(-3)+3×4 & (-2)×1+1×0+3×(-5) 0×2+4×(-3)+(-1)×4 & 0×1+4×0+(-1)×(-5) end{bmatrix}

AB= egin{bmatrix} 5 & -17 -16 & 5 end{bmatrix}

Таким чином, транспонування матриці AB є,

(AB)^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

Р.Х.С

A^{t} = egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix}

і

B^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix}

Так,

B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2×(-2)+(-3)×1+4×3 & 2×0+(-3)×4+4×(-1) 1×(-2)+0×1+(-5)×3 & 1×0+0×4+(-5)×(-1) end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

тому

(AB) ^t = Б ^t А ^t

Приклад 3: Перевірте, чи (Q ^Т ) ^Т = Q чи ні.

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

рішення:

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Q^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]^{T}

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight] = Q

Тому перевірено.

Приклад 4: Перевірте, чи є наведена нижче матриця симетричною чи ні.

P = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]

рішення:

Ми знаємо, що квадратна матриця P порядку n × n називається симетричною матрицею, якщо її транспонування таке ж, як вихідна матриця, тобто P^Т= П.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]^{T}

Тепер, П^Тотримується заміною його рядків на стовпці.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight] = P

Як П^Т= P, дана квадратна матриця є симетричною.

Приклад 5: Для матриць A= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} і B= egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix}

Доведіть, що ці матриці мають цю властивість (A + B) ^t = А ^t + Б ^t

рішення:

Л.Х.С

(A+B)= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 5+(-2) 3+5 & 2+4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 6 end{bmatrix}

Так,

(A+B)^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

Р.Х.С

A^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix}

історія в java

і,

B^{t} = egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix}

тепер,

A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 3+5 5+(-2) & 2+4 end{bmatrix} A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

тому

(A + B) ^t = А ^t + Б ^t

Поширені запитання щодо транспонування матриці

Що таке транспонування матриці?

Транспонування матриці — це матриця, отримана шляхом перестановки рядків і стовпців матриці. Транспонування матриці A позначається як A^t. Для заданої матриці порядку m×n транспонування матриці має порядок n×m.

Який порядок транспонування квадратної матриці?

Для квадратної матриці порядок матриці не змінюється при транспонуванні, тому для матриці порядку n×n порядок її транспонування також дорівнює n×n.

Що таке властивість додавання матриці транспонування?

Властивість додавання транспонованої матриці стверджує, що сума двох транспонованих матриць завжди дорівнює сумі транспонованих окремих матриць, тобто

(A+B)′ = A′+B′

Що таке властивість множення матриці транспонування?

Властивість множення транспонування матриці стверджує, що добуток транспонування двох матриць завжди дорівнює добутку транспонування окремих матриць у зворотному порядку, тобто

(A×B)′ = B′ × A′

Як розрахувати транспонування матриці?

Транспонування будь-якої матриці можна легко знайти, змінивши значення в рядках значеннями в стовпцях.