У цій статті ми обговоримо бінарне дерево пошуку. Ця стаття буде дуже корисною та інформативною для студентів із технічною освітою, оскільки це важлива тема їх курсу.
Перш ніж перейти безпосередньо до бінарного дерева пошуку, давайте спочатку подивимося короткий опис дерева.
Що таке дерево?
Дерево — це свого роду структура даних, яка використовується для представлення даних в ієрархічній формі. Його можна визначити як набір об’єктів або сутностей, які називаються вузлами, які пов’язані між собою для імітації ієрархії. Дерево — це нелінійна структура даних, оскільки дані в дереві не зберігаються лінійно чи послідовно.
Тепер давайте почнемо тему, дерево бінарного пошуку.
рядок у масиві в c
Що таке бінарне дерево пошуку?
Двійкове дерево пошуку дотримується певного порядку розташування елементів. У бінарному дереві пошуку значення лівого вузла має бути меншим за батьківський вузол, а значення правого вузла має бути більшим за батьківський вузол. Це правило рекурсивно застосовується до лівого та правого піддерев кореня.
Давайте розберемо концепцію бінарного дерева пошуку на прикладі.
На наведеному вище малюнку ми бачимо, що кореневий вузол дорівнює 40, і всі вузли лівого піддерева менші за кореневий вузол, а всі вузли правого піддерева більші за кореневий вузол.
Подібним чином ми бачимо, що лівий дочірній елемент кореневого вузла більший за його лівий дочірній елемент і менший за правого дочірнього вузла. Отже, він також задовольняє властивість бінарного дерева пошуку. Таким чином, ми можемо сказати, що дерево на зображенні вище є бінарним деревом пошуку.
Припустімо, якщо ми змінимо значення вузла 35 на 55 у наведеному вище дереві, перевіримо, чи буде це дерево бінарним деревом пошуку чи ні.
У наведеному вище дереві значення кореневого вузла дорівнює 40, що більше, ніж його лівий дочірній елемент 30, але менший, ніж правий дочірній елемент 30, тобто 55. Отже, вищенаведене дерево не задовольняє властивість бінарного дерева пошуку. Таким чином, наведене вище дерево не є бінарним деревом пошуку.
Переваги бінарного дерева пошуку
- Шукати елемент у бінарному дереві пошуку легко, оскільки ми завжди маємо підказку про те, яке піддерево містить потрібний елемент.
- Порівняно з масивами та пов’язаними списками операції вставки та видалення виконуються швидше в BST.
Приклад створення бінарного дерева пошуку
Тепер розглянемо створення бінарного дерева пошуку на прикладі.
випадкове число від 1 до 10
Припустимо, що елементи даних є - 45, 15, 79, 90, 10, 55, 12, 20, 50
- Спочатку ми повинні вставити Чотири в дерево як корінь дерева.
- Потім прочитайте наступний елемент; якщо він менший за кореневий вузол, вставте його як корінь лівого піддерева та перейдіть до наступного елемента.
- В іншому випадку, якщо елемент більший за кореневий вузол, вставте його як корінь правого піддерева.
Тепер давайте розглянемо процес створення бінарного дерева пошуку з використанням даного елемента даних. Процес створення BST показано нижче:
Крок 1 - Вставте 45.
Крок 2 - Вставте 15.
Оскільки 15 менше за 45, вставте його як кореневий вузол лівого піддерева.
Крок 3 - Вставте 79.
Оскільки 79 більше за 45, вставте його як кореневий вузол правого піддерева.
Крок 4 - Вставте 90.
90 більше за 45 і 79, тому його буде вставлено як праве піддерево 79.
Крок 5 - Вставте 10.
10 менше, ніж 45 і 15, тому його буде вставлено як ліве піддерево 15.
log4j
Крок 6 - Вставте 55.
55 більше за 45 і менше за 79, тому його буде вставлено як ліве піддерево 79.
Крок 7 - Вставте 12.
12 менше за 45 і 15, але більше за 10, тому його буде вставлено як праве піддерево 10.
Крок 8 - Вставте 20.
20 менше за 45, але більше за 15, тому його буде вставлено як праве піддерево 15.
Крок 9 - Вставте 50.
50 більше за 45, але менше за 79 і 55. Отже, його буде вставлено як ліве піддерево 55.
На цьому створення бінарного дерева пошуку завершено. Після цього перейдемо до операцій, які можна виконувати в бінарному дереві пошуку.
Ми можемо виконувати операції вставки, видалення та пошуку в бінарному дереві пошуку.
Давайте розберемося, як виконується пошук у бінарному дереві пошуку.
Пошук у бінарному дереві пошуку
Пошук означає знайти або знайти певний елемент або вузол у структурі даних. У бінарному дереві пошуку пошук вузла простий, оскільки елементи в BST зберігаються в певному порядку. Етапи пошуку вузла в бінарному дереві пошуку перераховані таким чином:
- Спочатку порівняйте елемент, який потрібно шукати, з кореневим елементом дерева.
- Якщо кореневий елемент збігається з цільовим елементом, повертається розташування вузла.
- Якщо він не збігається, то перевірте, чи елемент менший за кореневий елемент, якщо він менший за кореневий елемент, то перейдіть до лівого піддерева.
- Якщо він більший за кореневий елемент, то перейдіть до правого піддерева.
- Повторюйте описану вище процедуру рекурсивно, доки не буде знайдено збіг.
- Якщо елемент не знайдено або відсутній у дереві, повертається NULL.
Тепер давайте розберемося з пошуком у бінарному дереві на прикладі. Ми беремо сформоване вище бінарне дерево пошуку. Припустимо, ми повинні знайти вузол 20 у дереві нижче.
Крок 1:
Крок 2:
крок 3:
Тепер давайте розглянемо алгоритм пошуку елемента в бінарному дереві пошуку.
Алгоритм пошуку елемента в бінарному дереві пошуку
Search (root, item) Step 1 - if (item = root → data) or (root = NULL) return root else if (item <root 2 → data) return search(root left, item) else right, end if step - < pre> <p>Now let's understand how the deletion is performed on a binary search tree. We will also see an example to delete an element from the given tree.</p> <h3>Deletion in Binary Search tree</h3> <p>In a binary search tree, we must delete a node from the tree by keeping in mind that the property of BST is not violated. To delete a node from BST, there are three possible situations occur -</p> <ul> <li>The node to be deleted is the leaf node, or,</li> <li>The node to be deleted has only one child, and,</li> <li>The node to be deleted has two children</li> </ul> <p>We will understand the situations listed above in detail.</p> <p> <strong>When the node to be deleted is the leaf node</strong> </p> <p>It is the simplest case to delete a node in BST. Here, we have to replace the leaf node with NULL and simply free the allocated space.</p> <p>We can see the process to delete a leaf node from BST in the below image. In below image, suppose we have to delete node 90, as the node to be deleted is a leaf node, so it will be replaced with NULL, and the allocated space will free.</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/58/binary-search-tree-15.webp" alt="Binary Search tree"> <p> <strong>When the node to be deleted has only one child</strong> </p> <p>In this case, we have to replace the target node with its child, and then delete the child node. It means that after replacing the target node with its child node, the child node will now contain the value to be deleted. So, we simply have to replace the child node with NULL and free up the allocated space.</p> <p>We can see the process of deleting a node with one child from BST in the below image. In the below image, suppose we have to delete the node 79, as the node to be deleted has only one child, so it will be replaced with its child 55.</p> <p>So, the replaced node 79 will now be a leaf node that can be easily deleted.</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/58/binary-search-tree-16.webp" alt="Binary Search tree"> <p> <strong>When the node to be deleted has two children</strong> </p> <p>This case of deleting a node in BST is a bit complex among other two cases. In such a case, the steps to be followed are listed as follows -</p> <ul> <li>First, find the inorder successor of the node to be deleted.</li> <li>After that, replace that node with the inorder successor until the target node is placed at the leaf of tree.</li> <li>And at last, replace the node with NULL and free up the allocated space.</li> </ul> <p>The inorder successor is required when the right child of the node is not empty. We can obtain the inorder successor by finding the minimum element in the right child of the node.</p> <p>We can see the process of deleting a node with two children from BST in the below image. In the below image, suppose we have to delete node 45 that is the root node, as the node to be deleted has two children, so it will be replaced with its inorder successor. Now, node 45 will be at the leaf of the tree so that it can be deleted easily.</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/58/binary-search-tree-17.webp" alt="Binary Search tree"> <p>Now let's understand how insertion is performed on a binary search tree.</p> <h3>Insertion in Binary Search tree</h3> <p>A new key in BST is always inserted at the leaf. To insert an element in BST, we have to start searching from the root node; if the node to be inserted is less than the root node, then search for an empty location in the left subtree. Else, search for the empty location in the right subtree and insert the data. Insert in BST is similar to searching, as we always have to maintain the rule that the left subtree is smaller than the root, and right subtree is larger than the root.</p> <p>Now, let's see the process of inserting a node into BST using an example.</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/58/binary-search-tree-18.webp" alt="Binary Search tree"> <br> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/58/binary-search-tree-19.webp" alt="Binary Search tree"> <h3>The complexity of the Binary Search tree</h3> <p>Let's see the time and space complexity of the Binary search tree. We will see the time complexity for insertion, deletion, and searching operations in best case, average case, and worst case.</p> <h3>1. Time Complexity</h3> <table class="table"> <tr> <th>Operations</th> <th>Best case time complexity</th> <th>Average case time complexity</th> <th>Worst case time complexity</th> </tr> <tr> <td> <strong>Insertion</strong> </td> <td>O(log n)</td> <td>O(log n)</td> <td>O(n)</td> </tr> <tr> <td> <strong>Deletion</strong> </td> <td>O(log n)</td> <td>O(log n)</td> <td>O(n)</td> </tr> <tr> <td> <strong>Search</strong> </td> <td>O(log n)</td> <td>O(log n)</td> <td>O(n)</td> </tr> </table> <p>Where 'n' is the number of nodes in the given tree.</p> <h3>2. Space Complexity</h3> <table class="table"> <tr> <th>Operations</th> <th>Space complexity</th> </tr> <tr> <td> <strong>Insertion</strong> </td> <td>O(n)</td> </tr> <tr> <td> <strong>Deletion</strong> </td> <td>O(n)</td> </tr> <tr> <td> <strong>Search</strong> </td> <td>O(n)</td> </tr> </table> <ul> <li>The space complexity of all operations of Binary search tree is O(n).</li> </ul> <h2>Implementation of Binary search tree</h2> <p>Now, let's see the program to implement the operations of Binary Search tree.</p> <p> <strong>Program:</strong> Write a program to perform operations of Binary Search tree in C++.</p> <p>In this program, we will see the implementation of the operations of binary search tree. Here, we will see the creation, inorder traversal, insertion, and deletion operations of tree.</p> <p>Here, we will see the inorder traversal of the tree to check whether the nodes of the tree are in their proper location or not. We know that the inorder traversal always gives us the data in ascending order. So, after performing the insertion and deletion operations, we perform the inorder traversal, and after traversing, if we get data in ascending order, then it is clear that the nodes are in their proper location.</p> <pre> #include using namespace std; struct Node { int data; Node *left; Node *right; }; Node* create(int item) { Node* node = new Node; node->data = item; node->left = node->right = NULL; return node; } /*Inorder traversal of the tree formed*/ void inorder(Node *root) { if (root == NULL) return; inorder(root->left); //traverse left subtree cout<data <right); traverse right subtree } node* findminimum(node* cur) *to find the inorder successor* { while(cur->left != NULL) { cur = cur->left; } return cur; } Node* insertion(Node* root, int item) /*Insert a node*/ { if (root == NULL) return create(item); /*return new node if tree is empty*/ if (item data) root->left = insertion(root->left, item); else root->right = insertion(root->right, item); return root; } void search(Node* &cur, int item, Node* &parent) { while (cur != NULL && cur->data != item) { parent = cur; if (item data) cur = cur->left; else cur = cur->right; } } void deletion(Node*& root, int item) /*function to delete a node*/ { Node* parent = NULL; Node* cur = root; search(cur, item, parent); /*find the node to be deleted*/ if (cur == NULL) return; if (cur->left == NULL && cur->right == NULL) /*When node has no children*/ { if (cur != root) { if (parent->left == cur) parent->left = NULL; else parent->right = NULL; } else root = NULL; free(cur); } else if (cur->left && cur->right) { Node* succ = findMinimum(cur->right); int val = succ->data; deletion(root, succ->data); cur->data = val; } else { Node* child = (cur->left)? cur->left: cur->right; if (cur != root) { if (cur == parent->left) parent->left = child; else parent->right = child; } else root = child; free(cur); } } int main() { Node* root = NULL; root = insertion(root, 45); root = insertion(root, 30); root = insertion(root, 50); root = insertion(root, 25); root = insertion(root, 35); root = insertion(root, 45); root = insertion(root, 60); root = insertion(root, 4); printf('The inorder traversal of the given binary tree is -
'); inorder(root); deletion(root, 25); printf('
After deleting node 25, the inorder traversal of the given binary tree is -
'); inorder(root); insertion(root, 2); printf('
After inserting node 2, the inorder traversal of the given binary tree is -
'); inorder(root); return 0; } </data></pre> <p> <strong>Output</strong> </p> <p>After the execution of the above code, the output will be -</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/58/binary-search-tree-20.webp" alt="Binary Search tree"> <p>So, that's all about the article. Hope the article will be helpful and informative to you.</p> <hr></root> Вихід
mysql update join
Після виконання наведеного вище коду результатом буде -
Отже, це все про статтю. Сподіваюся, стаття буде для вас корисною та інформативною.