Тригонометричні формули — це рівняння, які зв’язують сторони та кути трикутників. Вони необхідні для вирішення широкого кола задач у математиці, фізиці, інженерії та інших галузях.

Ось деякі з найпоширеніших типів тригонометричних формул:

• Основні визначення: Ці формули визначають тригонометричні співвідношення (синус, косинус, тангенс тощо) у термінах сторін прямокутного трикутника.
• Теорема Піфагора: Ця теорема пов’язує довжини сторін прямокутного трикутника.
• Кутові співвідношення: Ці формули пов’язують тригонометричні співвідношення різних кутів, наприклад, формули суми та різниці, формули подвійного кута та формули половини кута.
• Взаємні тотожності: Ці формули виражають одне тригонометричне співвідношення через інше, наприклад sin(θ) = 1/coc(θ).
• Одиничне коло: Одиничне коло є графічним зображенням тригонометричних співвідношень, і його можна використовувати для виведення багатьох інших формул.
• Закон синусів і закон косинусів: Ці закони пов’язують сторони та кути будь-якого трикутника, а не тільки прямокутного.

Читайте далі, щоб дізнатися про різні тригонометричні формули та тотожності, розв’язані приклади та практичні завдання.

Зміст

• Що таке тригонометрія?
• Огляд формули тригонометрії
• Основні тригонометричні співвідношення
• Тригонометричні тотожності
• Список тригонометричних формул

Що таке тригонометрія?

Тригонометрія визначається як розділ математики, який зосереджується на вивченні зв’язків між довжинами та кутами трикутників. Тригонометрія складається з різних видів задач, які можна розв’язувати за допомогою тригонометричних формул і тотожностей.

Тригонометричні функції

Тригонометричні функції — це математичні функції, які зв’язують кути прямокутного трикутника з довжинами його сторін. Вони мають широке застосування в різних галузях, таких як фізика, техніка, астрономія тощо. Основні тригонометричні функції включають синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс.

Огляд формули тригонометрії

Тригонометричні формули — це математичні вирази, які зв’язують кути та сторони a Прямокутний трикутник . Є 3 сторони прямокутного трикутника складається з:

• Гіпотенуза : Це найдовша сторона прямокутного трикутника.
• Перпендикуляр/Протилежна сторона : це сторона, яка утворює прямий кут відносно заданого кута.
• База : Основа відноситься до прилеглої сторони, де з’єднані гіпотенуза та протилежна сторона.

Тригонометричне співвідношення

Для учнів 9, 10, 11, 12 класів тут коротко наведено всі тригонометричні відношення, тотожності добутків, формули половини кута, формули подвійного кута, тотожності суми та різниці, тотожності кофункції, знак відношення в різних квадрантах тощо. .

перетворити рядок на числове

Ось список формул у тригонометрії, які ми збираємося обговорити:

• Основні формули тригонометричних відношень
• Формули одиничного кола
• Тригонометричні тотожності

Основні тригонометричні співвідношення

У тригонометрії існує 6 співвідношень. Вони називаються тригонометричними функціями. Нижче наведено список тригонометричні співвідношення , включаючи синус, косинус, секанс, косеканс, тангенс і котангенс.

Формула одиничного кола в тригонометрії

Для одиничного кола, радіус якого дорівнює 1, i це кут. Значення гіпотенузи і основи дорівнюють радіусу одиничного кола.

Гіпотенуза = прилегла сторона (основа) = 1

Коефіцієнти тригонометрії визначаються як:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• cot θ = x/y
• сек θ = 1/х
• cosec θ = 1/y

Діаграма тригонометричних функцій

Тригонометричні тотожності

Зв’язок між тригонометричними функціями виражається через тригонометричні тотожності, які іноді називають тригонометричними тотожностями або тригонометричними формулами. Вони залишаються вірними для всіх дійсних значень присвоєних змінних у них.

• Взаємні тотожності
• Піфагорійські тотожності
• Ідентичності періодичності (у радіанах)
• Формула парних і непарних кутів
• Кофункціональні тотожності (у градусах)
• Сума і різниця тотожності
• Подвійні кутові тотожності
• Формули оберненої тригонометрії
• Потрійні кутові тотожності
• Тотожності половинного кута
• Сума до ідентифікаторів продукту
• Ідентифікація продукту

Давайте обговоримо ці ідентичності докладніше.

Взаємні тотожності

Усі взаємні тотожності отримано з використанням прямокутного трикутника як еталону. Взаємні тотожності такі:

• cosec θ = 1/sin θ
• сек θ = 1/cos θ
• ліжечко θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/сек θ
• tan θ = 1/cot θ

Піфагорійські тотожності

Згідно з теоремою Піфагора, у прямокутному трикутнику, якщо «c» є гіпотенузою, а «a» і «b» є двома катетами, тоді c2 = a2 + b2. Ми можемо отримати тотожності Піфагора, використовуючи цю теорему та тригонометричні співвідношення. Ми використовуємо ці ідентичності для перетворення одного тригонометричного співвідношення в інше .

• без²θ + cos²θ = 1
• 1 + так²θ = сек²i
• 1 + дитяче ліжечко²θ = cosec²i

Діаграма тригонометричних формул

Ідентичності періодичності (у радіанах)

Ці тотожності можна використовувати для зміщення кутів на π/2, π, 2π тощо. Вони також відомі як співфункціональні тотожності.

всі тригонометричні тотожності повторюються через певний період. Тому мають циклічний характер. Цей період для повторення значень різний для різних тригонометричних тотожностей.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

Ось таблиця, у якій порівнюються тригонометричні властивості в різних квадрантах:

Формула парних і непарних кутів

Формули парного та непарного кутів, також відомі як парно-непарні тотожності, використовуються для вираження тригонометричних функцій від’ємних кутів через додатні кути. Ці тригонометричні формули засновані на властивостях парних і непарних функцій.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• cot(-θ) = -cotθ
• sec(-θ) = secθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Кофункціональні тотожності (у градусах)

Кофункціональні тотожності дають нам взаємозв’язок між різними тригонометричними функціями. Кофункції наведено тут у градусах:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = cot x
• cot(90°−x) = tan x
• sec(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sec x

Сума і різниця тотожності

Тотожності суми та різниці — це формули, які пов’язують синус, косинус і тангенс суми або різниці двох кутів із синусами, косинусами та тангенсами окремих кутів.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Подвійні кутові тотожності

Тотожності подвійного кута — це формули, які виражають тригонометричні функції кутів, які є подвійною мірою даного кута через тригонометричні функції вихідного кута.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²x)]
• cos(2x) = cos²(x) – без²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + tan²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²(x)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(x)]
• сек (2x) = сек²x/(2 – сек²x)
• cosec (2x) = (sec x • cosec x)/2

Формули оберненої тригонометрії

Формули оберненої тригонометрії відносяться до обернених тригонометричних функцій, які є оберненими до основних тригонометричних функцій. Ці формули використовуються для знаходження кута, який відповідає даному тригонометричному відношенню.

• без ^-1 (–x) = – sin ^-1 x
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 x
• так ^-1 (–x) = – отже ^-1 x
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 x
• сек ^-1 (–x) = π – сек ^-1 x
• ліжечко ^-1 (–x) = π – кот ^-1 x

Потрійні кутові тотожності

Тотожності потрійних кутів — це формули, які використовуються для вираження тригонометричних функцій потрійних кутів (3θ) через функції одиничних кутів (θ). Ці тригонометричні формули корисні для спрощення та розв’язування тригонометричних рівнянь, у яких використовуються потрійні кути.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ x

що таке f5 на клавіатурі

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Тотожності половинного кута

Тотожності півкута — це тригонометричні формули, які використовуються для знаходження синуса, косинуса або тангенса половини даного кута. Ці формули використовуються для вираження тригонометричних функцій півкутів через вихідний кут.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Крім того,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Сума до ідентифікаторів продукту

Тотожності суми та добутку — це тригонометричні формули, які допомагають нам виразити суми або різниці тригонометричних функцій як добутки тригонометричних функцій.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + cosy = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − cosy = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Ідентифікація продукту

Ідентичності добутку, також відомі як тотожності від добутку до суми, — це формули, які дозволяють виражати добутки тригонометричних функцій як суми або різниці тригонометричних функцій.

Ці тригонометричні формули є похідними від формул суми та різниці для синуса та косинуса.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Список тригонометричних формул

Наведена нижче таблиця містить основні тригонометричні співвідношення для таких кутів, як 0°, 30°, 45°, 60° і 90°, які зазвичай використовуються для вирішення задач.

Розв’язування завдань з тригонометричної формули

Ось кілька розв’язаних прикладів тригонометричних формул, які допоможуть вам краще зрозуміти концепції.

Запитання 1: Якщо cosec θ + cot θ = x, знайдіть значення cosec θ – cot θ, використовуючи формулу тригонометрії.

підручник по java swing

рішення:

cosec θ + cot θ = x

Ми знаємо, що cosec²θ+ ліжечко²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

Запитання 2: Використовуючи тригонометричні формули, покажіть, що tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

рішення:

Ми маємо,

L.H.S= засмага 10 ° тому 15 ° тому 75 ° тому 80 °

= засмага (90-80) ° тому 15 ° засмага (90-15) ° тому 80 °

= ліжечко 80 ° тому 15 ° ліжечко 15 ° тому 80 °

=(ліжечко 80 ° * тому 80 ° )(ліжечко 15 ° * тому 15 ° )

= 1 = П.В.С

Запитання 3. Якщо sin θ cos θ = 8, знайдіть значення (sin θ + cos θ) ² за допомогою тригонометричних формул.

рішення:

(sin θ + cos θ)²

альфа бета обрізка

= без²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Запитання 4: За допомогою тригонометричних формул доведіть, що (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

рішення:

L.H.S = (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1)

= [(tan θ + sec θ) – (sec²θ – отже²θ)]/(tan θ – сек. θ + 1), [Оскільки, сек.²θ – отже²θ = 1]

анонімна функція java

= {(tan θ + sec θ) – (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (1 – sec θ + tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (tan θ – sec θ + 1)}/(tan θ – sec θ + 1)

= tan θ + sec θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Доведено.

Поширені запитання про тригонометричні формули та тотожності

Що таке тригонометрія?

Тригонометрія — це розділ математики, який зосереджується на зв’язках між кутами та сторонами трикутників, зокрема прямокутних.

Які три основні тригонометричні співвідношення?

• Sin A = перпендикуляр/гіпотенуза
• Cos A= основа/гіпотенуза
• Tan A= перпендикуляр/основа

До якого трикутника застосовні тригонометричні формули?

Тригонометричні формули застосовні до прямокутних трикутників.

Які основні тригонометричні співвідношення?

Синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс.

Для якого кута значення коефіцієнта tan дорівнює коефіцієнту cot?

Для значення 45° tan 45°= ліжечко 45° = 1.

Що таке формула sin3x?

Формула sin3x: 3sin x – 4 sin³x.