Символи множин — це загальний термін, який використовується для всіх символів, які використовуються в теорії множин, яка є розділом математики, який має справу з колекцією об’єктів та їхніми різними властивостями. Набір — це чітко визначена колекція об’єктів, у якій кожен об’єкт у колекції називається елементом, і кожен елемент множини дотримується певного правила. Як правило, велика літера англійського алфавіту використовується для позначення множин, а деякі літери позначають деякі конкретні множини в теорії множин.
Існує багато символів, які використовуються під час вивчення цієї галузі математики, деякі з поширених символів: {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø тощо. Ми обговоримо всі ці символи детально в статті включно з історією цих символів. Отже, давайте почнемо нашу подорож із вивчення різних символів множин, які використовуються в теорії множин.
Зміст
- Що таке набір символів?
- Історія набору символів
- Основні поняття набору символів
- Набір символів у математиці
- Символи теорії множин
- Розв’язані приклади на набір символів
- Практичні запитання для набору символів
- поширені запитання
Що таке набір символів?
Набір символів — це основні блоки математики, які використовуються для представлення та опису груп об’єктів, чисел або елементів, які мають подібні властивості. Ці символи пропонують чіткий і послідовний підхід до передачі складних ідей про множини та їх взаємодію. Найтиповішим символом множини є ∈, що позначає приналежність і вимовляється як належить. ∈ вказує, що елемент є частиною певного набору.
Навпаки, ∉ означає, що елемент не є частиною набору. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅ тощо є одними з типових прикладів символів у теорії множин. Ці та інші символи дають змогу математикам визначати операції, конкретизувати операції та формулювати точні математичні твердження, закладаючи основу для різноманітних математичних спеціальностей і практичних застосувань.
Докладніше про Теорія множин .
Приклад набору символів
Скористаємося символом, що позначає перетин множин, як ілюстрацію. Нехай E і F — дві множини, такі що Set E = {1, 3, 5, 7} і Set F = {3, 6, 9}. Тоді символ ∩ представляє перетин обох наборів, тобто E ∩ F.
Тут E ∩ F містить усі елементи, які є спільними в обох множинах E і F, тобто {3}.
На завершення, символ ∩ використовується для ідентифікації елементів, які є спільними для двох або більше наборів. Перетин створює лише набори, які містять елементи, спільні для всіх наборів, які перетинаються.
Дізнайтеся більше про Перетин множин .
Історія набору символів
Між 1874 і 1897 роками німецький математик дзвонив Георг Фердинанд Людвіг Філіп Кантор розробив абстрактну теорію під назвою Теорія множин. Він запропонував це, досліджуючи деякі фактичні проблеми, що стосуються конкретних форм нескінченних наборів дійсних чисел. Множина, згідно з цим поняттям, - це угруповання певних визначених і відмінних об'єктів спостереження. Усі ці речі називаються членами або компонентами набору. Властивість дійсних алгебраїчних комбінацій чисел є основою теорії Кантора.
Основні поняття набору символів
На різних рівнях навчання в теорії множин розглядаються різні ідеї. Представлення множини, типи множини, операції з множиною (такі як об’єднання та перетин), потужність множини та відношення тощо є одними з основних понять. Ось деякі з основних понять теорії множин:
Універсальний набір
Велика літера «U» зазвичай використовується для позначення універсального набору. Іноді його також символізують ε (епсилон). Це множина, яка містить усі елементи інших множин, а також свою власну.
Доповнення набору
Доповнення множини складається з усіх складових універсальної множини, крім елементів множини, що досліджується. Якщо A є набором, то його доповнення міститиме всі члени зазначеної універсальної множини (U), які не входять до A. Доповнення до набору позначається або виражається як A’ або Aві визначається як:
A’= {x ∈ U: x ≠ A}
Докладніше про Доповнення набору .
Встановити нотацію конструктора
Нотація Set Builder — це метод представлення множин таким чином, що там, де нам не потрібно перераховувати всі елементи множини, нам просто потрібно вказати правило, якому дотримуються всі елементи множини. Деякі приклади цих нотацій:
Якщо A — набір дійсних чисел.
A = {x : x ∈ R}
Якщо А — сукупність натуральних чисел.
A = {x : x> 0 і x ∈ Z]
Де З є набором цілих чисел.
Читати далі, Подання множин .
Набір символів у математиці
Щоб позначити різні речі та суми, символ набору часто використовує попередньо визначений список змінних символів. Щоб читати та створювати позначення наборів, ви повинні спочатку зрозуміти, як використовувати символи в різних ситуаціях. Давайте розглянемо всі позначення та символи теорії множин, що стосуються операцій, відношень тощо, разом із їхніми значеннями та прикладами в цій категорії.
Символи, що використовуються в системі числення
Символи, які використовуються в системах числення, наведено в таблиці нижче:
| символ | Ім'я | Значення/Визначення | приклад |
|---|---|---|---|
| W або 𝕎 | Цілі числа | Це натуральні числа. | Ми знаємо N = {1, 2, 3, . . . } 1 ∈ N |
| N або ℕ | Натуральні числа | Натуральні числа іноді називають числами для підрахунку, які починаються з 1. | Ми знаємо, що W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z або ℤ | Цілі числа | Цілі числа можна порівняти з цілими, за винятком того, що вони також містять від’ємні значення. | Ми знаємо Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .} -6 ∈ Z |
| Q або ℚ | Раціональні числа | Раціональні числа – це числа, які позначаються як a/b. У цьому випадку a і b є цілими числами з b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z і b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| P або ℙ | Ірраціональні числа | Ті числа, які не можна представити у вигляді a/b, називаються ірраціональними, тобто всі дійсні числа, які не є раціональними. число java в рядок | P = x π і ∈ P |
| R або ℝ | Реальні числа | Цілі числа, раціональні числа та ірраціональні числа складають дійсні числа. | R= х 6,343434 ∈ R |
| C або ℂ | Комплексні числа | Комплексне число — це комбінація дійсного та уявного чисел. | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6 + 2 i ∈ C |
Символи теорії множин
Роздільники — це спеціальні символи або послідовності символів, які вказують на початок або кінець певного оператора або тіла функції вказаного набору. Нижче наведено символи та значення теорії роздільників:
| символ | Ім'я | Значення/Визначення | приклад |
|---|---|---|---|
| {} | встановити | У цих дужках міститься набір елементів/чисел/алфавітів у наборі. | {15, 22, c, d} |
| | | Такий як | Вони використовуються для створення набору шляхом визначення того, що в ньому міститься. | q> 6 Цей оператор визначає набір усіх q, для яких q більше 6. |
| : | Такий як | Символ : іноді використовується замість | символ. | Наведене вище речення можна альтернативно записати як q. |
Множини та реляційні символи в теорії множин
Символи теорії множин використовуються для ідентифікації певного набору, а також для визначення/показу зв’язку між різними наборами або зв’язків усередині набору, наприклад, зв’язку між набором і його складовою. У таблиці нижче наведено такі символи зв’язків, а також їх значення та приклади.
| символ | Ім'я | Значення/Визначення | приклад |
|---|---|---|---|
| a ∈ A | Є компонентом | Це вказує на те, що елемент є членом певного набору. | Якщо множина A={12, 17, 18, 27}, то можна сказати, що 27 ∈ a. |
| b ∉ B | Не є компонентом | Це означає, що елемент не належить до певного набору. | Якщо множина B={c, d, g, h, 32, 54, 59}, то будь-який елемент, окрім елемента множини, не належить цій множині. Наприклад, 18 ∉ B. |
| А = Б | Відношення рівності | Надані набори еквівалентні в тому сенсі, що вони мають однакові компоненти. | Якщо ви поставите P={16, 22, a} і Q={16, 22, a}, тоді P=Q. |
| А ⊆ В | Підмножина | Коли всі елементи A присутні в B, A є підмножиною B. | A= {31, b} і B={a, b, 31, 54} {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| A ⊂ B | Правильна підмножина | Кажуть, що P є власною підмножиною B, якщо воно є підмножиною B і не дорівнює B. | A= {24, c} і B={a, c, 24, 50} A ⊂ B |
| A ⊄ B | Не підмножина | У результаті множина A не є підмножиною множини B. | A = {67,52} і B = {42,34,12} A ⊄ B |
| A ⊇ B | Суперсет | A є надмножиною B, якщо множина B є підмножиною A. Набір A може бути таким самим, як набір B, або більшим за нього. | A = {14, 18, 26} і B = {14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| А ⊃ Б | Правильний супернабір | Набір A містить більше елементів, ніж набір B, оскільки він є надмножиною B. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| А ⊅ Б | Не супернабір | Якщо всі елементи B відсутні в A, A не є справжньою надмножиною B. | A = {11, 12, 16} і B = {11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| Ø | Порожній набір | Порожній або нульовий набір - це той, який не містить жодних елементів. | {22, y} ∩ {33, a} = Ø |
| IN | Універсальний набір | Набір, який містить елементи з усіх відповідних наборів, включаючи його власний. | Якщо A = {a,b,c} і B = {1,2,3,b,c}, то U = {1,2,3,a,b,c} |
| |A| або n{A} | Мощність множини | Кардинальність означає кількість елементів у певній колекції. | Якщо A= {17, 31, 45, 59, 62}, то |A|=5. |
| P(X) | Набір живлення | Степеневий набір — це набір усіх підмножин набору X, включаючи сам набір і нульовий набір. | Якщо X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Символи на основі операторів у теорії множин
На прикладах ми вивчимо символи теорії множин і значення численних операцій, таких як об’єднання, доповнення, перетин, різниця та інші.
| символ | Ім'я | Значення/Визначення | приклад |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | Об'єднання множин | Об’єднання наборів створює абсолютно новий набір шляхом поєднання всіх компонентів у наданих наборах. | A = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} A ∪ B (об’єднання A) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| A ∩ B | Перетин множин | Загальний компонент обох множин входить до перетину. | A = { 4, 8, a, b} і B = {3, 8, c, b}, тоді A ∩ B = {8, b} |
| XвАБОX’ | Доповнення набору | До комплекту входять усі речі, які не входять до набору. | Якщо A є універсальною множиною і A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} і B = {13, 15, 17, 18, 19}, тоді X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| А − Б | Встановити різницю | Набір відмінностей — це набір, який містить елементи з одного набору, яких немає в іншому. | A = {12, 13, 15, 19} і B = {13, 14, 15, 16, 17} A – B = {12, 19} помилка: не вдалося знайти або завантажити основний клас |
| A × B | Декартовий добуток множин | Декартовий добуток — це добуток упорядкованих компонентів множин. | A = {4, 5, 6} і B = {r} Тепер A × B = {(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A ∆ B | Симетрична різниця множин | A Δ B = (A – B) U (B – A) позначає симетричну різницю. | A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31} A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
Детальніше
- Типи наборів
- Операція над множинами
Розв’язані приклади на набір символів
Приклад 1. Дано два набори з P={21, 32, 43, 54, 65, 75} і Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}, яке значення P∪Q?
відповідь:
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} і Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
Приклад 2: Яке значення |Y| якщо Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?
відповідь:
|Y| = Мощність множини = кількість елементів у множині є рішенням.
|Y| = n(Y)=6, оскільки множина Y має 6 елементів.
Приклад 3. Дано два набори зі значеннями P={a,c,e} і Q={4,3}, визначити їх декартів добуток.
відповідь:
Декартовий добуток = P × Q
Якщо P={b, d, f} і Q={5, 6}
Тоді P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}
Приклад 4: припустимо, що P = {x: x — натуральне ціле число, кратне 24, і Q = {x: x — натуральне число, менше за 8}. Визначити P ∪ Q.
відповідь:
Враховуючи це
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
оцінка точності sklearnQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
У результаті P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
Приклад 5: припустимо, що P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Знайти (P ∩ Q)’.
відповідь:
Дано P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
тому
(P ∩ Q)’ = {3, 5, 6, 7, 8}
Приклад 6. Якщо P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} і Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, визначте
(i) P-Q і (ii) P-Q.
відповідь:
враховуючи,
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} і Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Практичні запитання для набору символів
Питання 1: Дано набори:
- A = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Визначте елементи в об’єднанні множин A і B.
Питання 2: Розглянемо набори:
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- Y = {3, 4, 5, 6, 7}
Знайти перетин множин X і Y.
Питання 3: Припустимо, у вас є набори:
- P = {a, b, c, d}
- Q = {c, d, e, f}
Обчисліть елементи множини P – Q, а також Q – P.
Питання 4: Припустимо, у вас є набори:
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
З’ясуйте, чи є множина V підмножиною множини U.
Питання 5: Розглянемо набори:
- S = {яблуко, банан, апельсин, груша}
- T = {груша, манго, вишня}
Знайдіть декартів добуток множин S і T.
Питання 6: Припустимо, у вас є універсальний набір:
- U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
І набори:
- E = {b, d, f, h, j}
- F = {a, c, e, g, i}
Обчислити доповнення множини E і F до універсальної множини U.
Поширені запитання щодо наборів символів
1. Визначте набір символів.
Символ множини — це гілка, яка вивчає групування сутностей/чисел/об’єктів, їхні зв’язки з іншими множинами, різні операції (об’єднання, перетин, доповнення та різниця) та пов’язані функції.
2. Що означає цей символ ⊆?
Символ ⊆ означає підмножину. Підмножина — це множина, елементи якої були додані так, ніби всі вони є елементами іншої множини.
3. Що означає ∪ в наборах?
‘∪’ — це знак об’єднання множин. A ∪ B — множина, яка містить усі елементи множин A і B.
4. Що означає P = Q?
Якщо множина P дорівнює множині Q, то члени P і Q однакові. Наприклад:
P = {4,5,6} і Q = {6,5,4}
В результаті P = Q.
5. Що означає ∩ в математиці?
‘∩’ означає об’єднання двох наборів. A ∩ B — це набір, який містить елементи, спільні як для A, так і для B.
6. Що таке ∈ у множинах?
∈ — знак, що означає «належить». Якщо b ∈ B, це означає, що b є елементом B.
7. Що таке множина N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} відомий як?
Набір натуральних чисел визначається як N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Він містить усі додатні числа від 1 до нескінченної кількості. Ця колекція має вирішальне значення для математики та забезпечує основу як для впорядкування, так і для підрахунку.
8. Що таке A × B у множинах?
Декартовий добуток множин A і B показано як A x B у символі множини. Це набір, який включає всі можливі впорядковані пари, в яких перший елемент взято з набору A, а другий з набору B.
9. Як ви будете читати A ∩ B?
A∩B вимовляється як A перетин B. Це означає множину, яка містить елементи, спільні в обох множинах.
10. Що означає Ø в теорії множин?
У теорії множин ідея порожньої множини, яка не має елементів, позначається символом Ø (вимовляється як порожня множина).
11. Що таке АУБ?
AUB у математиці розшифровується як об’єднання множин A і B. Це відноситься до множини, яка включає кожен елемент з обох множин A і B.
12. Чи збігається ∅ з {}?
Так, ∅ і {} обидва представляють порожню множину в математиці. Таким чином, обидва є різними позначеннями однієї речі.