Підмножини в математиці є ключовим поняттям у вивченні теорії множин, подібно до множин. Група елементів, об’єктів або елементів, взятих у фігурні дужки, наприклад {x, y, z}, називається встановити , де кожен член множини унікальний. Отже, для набору {x, y, z} можливими підмножинами є {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} або { x, y, z}. При визначенні набору його елементами можуть бути дійсні числа, константи, змінні або будь-які інші об’єкти.

У цій статті детально розглядається концепція підмножин і робить її легкою для розуміння всім читачам статті, незалежно від їхнього академічного рівня. Усі підтеми, такі як їх значення, визначення, символи, приклади та багато іншого, описані в статті з великою кількістю прикладів. Отже, давайте почнемо нашу подорож до країни теорії множин і розберемося з цим поняттям підмножин.

У цій статті ми надали детальну інформацію про що таке підмножини в математиці, надмножини в математиці, правильна підмножина та неправильна підмножина з прикладами та поширеними запитаннями.

Зміст

• Що таке підмножини в математиці?
• Приклад підмножин
• Силовий набір набору
• Типи підмножин
• Правильна підмножина
• Неправильна підмножина
• Власні та неправильні підмножини
• Підмножини проти супермножин

Що таке підмножини в математиці?

Набір «A» є підмножиною множини «B», якщо всі елементи множини A належать до множини B. Крім того, підмножина може дорівнювати множині в окремому випадку, коли всі елементи підмножини містяться в встановити.

Щоб краще зрозуміти підмножину, давайте розглянемо, що множина A є набором непарних чисел, а множина B складається з {1,3,5}, тому тут B є підмножиною A, а A є надмножиною B.

Наприклад: Якщо набір A містить {яблуко, банан}, а набір B містить {усі фрукти}, то A є підмножиною B.

Розглянемо ще один приклад для кращого розуміння.

Приклад: визначте, що є підмножиною, а що надмножиною, якщо A = {a, e, i, o, u} і B = { Усі алфавіти}.

відповідь:

водяний знак у word

Тут А містить усі голосні елементи, що входять до складу алфавіту. Отже, тут A є підмножиною B, а B є надмножиною A.

Визначення підмножини

Математично передбачається, що множина A є підмножиною множини B, якщо всі компоненти множини A також існують у множині B. Отже, підмножина є підгрупою будь-якої множини. Іншими словами, множина A міститься в множині B.

Наприклад: Якщо набір A = {1, 2, 3} і набір B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ми можемо сказати, що набір A є підмножиною набору B, оскільки всі елементи в наборі A доступні у наборі В.

Підмножина Значення

Множина, всі елементи якої є елементами інклюзивної множини, є значенням підмножини. Розглянемо такий набір X, що X містить назви всіх річок країни. Інший набір Y містить назви річок вашої Північної Індії. Тут y буде підмножиною x, оскільки всі річки Північної Індії також будуть річками нашої країни; отже, Y є підмножиною X. Для будь-якої множини існує лише певна кількість окремих або унікальних підмножин, тому решта є нерелевантними та повторюваними.

Приклад: перерахуйте всі підмножини множини Q = {1, 2, 3}.

відповідь:

Підмножини Q є {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} і {1, 2, 3}

Символ підмножини

Підмножина позначається символом і читається як «є підмножиною» в теорія множин . Підмножина представлена ​​символом ⊆. Підмножини можна виразити за допомогою цього символу наступним чином:

A ⊆ B це означає, що множина A є підмножиною множини B.

bash else if

Приклад підмножин

Єдина потреба, щоб множина A була підмножиною множини B, полягає в тому, щоб кожен елемент A був присутній у B. Ось кілька прикладів підмножин, заснованих на цьому.

• A = {2, 3, 10} є підмножиною B = {1, 2, 3, 4, 10},
• П = Набір усіх простих чисел є підмножиною Н = Множина всіх натуральних чисел, і
• X = {a, e, i, o, u} — це набір голосних і є підмножиною Y = набору всіх алфавітів.

Варто зазначити, що кожен набір є підмножиною самого себе, як і порожній набір ().

Приклад: чи може null Set бути підмножиною будь-якої множини?

відповідь:

Null є підмножиною кожного набору. За замовчуванням ми вважаємо цей факт, що всі множини містять елемент, який називається нульовим набором.

Підмножини дійсного числа

Реальні числа, які можна виразити десятковими числами, належать до різних категорій. З вашого повсякденного життя ви, безсумнівно, вже знайомі з дробами, десятковими дробами та підрахунком чисел. Наступні числа вважаються підмножиною дійсних чисел:

• Раціональні числа : будь-яке число, яке можна виразити у вигляді дробу, p/q, де p і q є натуральними числами. Це некінцеві десяткові дроби, що повторюються, і кінцеві десяткові дроби в десятковій формі. Наприклад: -5/9, 1/8
• Ірраціональні числа : ці числа не закінчуються і не повторюються, якщо виражені в десятковій формі. Наприклад: e.
• Цілі числа : усі числа для підрахунку, включаючи нуль та його протилежні. Наприклад: -2,-1,0,3
• Цілі числа : Нуль і всі додатні числа підрахунку. Наприклад, 0, 2, 500
• Натуральні числа : Усі позитивні числа підрахунку. Приклад 1,2,40

Приклад: До яких підмножин дійсних чисел належить -5?

відповідь:

-5 — раціональне число і ціле число.

Силовий набір набору

Набір набір потужності складається з кожної підмножини, а також вихідної множини та порожньої множини. P(A) позначає набір потужностей даного набору A. Наприклад, якщо A = {1, 2}, тоді P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Тут ми чітко бачимо, що всі підмножини A містяться в P(A), тобто множині ступенів A.

Кількість підмножин множини

Для будь-якого набору A кількість наборів seus задано за такою формулою

Кількість підмножин = 2 ^п

Де п кількість елементів у наборі.

Оскільки множина степенів містить усі підмножини будь-якої множини, тож для множини A, яка має «n» елементів, P(A) має 2^пелементів.

Приклад: Скільки елементів множини потужностей можна сформувати, якщо в множині чотири елементи?

відповідь:

Кількість елементів силового набору з трьох елементів 2⁴= 16.

сортування масиву Java

Типи підмножин

Існує два типи підмножин:

• Правильна підмножина
• Неправильна підмножина

Розглянемо ці типи докладніше:

Правильна підмножина

А належна підмножина містить лише кілька членів оригінального набору. Правильна підмножина ніколи не може дорівнювати вихідній множині. У належній підмножині підмножина, яка утворює вихідну множину, виключається.

Правильний символ підмножини

Власну підмножину позначають ⊂,

Ми можемо виразити належну підмножину для множини A і множини B як;

A ⊂ B

Приклад правильних підмножин

Нехай множина A = {1, 3, 5}, тоді власними підмножинами A є {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. Крім того, {1, 3, 5} є підмножиною A, але не є правильною підмножиною A.

Правильна формула підмножини

Кількість власних підмножин множини з «n» елементів дорівнює 2^п- 1.

Приклад: множина містить 3 елементи, якою буде кількість правильних підмножин?

відповідь:

Кількість правильних підмножин = 2^п- 1

Тут n = 3

N = 2³– 1 = 7

Неправильна підмножина

Ан неправильна підмножина містить включає як нульовий набір, так і кожен член початкового набору. Неправильна підмножина може дорівнювати вихідній множині. У неправильну підмножину включається підмножина, яка утворює вихідну множину. Це представлено символом ⊆ .

Приклад: Якою буде неправильна підмножина множини A = {1, 3, 5}?

відповідь:

кількість mysql

Неправильна підмножина: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} і {1,3,5}

Неправильна формула підмножини

Для колекції з «n» елементів кількість неправильних підмножин завжди дорівнює 1. Іншими словами, кількість неправильних підмножин множини не залежить від кількості її елементів.

Вивчайте більше, Формули теорії множин

Власні та неправильні підмножини

Ключові відмінності між правильними підмножинами та неправильними підмножинами наведено в наступній таблиці:

Приклад: для множини P = {1,2} знайдіть правильну та неправильну підмножину.

рішення:

java volatile ключове слово

Правильний набір задається { }, {1} і {2}

Неправильний набір задається { }, {1}, {2} і {1,2}

Підмножини проти супермножин

Ключові відмінності між ними підмножини і суперсети перераховані в наступній таблиці:

Формула підмножини

Усі формули, що стосуються підмножин, наведено нижче.

• Кількість підмножин множини з n елементів дорівнює 2^п. Це включає як належні, так і неправильні підмножини.
• Кількість власних підмножин множини з n елементів дорівнює 2^п- 1.
• Кількість неправильних підмножин будь-якої множини завжди дорівнює 1.

Також читайте

• Подання множини
• Типи наборів
• Універсальні набори

Розв’язані задачі на підмножини

Задача 1: Скільки підмножин у множині з 4 елементів?

рішення:

Набір, що містить 4 елементи, матиме 2⁴елементів у ньому = 16.

Задача 2: Скільки підмножин у множині з 5 елементів?

рішення:

Набір із 5 елементів матиме 2⁵елементів у ньому = 32.

Поширені запитання щодо підмножин

Що таке підмножини в математиці?

Якщо кожен компонент множини A також присутній у множині B, тоді множина A вважається підмножиною множини B. Іншими словами, множина B містить множину A.

Що таке належні підмножини?

Підмножина множини A, яка не дорівнює A, є власною підмножиною A. Іншими словами, якщо B є власною підмножиною A, тоді A має принаймні один елемент, який не входить до B, але всі елементи B є в.

Що таке неправильні підмножини?

Підмножина, яка включає всі компоненти вихідного набору, вважається невідповідною підмножиною.

Чи може підмножина дорівнювати сама собі?

Кожен набір розглядається як підмножина самого себе. Належною підмножиною жодної множини є вона сама. Кожна множина має порожню множину як підмножину.

Чи може підмножина бути універсальною множиною?

Ми можемо сказати, що множина A є підмножиною множини B, якщо кожен елемент у множині A також є елементом у множині B. Тоді будь-яка задана універсальна множина може бути використана для створення підмножин. Важливо також мати на увазі, що кожен універсальний набір насправді є підмножиною самого себе.

Чи може підмножина бути нульовою?

Так, нульовий набір за замовчуванням є підмножиною будь-якого набору.

Які дві класифікації підмножини?

Класифікації підмножин:

• Правильна підмножина
• Неправильна підмножина