Алгебра — одна з основних тем математики. Поліноми є важливою частиною алгебри. Формула Вієта використовується в поліномах. У цій статті йдеться про формулу Вієта, яка зв’язує суму та добуток коренів із коефіцієнтом багаточлена. Ця формула спеціально використовується в алгебрі.
Формула Вієта
Формули Вієта – це ті формули, які забезпечують зв’язок між сумою та добутком коренів многочлена на коефіцієнти поліномів. Формула Вієта описує коефіцієнти многочлена у вигляді суми і добутку його кореня.
Формула Вієта
Формула Вієта має справу з сумою і добутком коренів і коефіцієнта многочлена. Він використовується, коли нам потрібно знайти поліном із заданими коренями або нам потрібно знайти суму або добуток коренів.
Формула Вієта для квадратного рівняння
- Якщо f(x) = ax 2 + bx + c є квадратне рівняння з коренями a і b потім,
- Сума коренів = α + β = -b/a
- Добуток коренів = αβ = c/a
- Якщо дано суму і добуток коренів, то квадратне рівняння задається як:
- х 2 – (сума коренів)x + (добуток коренів) = 0
Формула Вієта для кубічного рівняння
- Якщо f(x) = ax 3 + bx 2 + cx +d є квадратне рівняння з коренями а, б і в потім,
- Сума коренів = α + β + γ = -b/a
- Сума добутку двох коренів = αβ + αγ + βγ = c/a
- Добуток коренів = αβγ = -d/a
- Якщо дано суму і добуток коренів, то кубічне рівняння задається як:
- х 3 – (сума коренів)x 2 + (сума добутку двох коренів)x – (добуток коренів) = 0
Формула Вієта для узагальненого рівняння
Якщо f(x) = a п х п + а n-1 х n-1 + а n-2 х n-2 + ……… + а 2 х 2 + а 1 х +а 0 є квадратне рівняння з коренями r 1 , р 2 , р 3 , …… р n-1 , р п потім,
r 1 + р 2 + р 3 +………. + р n-1 + р п = -а n-1 /a п
(р 1 r 2 + р 1 r 3 +…. +р 1 r п ) + (р 2 r 3 + р 2 r 4 +……. +р 2 r п ) + ……… + р n-1 r п = а n-2 /a п
:
:
r 1 r 2 …р п = (-1) п (а 0 /a п )
Зразки завдань
Задача 1: Якщо α , β є коренями рівняння : x 2 – 10x + 5 = 0 , потім знайдіть значення (α 2 + б 2 )/(а 2 b + ab 2 ).
рішення:
таблиця ascii java
Дано Рівняння:
- х2– 10x + 5 = 0
За формулою Віти
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Як2+б2) = (a + b )2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(а2+б2) = 90
Тепер значення (α2+ б2)/(а2b + ab2)
= (а2+ б2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Задача 2: Якщо α , β є коренями рівняння : x 2 + 7x + 2 = 0 , потім знайдіть значення 14÷(1/α + 1/ β).
java заміна всього
рішення:
Дане рівняння:
- х2+ 7x + 2 = 0
За формулою Віти
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Тепер (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Тепер значення 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Задача 3: Якщо α , β є коренями рівняння : x 2 + 10x + 2 = 0 , потім знайдіть значення (α/β + β/α).
рішення:
Дане рівняння:
- х2+ 10x + 2 = 0
За формулою Віти
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Як2+б2) = (a + b )2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Тепер значення (a/b + b/a) = (a2+б2)/аб
= 96/2
заміна рядка javascript= 48
Завдання 4: якщо α і β є коренями рівняння і враховуючи, що α + β = -100 і αβ = -20, знайдіть квадратне рівняння.
рішення:
враховуючи,
- Сума коренів = α + β = -100
- Добуток коренів = αβ = -20
Квадратне рівняння задається так:
х2– (сума коренів)x + (добуток коренів) = 0
х2– (-100)x + (-20) = 0
х 2 + 100x – 20 = 0
Завдання 5: Якщо α , β і γ є коренями рівняння і враховуючи, що α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 і αβ γ = -6, знайдіть кубічне рівняння.
рішення:
враховуючи,
- Сума коренів = α + β + γ = 10,
- Сума добутку двох коренів = αβ + αγ + βγ = -1
- Добуток коренів = avg = -6
Кубічне рівняння задається так:
х3– (сума коренів)x2+ (сума добутку двох коренів)x – (добуток коренів) = 0
х3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
додавання рядка в javaх 3 – 10x 2 – х + 6 = 0
Задача 6: Якщо α , β і γ є коренями рівняння x 3 + 1569x 2 – 3 = 0, тоді знайдіть значення [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b )] 3 + [(1/c) + (1/a )] 3
рішення:
враховуючи,
- Сума коренів = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Сума добутку двох коренів = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Добуток коренів = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Оскільки, (стор3+ q3+ р3– 3pqr) = (p + q + r)(p2+q2+ р2– pq – qr – pr) ……(1)
Нехай p = (1/a) + (1/b), q = (1/c) + (1/b), r = (1/c) + (1/a)
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
З рівняння (1):
(стор3+ q3+ р3– 3pqr) = 0
стор3+ q3+ р3= 3pqr
[(1/a) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/a )]3= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b )
= -3/сер. = -3/3
= -1
Задача 7: Якщо α і β є коренями рівняння x 2 – 3x +2 =0 тоді знайдіть значення α 2 – б 2 .
рішення:
враховуючи,
- Сума коренів = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Добуток коренів = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Як (а – б)2= (a + b)2-4ab
(а – б)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
оскільки,
кордон cssa2– б2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
a 2 – б 2 = 3