Формули ймовірності є важливими математичними інструментами, які використовуються для обчислення ймовірності. Перш ніж знати формули ймовірності, нам потрібно коротко зрозуміти концепцію ймовірності. Можливість настання випадкової події визначається ймовірністю. Ймовірність - це можливість передбачення. Його застосування поширюється на різні сфери, включаючи ігрові стратегії, створення прогнозів на основі ймовірності в бізнесі та розвиток штучного інтелекту.
відкрити меню налаштувань
У цій статті ми дізнаємось про значення та визначення формули ймовірності та про те, як використовувати ці формули для обчислення ймовірності. Ми також бачимо різні терміни, пов’язані з ймовірністю, і різні формули для легкого вирішення математичних задач.
Зміст
- Що таке формула ймовірності?
- Терміни, пов’язані з формулою ймовірності
- Події у формулі ймовірності
- Різні формули ймовірності
- Приклади на формулу ймовірності
Що таке формула ймовірності?
Формули ймовірності використовуються для визначення можливостей події шляхом ділення кількості сприятливих результатів на загальну кількість можливих результатів. Використовуючи цю формулу, ми можемо оцінити ймовірність, пов’язану з певною подією.
Математично ми можемо записати цю формулу так:
P(A) = кількість сприятливих результатів / загальна кількість можливих результатів
Формула ймовірності обчислює відношення сприятливих результатів до всього набору можливих результатів. Значення ймовірності лежить в діапазоні від 0 до 1, що означає, що сприятливі результати не можуть перевищити загальну кількість результатів, а негативне значення сприятливих результатів неможливо.
вчись,
- Імовірність в математиці
- Теорія ймовірностей
Як обчислити ймовірність?
Імовірність події = (Кількість сприятливих результатів) / (Загальна кількість можливих результатів для події)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A) <1
Тут P(A) означає ймовірність події A, де n(E) — кількість сприятливих результатів, а n(S) — загальна кількість можливих результатів для події.
Якщо розглядати додаткову подію, представлену як P(A’), яка означає відсутність події A, то формула буде виглядати так:
P(A’) = 1- P(A)
P(A’), є протилежністю події A, вказуючи, що відбувається або подія P(A), або відбувається її доповнення P(A’).
Тому тепер ми можемо сказати; P(A) + P(A’) = 1
вчись,
- Події в ймовірності
- Типи подій у ймовірності
Терміни, пов’язані з формулою ймовірності
Ось деякі з найпоширеніших термінів, пов’язаних із формулою ймовірності:
- Експеримент: Експеримент — це дія або процедура, яка проводиться для отримання певного результату.
- Зразок простору: Простір вибірки включає повні потенційні результати експерименту. Наприклад, під час підкидання монети вибірковий простір містить {голову, хвіст}.
- Сприятливий результат: Сприятливий результат – це результат, який узгоджується з наміченим або очікуваним висновком. У разі кидання двох кубиків прикладами сприятливих результатів із сумою 4 є (1,3), (2,2) і (3,1).
- Випробування: Випробування означає виконання випадкового експерименту.
- Випадковий експеримент: А Випадковий експеримент характеризується чітко визначеним набором можливих результатів. Прикладом випадкового експерименту є підкидання монети, результатом якого може бути або орла, або решка. Це означає, що результат буде невизначеним.
- Подія: Подія вказує на загальні результати випадкового експерименту.
- Рівно ймовірні події: Події з рівною ймовірністю - це ті події, які мають ідентичні ймовірності виникнення. Результат однієї події не впливає на результат іншої.
- Вичерпні події: Вичерпна подія виникає, коли набір усіх можливих результатів охоплює повний простір вибірки.
- Взаємовиключні події: Взаємовиключні події це ті, які не можуть відбуватися одночасно. Наприклад, коли ми кидаємо монету, результатом буде або олова, або решка, але ми не можемо отримати обидва одночасно.
Події у формулі ймовірності
У теорії ймовірностей подія представляє набір можливих результатів, отриманих в результаті експерименту. Він часто утворює підмножину загального простору вибірки. Якщо ми представляємо ймовірність події E як P(E), застосовуються наступні принципи:
Коли подія E неможлива, то P(E) = 0.
Коли подія E певна, тоді P(E) = 1.
Імовірність P(E) лежить між 0 і 1.
Розглянемо дві події, A і B. Ймовірність події A, позначена як P(A), яка більша за ймовірність події B, P(B).
Для конкретної події E формула ймовірності матиме вигляд:
P(E)= n(E)/ n(S)
Тут n(E) представляє кількість результатів, сприятливих для події E.
n(S) позначає загальну кількість результатів у просторі вибірки.
Різні формули ймовірності
Різні формули ймовірності обговорюються нижче:
Класична формула ймовірності
P(A) = кількість сприятливих результатів/загальна кількість можливих результатів
Формула правила додавання
Коли ми маємо справу з подією, яка є об’єднанням двох окремих подій, наприклад A і B, ймовірність об’єднання буде:
P(A або B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Формула спільної ймовірності
Вона представляє загальні елементи, які становлять окремі підмножини подій A і B. Формулу можна виразити так:
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
Правило додавання для взаємовиключних подій
Якщо події A і B є взаємовиключними, це означає, що вони не можуть відбутися одночасно, ймовірність виникнення будь-якої події дорівнює сумі їхніх відповідних ймовірностей.
P(A або B)=P(A)+P(B)
Формула додаткового правила
Якщо A є подією, то ймовірність не A виражається додатковим правилом:
P(не A) = 1 – P(A) або P(A’) = 1 – P(A).
P(A) + P(A′) = 1.
Деякі формули ймовірності, засновані на них, такі:
P(A.A’) = 0
linux free ipconfig
P(A.B) + P (A’.B’) = 1
P(A’B) = P(B) – P(A.B)
P(A.B’) = P(A) – P(A.B)
P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)
Формула умовного правила
У випадку, коли настання події А вже відомо, ймовірність події В відбудеться, яка називається умовною ймовірністю. Його можна розрахувати за формулою:
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): Імовірність (умовна) події B, коли подія A сталася.
P (A/B): Імовірність (умовна) події A, коли подія B сталася.
Формула відносної частоти
Формула відносної частоти базується на частотах, що спостерігаються в реальних даних. Ця формула подана як
P(A) = кількість разів події A/загальна кількість випробувань або спостережень
Формула ймовірності з правилом множення
У ситуаціях, коли подія відображає одночасну появу двох інших подій, позначених як події A і B, ймовірності обох подій можуть бути обчислені за допомогою цих формул:
P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (у разі незалежних подій)
P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (у випадку залежних подій)
Непересічна подія
Непересічні події — це події, які ніколи не відбуваються одночасно. Вони також відомі як взаємовиключні події.
P(A∩B) = 0
Теорема Байєса
Теорема Байєса розраховує ймовірність події A, враховуючи подію B. Формула теореми Байєзадається як
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
вчись, Теорема Байєса
Формула залежної ймовірності
Залежна ймовірність – це події, на які впливає настання інших подій. Формула для залежної ймовірності така:
P(B і A) = P(A)×P(B | A)
Формула незалежної ймовірності
Незалежні ймовірності - це події, на які не впливає настання інших подій. Формула незалежної ймовірності така:
P(A і B) = P(A)×P(B)
Формула біномінальної ймовірності
Формула біноміальної ймовірності подана як
P(x) = п C x · стор x (1 − p) n−x або P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p r (1 − p) n−r
Де, n = загальна кількість подій
r або x = Загальна кількість успішних подій.
p = ймовірність успіху в одному дослідженні.
пCr= [n!/r!(n−r)]!
1 – p = ймовірність відмови.
вчись, Біноміальний розподіл
Формула нормальної ймовірності
Формула нормальної ймовірності визначається так:
P(x) = (1/√2П) e (-x^2/2)
вчись, Нормальний розподіл
Формула експериментальної ймовірності
Формула для експериментальної ймовірності:
Імовірність P(x) = кількість разів події / загальна кількість випробувань.
Формула теоретичної ймовірності
Формула теоретичної ймовірності:
P(x) = кількість сприятливих результатів/ кількість можливих результатів.
Формула ймовірності стандартного відхилення
Формула ймовірності стандартного відхилення наведена як
P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}
Формула ймовірності Бернуллі
Випадкова величина X матиме розподіл Бернуллі з імовірністю p, формула така:
P(X = x) = p x (1 – р) 1−x , для x = 0, 1 і P(X = x) = 0 для інших значень x
Тут 0 означає невдачу, а 1 — успіх.
вчись, Розподіл Бернуллі
Формула ймовірності 10 клас
У 10 класі ми маємо вивчити основну ймовірність, таку як ймовірність підкинути монету, підкинути 2 монети, підкинути 3 монети, кинути кубик, кинути два кубики, ймовірність витягнути картку з добре перемішаної колоди. Усі ці питання можна вирішити лише за допомогою однієї формули. Формула ймовірності класу 10 надається як
P(E) = n(E)/n(s)
Де,
P(E) – ймовірність події
n(E) – кількість випробувань, у яких сталася подія
n(S) – кількість вибіркового простору
Формула ймовірності для 12 класу
Різні формули, які використовуються в класі ймовірності 12, наведені в таблиці нижче:
Різні формули ймовірності | |
|---|---|
Назва формули | Формула |
Формула експериментальної або емпіричної ймовірності | Кількість разів події / Загальна кількість випробувань. приклад формату json |
Класична або теоретична формула ймовірності | Кількість сприятливих результатів/загальна кількість можливих результатів |
Формула ймовірності додавання | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) |
Формула спільної ймовірності | P (A ∩ B) = P (A).P (B) |
Правило додавання для взаємовиключних подій | P(A або B)=P(A)+P(B) |
Формула додаткового правила | P(не A) = 1 – P(A) або P(A’) = 1 – P(A). P(A) + P(A′) = 1 |
Формула умовного правила | P(B∣A) = P(A∩B)/P(A) |
Формула відносної частоти | P(A)= кількість разів події A/загальна кількість випробувань або спостережень |
Непересічна подія | P(A∩B) = 0 |
Теорема Байєса | P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B) |
Формула залежної ймовірності Логіка 1-го порядку | P(B і A) = P(A)×P(B | A) |
Формула незалежної ймовірності | P(A і B) = P(A)×P(B) |
Формула біномінальної ймовірності | P(x) =пCx· сторx(1 − p)n−xабо P(r) = [n!/r!(n−r)!]· pr(1 − p)n−r |
Формула нормальної ймовірності | P(x) = (1/√2П) e(-x2/2) |
Формула ймовірності стандартного відхилення | P(x) = (1/σ√2П) e-(x-m)^2/2s^2 |
Формула ймовірності Бернуллі | P(X = x) = px(1 – р)1-х, для x = 0, 1 і P(X = x) = 0 для інших значень x. |
Також перевірте
- Імовірність підкидання монети
- Імовірність карти
- Формули статистики
Приклади на формулу ймовірності
Приклад 1: випадково виберіть карту зі стандартної колоди. Яка ймовірність витягнути картку з жіночим обличчям?
рішення:
У стандартній колоді з 52 карт: загальна кількість можливих результатів = 52
Кількість сприятливих подій (враховуючи лише дам як жіночі особи) = 4
Тому ймовірність P(A) розраховується за формулою:
P(A) = кількість сприятливих результатів ÷ загальна кількість результатів
= 4/52
= 1/13.
Приклад 2: якщо ймовірність події E, позначена як P(E)=0,35, яка ймовірність додаткової події «не E»?
рішення:
Враховуючи, що P(E)=0,35, ми можемо використати формулу додаткової ймовірності:
P(E) + P(не E) = 1
Підставляючи відоме значення:
P(не E) = 1 – P(E)
P(не E) = 1 – 0,35
Отже, P(не E) = 0,65
Приклад 3: небезпечні пожежі дуже рідкісні, близько 1%, але дим досить поширений, приблизно 20% через барбекю. Знайдіть небезпечну пожежу, коли 80% небезпечних пожеж утворюють дим.
рішення:
Імовірність небезпечної пожежі при наявності диму за допомогою теореми Байєса:
P(Вогонь|Дим) = {P(Вогонь)P(Дим Вогонь)}/P(Дим)
P(Вогонь)=0,01(1%) і P(Дим|Вогонь)= 0,80 (80%), ми можемо замінити ці значення:
P(Вогонь | Дим)=( 0,02×0,90)/ 0,30
(Вогонь | Дим)=0,018/0,30
(Вогонь | Дим)= 0,06 = 6%.
Приклад 4: У мішку є 2 зелені лампи, 4 помаранчеві цибулини та 6 білих лампочок. Коли навмання вибирають цибулину з мішка, яка ймовірність вибрати або зелену, або білу цибулину?
рішення:
Загальна кількість лампочок у пакетику 2 зелені + 4 помаранчеві + 6 білих = 12 лампочок
Кількість зелених лампочок = 2, а кількість білих лампочок = 6
Імовірність = (Кількість зелених цибулин + Кількість білих цибулин) / Загальна кількість цибулин
Імовірність = (2+6)/12
Ймовірність = 8/12
Імовірність = 2/3.
Практичні запитання щодо формули ймовірності
Q1. З колекції кульок у мішку — 8 червоних, 9 синіх і 6 зелених — навмання вибирають дві кульки без заміни. Яка ймовірність того, що обидві вибрані кульки сині?
Q2. У ящику, що містить 6 чорних ручок, 4 синіх ручки та 7 червоних ручок, навмання витягнуто ручку. Яка ймовірність того, що ручка чорна або синя?
Q3. Витягнувши одну картку з ретельно перемішаної колоди з 52 карт, визначте ймовірність того, що карта:
- Будь королем.
- Не бути королем.
Q4. Згідно з опитуванням, 70% людей насолоджуються шоколадом, а серед любителів шоколаду 60% також люблять ваніль. Яка ймовірність того, що людина любить ваніль, враховуючи її прихильність до шоколаду?
Q5. Визначте ймовірність викидання непарного числа, коли кидається шестигранний кубик.
Формула ймовірності – поширені запитання
1. Що таке ймовірність?
Можливість настання випадкової події визначається ймовірністю. Ймовірність - це можливість передбачення.
2. Яке значення формули ймовірності?
Формули ймовірності використовуються для визначення можливостей події шляхом ділення кількості сприятливих результатів на загальну кількість можливих результатів. Значення ймовірності знаходиться в діапазоні від 0 до 1, що означає, що сприятливі результати не можуть перевершити загальну кількість результатів, а негативне значення сприятливих результатів неможливе.
3. Який сенс позначення U і ∩ середніх у ймовірності?
Символ U в імовірності позначає рівномірний розподіл. З іншого боку, символ ∩ означає перетин множин. Говорячи простіше, перетин двох множин є найширшою множиною, що включає всі елементи, спільні для обох множин.
4. Яка звичайна формула для обчислення ймовірності?
Імовірність події = (Кількість сприятливих результатів) / (Загальна кількість можливих результатів для події)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A) <1
Тут P(A) означає ймовірність події A, де n(E) — кількість сприятливих результатів, а n(S) — загальна кількість можливих результатів для події.
5. Що таке комплементарна формула?
Якщо A є подією, то ймовірність не A виражається додатковим правилом:
P(не A) = 1 – P(A) або P(A’) = 1 – P(A).
P(A) + P(A′) = 1.
6. Що таке непересічна подія?
Непересічні події — це події, які ніколи не відбуваються одночасно. Вони також відомі як взаємовиключні події.
P(A∩B) = 0.
7. Що таке теорема Байєса?
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
Теорема Байєса обчислює ймовірність події A за умови виникнення події B.
файл csv читає java
8. Що таке умовна формула?
У випадку, коли настання події А вже відомо, ймовірність події В відбудеться, яка називається умовною ймовірністю. Його можна розрахувати за формулою:
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): Імовірність (умовна) події B, коли подія A сталася.
P (A/B): Імовірність (умовна) події A, коли подія B сталася.
9. Які реальні приклади ймовірності?
Прогноз погоди, карткові ігри, політичне голосування, ігри в кості та підкидання монети тощо є деякими прикладами ймовірності