Нормальний розподіл: Нормальний розподіл — це найпоширеніша або нормальна форма розподілу випадкових величин, звідси і назва нормальний розподіл. Його також називають Розподіл Гауса у статистиці чи ймовірності. Ми використовуємо цей розподіл для представлення великої кількості випадкових величин.

Давайте дізнаємося про Детально про нормальний розподіл, включаючи його формулу, характеристики та приклади.

Зміст

• Що таке нормальний розподіл?
• Приклади нормального розподілу
• Формула нормального розподілу
• Крива нормального розподілу
• Стандартне відхилення нормального розподілу
• Графік нормального розподілу
• Таблиця нормального розподілу
• Властивості нормального розподілу
• Нормальний розподіл у статистиці
• Проблеми нормального розподілу та рішення

Що таке нормальний розподіл?

Ми визначаємо нормальний розподіл як функцію щільності ймовірності будь-якої безперервної випадкової величини для будь-якої системи. Тепер для визначення нормального розподілу припустимо, що ми беремо f(x) як функцію щільності ймовірності для будь-якої випадкової величини X.

Крім того, функція інтегрується між інтервалом (x, {x + dx}), тоді

виберіть багатотабличний sql

f(x) ≥ 0 ∀ x ϵ (−∞,+∞),

_-∞ ∫ ^+∞ f(x) = 1

Ми спостерігаємо, що крива, простежена верхніми значеннями нормального розподілу, має форму дзвона, отже, нормальний розподіл також називають Bell Curve .

перевірити: Python – нормальний розподіл у статистиці

Приклади нормального розподілу

Ми можемо намалювати нормальний розподіл для різних типів даних, які включають:

• Розподіл зросту людей
• Розподіл похибок у будь-якому вимірюванні
• Розподіл артеріального тиску будь-якого пацієнта тощо.

Формула нормального розподілу

Нижче додано формулу для функції щільності ймовірності нормального розподілу (розподілу Гауса),

де,

• х є Випадкова змінна
• μ є Середній
• σ є Стандартне відхилення

Крива нормального розподілу

У будь-якому Нормальний розподіл, випадкові змінні – це ті змінні, які приймають невідомі значення, пов’язані з розподілом, і зазвичай обмежені діапазоном.

Прикладом випадкової змінної є, припустимо, взяти a розподілу зросту учнів у класі, то випадкова величина може приймати будь-яке значення але обмежений межею від 2 футів до 6 футів, оскільки, як правило, це фізично примусово.

обгортка тексту css

• Асортимент будь-який нормальний розподіл може бути нескінченним, у цьому випадку ми говоримо, що нормальний розподіл не турбує його діапазон. У цьому випадку діапазон розширюється від –∞ до +∞.
• Дзвонова крива все ще існує, у цьому випадку усі змінні в цьому діапазоні називаються безперервними змінними і їх розподіл називається нормальним розподілом, оскільки всі значення, як правило, замкнуті, вирівняні до середнього значення.
• The графік або крива для нього називається кривою нормального розподілу або графіком нормального розподілу.

Стандартне відхилення нормального розподілу

Ми знаємо, що середнє значення будь-яких даних, розподілених у вигляді графіка, допомагає нам знайти лінію симетрії графіка, тоді як стандартне відхилення говорить нам, наскільки далеко дані розподілені від середнього значення з обох сторін. Для менших значень стандартного відхилення значення на графіку зближуються, і графік стає вужчим. У той час як для вищих значень стандартного відхилення значення на графіку більше розсіюються, і графік стає ширшим.

Емпіричне правило стандартного відхилення

Як правило, нормальний розподіл має додатне стандартне відхилення, а стандартне відхилення ділить площу нормальної кривої на менші частини, і кожна частина визначає відсоток даних, які потрапляють у певну область. Це називається емпіричним правилом стандартного відхилення в нормальному розподілі. .

Емпіричне правило стверджує, що

• 68% даних приблизно знаходяться в межах одного стандартного відхилення від середнього, тобто знаходяться між { Середнє – одне стандартне відхилення та середнє + одне стандартне відхилення }
• 95% даних приблизно знаходяться в межах двох стандартних відхилень від середнього, тобто між { Середнє – два стандартних відхилення та середнє + два стандартних відхилення }
• 99,7% даних приблизно знаходяться в межах третього стандартного відхилення від середнього значення, тобто між { Середнє – третє стандартне відхилення та середнє + третє стандартне відхилення }

Графік нормального розподілу

навчання На графіку видно, що за допомогою емпіричного правила ми розподіляємо дані широко на три частини. Таким чином, емпіричне правило також називають правилом 68 – 95 – 99,7.

перевірити: Математика | Набір розподілу ймовірностей 3 (нормальний розподіл)

Таблиця нормального розподілу

Таблиця нормального розподілу, яка також називається таблицею нормального розподілу Z, є таблицею z-значення для нормального розподілу. Ця таблиця нормального розподілу Z представлена ​​таким чином:

Властивості нормального розподілу

Деякі важливі властивості нормального розподілу:

перетворити рядок на об’єкт json

• Для нормального розподілу даних середнє, медіана та мода рівні (тобто Середнє = Медіана = Мода).
• Загальна площа під кривою нормального розподілу дорівнює 1.
• Крива нормального розподілу є симетричною в центрі вздовж середнього.
• У нормально розподіленій кривій є рівно половина значення праворуч від центрального значення і рівно половина значення праворуч від центрального значення.
• Нормальний розподіл визначається за допомогою значень середнього та стандартного відхилення.

• Крива нормального розподілу є унімодальною кривою, тобто кривою лише з одним піком

Люди також переглядають:

• Розподіл Пуассона
• Біноміальний розподіл
• Розподіл ймовірностей

Нормальний розподіл у статистиці

• Нормальний розподіл, також відомий як розподіл Гаусса , це дзвоноподібна крива, яка описує велику кількість явищ реального світу . Це одне з найважливіших понять у статистиці, оскільки воно з’являється в багатьох областях дослідження.
• Дзвоноподібна крива : Уявіть собі симетричний дзвін, де середина є найвищою точкою, а хвостики звужуються з обох боків. Це основна форма нормального розподілу. Більшість точок даних групуються навколо центру, і в міру віддалення від центру точки даних стають рідшими.
• Центральна тенденція: центр дзвоноподібної кривої представляє центральну тенденцію даних, що означає, що він показує, де зосереджено більшість значень. Це може бути середнє значення, медіана або мода, залежно від конкретного набору даних.
• Поширення даних: Ширина дзвоноподібної кривої вказує на те, наскільки розповсюджені дані. Ширша крива означає, що точки даних більш розсіяні, а вужча крива означає, що точки даних розташовані ближче одна до одної.
• Випадкові змінні: нормальний розподіл зазвичай використовується з безперервними випадковими змінними, які можуть приймати будь-які значення в межах певного діапазону. Приклади включають зріст, вагу, показники IQ або оцінки іспиту.

Перевірте : Нормальний розподіл у бізнес-статистиці

Проблеми нормального розподілу та рішення

Давайте розв’яжемо деякі задачі про нормальний розподіл

Приклад 1. Знайдіть функцію щільності ймовірності нормального розподілу наступних даних. x = 2, μ = 3 і σ = 4.

рішення:

враховуючи,

• Змінна (x) = 2
• Середнє = 3
• Стандартне відхилення = 4

Використання формули щільності ймовірності нормального розподілу

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Спрощуючи,

f(2, 3, 4) = 0,09666703

Приклад 2: якщо значення випадкової змінної дорівнює 4, середнє дорівнює 4, а стандартне відхилення дорівнює 3, тоді знайдіть функцію щільності ймовірності розподілу Гауса.

рішення:

враховуючи,

• Змінна (x) = 4
• Середнє = 4
• Стандартне відхилення = 3

Використання формули щільності ймовірності нормального розподілу

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

перетворення об'єкта в рядок

Спрощуючи,

f(4, 4, 3) = 1/(3√2π)e⁰

f(4, 4, 3) = 0,13301

Висновок – нормальний розподіл

Нормальний розподіл, також відомий як розподіл Гауса, є фундаментальним поняттям у статистиці та теорії ймовірностей. Він характеризується дзвоноподібною кривою, яка є симетричною та зосереджена навколо середнього значення. Властивості нормального розподілу, такі як його середнє значення та стандартне відхилення, відіграють вирішальну роль у багатьох статистичних аналізах і застосуваннях. Нормальний розподіл широко використовується в таких галузях, як фінанси, техніка, природничі та соціальні науки для моделювання та аналізу широкого кола явищ. Розуміння нормального розподілу дозволяє краще інтерпретувати дані, оцінювати ймовірності та приймати обґрунтовані рішення на основі статистичних висновків.

Поширені запитання щодо нормального розподілу

Що таке нормальний розподіл?

У статистиці нормальний розподіл — це розподіл ймовірностей, який є симетричним відносно середнього, показуючи, що дані, близькі до середнього, зустрічаються частіше, ніж дані, далекі від середнього.

Чому нормальний розподіл називають нормальним?

Нормальний розподіл, також званий розподілом Гауса, називається нормальним, тому що показано, що різні природні процеси зазвичай відбуваються за розподілом Гауса, і тому його називають нормальним розподілом.

Що таке графік нормального розподілу?

Графік нормального розподілу, також відомий як розподіл Гауса або дзвоноподібна крива, є певним типом розподілу ймовірностей. Він характеризується своєю симетричною, дзвоноподібною кривою, коли нанесено на графік.

Що таке Z-таблиця нормального розподілу?

Z-таблиця, також відома як стандартна таблиця нормального розподілу або таблиця Z-показників, є довідковою таблицею, яка використовується в статистиці для визначення ймовірностей, пов’язаних із певними значеннями в стандартному нормальному розподілі.

Які характеристики нормального розподілу?

Властивості нормального розподілу:

• Крива нормального розподілу симетрична відносно середнього.
• Нормальний розподіл має унімодальний характер, тобто має одне пікове значення.
• Крива нормального розподілу завжди дзвоноподібна.
• Середнє, мода та медіана для нормального розподілу завжди те саме.
• Нормальний розподіл відповідає емпіричному правилу.

Що таке середнє значення нормального розподілу?

Середнє (позначається як μ) представляє центральне або середнє значення даних. Це також точка, навколо якої симетрично розподіляються дані.

Що таке стандартне відхилення нормального розподілу?

Стандартне відхилення (позначається як σ) вимірює розкид або дисперсію точок даних у розподілі. Менший σ вказує на те, що точки даних щільно розташовані навколо середнього, тоді як більший σ вказує на більший розкид.

Що таке емпіричне правило (правило 68-95-99.7)?

Емпіричне правило для станів нормального розподілу,

зв'язаний список java

• Приблизно 68% даних знаходяться в межах одного стандартного відхилення від середнього значення.
• Приблизно 95% потрапляє в межах двох стандартних відхилень середнього значення.
• Близько 99,7% потрапляє в межах трьох стандартних відхилень від середнього.

Для чого використовується нормальний розподіл?

Різні способи використання нормального розподілу:

• Для вивчення різних природних явищ
• Для вивчення фінансових даних.
• У соціальних науках для вивчення та прогнозування різних параметрів тощо.

Які обмеження нормального розподілу?

Нормальний розподіл є надзвичайно важливою статичною концепцією, але навіть вона має деякі обмеження, такі як,

• Різноманітний розподіл даних не відповідає нормальному розподілу, тому він не може коментувати ці дані.
• Велика залежність від нормального розподілу чи кривої Белла не є хорошим способом прогнозування даних, оскільки вони не є 100% точними тощо.