Теорема Байєса використовується для визначення умовної ймовірності події. Він був названий на честь англійського статистика, Томас Байєс який відкрив цю формулу в 1763 році. Теорема Байєса є дуже важливою теоремою в математиці, яка заклала основу унікального підходу статистичного висновку, який називається Висновок Байєса. Він використовується для визначення ймовірності події на основі попередніх знань про умови, які можуть бути пов’язані з цією подією.

Наприклад, якщо ми хочемо знайти ймовірність того, що навмання взята біла кулька вийшла з першого мішка, враховуючи, що біла кулька вже була витягнута, і є три мішки, кожен з яких містить кілька білих і чорних кульок, тоді ми можемо скористатися теоремою Байєса.

У цій статті досліджується теорема Байєса, включаючи її твердження, докази, виведення та формулу теореми, а також її застосування з різними прикладами.

що таке f5 на клавіатурі

Що таке теорема Байєса?

Теорема Байєса (також відома як правило Байєса або закон Байєса) використовується для визначення умовної ймовірності події A, коли подія B вже відбулася.

Загальне твердження теореми Байєса таке Умовна ймовірність події A за умови настання іншої події B дорівнює добутку події B за даної A та ймовірності A, поділеної на ймовірність події B. тобто

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

де,

• P(A) і P(B) — ймовірності подій А і В
• P(A|B) це ймовірність події A, коли відбудеться подія B
• P(B|A) це ймовірність події B, коли відбувається A

перевірити: Теорема Байєса для умовної ймовірності

Твердження теореми Байєса

Теорема Байєса для n набору подій визначається як,

Нехай E₁, І₂,…, І_пбути набором подій, пов’язаних із простором вибірки S, у якому всі події E₁, І₂,…, І_пмають ненульову ймовірність появи. Усі події Є₁, І₂,…, E утворюють розбиття S. Нехай A — подія з простору S, для якої ми повинні знайти ймовірність, тоді згідно з теоремою Байєса,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

для k = 1, 2, 3, …., n

Формула теореми Байєса

Для будь-яких двох подій A і B формула для теореми Байєса визначається так: (на зображенні нижче подано формулу теореми Байєса)

Формула теореми Байєса

де,

• P(A) і P(B) є ймовірностями подій A і B, також P(B) ніколи не дорівнює нулю.
• P(A|B) це ймовірність події A, коли відбудеться подія B
• P(B|A) це ймовірність події B, коли відбувається A

Виведення теореми Байєса

Доведення теореми Байєса наводиться як, згідно з формулою умовної ймовірності,

P(E _i |A) = P(E _i ∩A) / P(A)…..(i)

Потім, використовуючи правило ймовірності множення, ми отримуємо

P(E _i ∩A) = P(E _i )P(A|E _i )……(ii)

Тепер, за теоремою повної ймовірності,

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Підставляючи значення P(E_i∩A) і P(A) з eq (ii) і eq(iii) в eq(i) ми отримуємо,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Теорема Байєса також відома як формула для ймовірність причин . Як відомо, Е _i є розділом вибіркового простору S, і в будь-який момент часу лише одна з подій E _i відбувається. Таким чином, ми робимо висновок, що формула теореми Байєса дає ймовірність конкретного E_i, якщо відбулася подія А.

Терміни, пов’язані з теоремою Байєса

Детально ознайомившись із теоремою Байєса, давайте розберемося з деякими важливими термінами, пов’язаними з поняттями, які ми розглянули у формулі та виведенні.

• Гіпотези: Події, що відбуваються у зразковому просторі І ₁ , І ₂ ,… І _п називається гіпотезами

• Апріорна ймовірність: Апріорна ймовірність — початкова ймовірність події, що відбудеться до того, як будуть враховані будь-які нові дані. P(E_i) є апріорною ймовірністю гіпотези Е_i.

• Задня ймовірність: Постеріорна ймовірність – це оновлена ​​ймовірність події після розгляду нової інформації. Імовірність P(E_i|A) розглядається як апостеріорна ймовірність гіпотези E_i.

Умовна ймовірність

• Імовірність події A, заснована на появі іншої події B, називається терміном умовна ймовірність .
• Позначається як P(A|B) і представляє ймовірність A, коли подія B вже сталася.

Спільна ймовірність

Коли вимірюється ймовірність ще двох подій, що відбудуться разом і одночасно, вона позначається як Спільна ймовірність. Для двох подій A і B це позначається спільною ймовірністю позначається як, P(A∩B).

Випадкові величини

Дійсно значні величини, можливі значення яких визначаються випадковими експериментами, називаються випадковими величинами. Імовірність знаходження таких змінних є експериментальною ймовірністю.

Застосування теореми Байєса

Байєсівський висновок дуже важливий і знайшов застосування в різних видах діяльності, включаючи медицину, науку, філософію, інженерію, спорт, право тощо, і байєсівський висновок прямо випливає з теореми Байєса.

приклад: Теорема Байєса визначає точність медичного тесту, враховуючи, наскільки ймовірно, що людина має захворювання, і яка загальна точність тесту.

Різниця між умовною ймовірністю та теоремою Байєса

Різницю між умовною ймовірністю та теоремою Байєса можна зрозуміти за допомогою наведеної нижче таблиці,

Теорема повної ймовірності

Нехай E₁, І₂, . . ., І_пє взаємовиключними та вичерпними подіями, пов’язаними з випадковим експериментом, і дозволяє E бути подією, яка відбувається з деяким E_i. Тоді доведіть це

P(E) = ^п ∑ _i=1 P(E/E _i ) . P(E _j )

Доказ:

Нехай S — вибірковий простір. Потім,

S = E₁∪ Е₂∪ Е₃∪ . . . ∪ Один і Е_i∩ E_j= ∅ для i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ Е₂∪ Е₃∪ . . . ∪ Е_п)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_п)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_п)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_п)

{Отже, (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_п)} попарно не перетинаються}

⇒ P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) + . . . + P(E/E_п) . P(E_п) [за теоремою множення]

⇒ P(E) =^п∑_i=1P(E/E_i) . P(E_i)

Статті, пов'язані з теоремою Байєса

• Розподіл ймовірностей
• Теорема Байєса для умовної ймовірності
• Перестановки та комбінації
• Біноміальна теорема

Висновок – теорема Байєса

Теорема Байєса пропонує потужну основу для оновлення ймовірності гіпотези на основі нових доказів або інформації. Включаючи попередні знання та оновлюючи їх за допомогою спостережених даних, теорема Байєса дозволяє приймати більш точні та обґрунтовані рішення в широкому діапазоні галузей, включаючи статистику, машинне навчання, медицину та фінанси. Його застосування охоплює від медичної діагностики та оцінки ризику до фільтрації спаму та обробки природної мови.

Розуміння та застосування теореми Байєса дає нам змогу робити кращі прогнози, оцінювати невизначеності та отримувати значущі висновки з даних, що зрештою покращує нашу здатність приймати обґрунтовані рішення в складних і невизначених ситуаціях.

Також перевірте:

каджал аггарвал

• Теорема Байєса в аналізі даних
• Теорема Байєса в штучному інтелекті
• Теорема Байєса в машинному навчанні

Приклади теореми Байєса

приклад 1: Людина взялася за роботу. Ймовірність виконання роботи вчасно з дощем і без нього становить 0,44 і 0,95 відповідно. Якщо ймовірність того, що буде дощ, дорівнює 0,45, то визначте ймовірність того, що робота буде виконана вчасно.

рішення:

Нехай E₁якщо робота з видобутку буде завершена вчасно, і E₂будь то дощ. Ми маємо,

P(A) = 0,45,

P(без дощу) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

За законом множення ймовірностей,

P(E₁) = 0,44, а P(E₂) = 0,95

Оскільки події A і B утворюють розділи вибіркового простору S, за теоремою повної ймовірності ми маємо

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Отже, ймовірність того, що завдання буде виконано вчасно, становить 0,7205

Приклад 2: є три урни, що містять 3 білі та 2 чорні кулі; 2 білі і 3 чорні кулі; 1 чорна і 4 білі кулі відповідно. Існує однакова ймовірність вибору кожної урни. Одна куля з рівною ймовірністю вибирається навмання. яка ймовірність того, що вийде біла кулька?

рішення:

array.з java

Нехай E₁, І₂і Е₃будуть події вибору першої, другої та третьої урни відповідно. Потім,

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Нехай E — подія, коли витягнуто білу кулю. Потім,

P(E/E₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

За теоремою повної ймовірності маємо

P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) + P(E/E₃) . P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

приклад 3: Картка з колоди з 52 карток втрачена. З решти карт колоди витягуються дві карти, обидві виявляються сердечками. знайти ймовірність того, що втрачена карта є серцем.

рішення:

Нехай E₁, І₂, І_3,і Е₄це випадки втрати червової, трефової, пікової та бубнової карти відповідно.

Тоді P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Нехай E буде подією витягування 2 червів із решти 51 картки. Потім,

P(E|E₁) = ймовірність витягнути 2 черви, враховуючи, що картки з червами бракує

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = ймовірність взяття 2 треф, враховуючи, що картка треф відсутня

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = ймовірність взяти 2 піки, враховуючи відсутність червової карти

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = ймовірність взяти 2 бубни, враховуючи, що картка з бубнами відсутня

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

тому

P(E₁|E) = ймовірність того, що втрачена карта – це серце, враховуючи, що 2 серця витягнуто з решти 51 карти

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Отже, шукана ймовірність дорівнює 0,22.

Приклад 4: Припустимо, що 15 чоловіків з 300 чоловіків і 25 жінок з 1000 є хорошими ораторами. Оратор вибирається випадково. Знайти ймовірність того, що обрано особу чоловічої статі. Припустимо, що чоловіків і жінок однакова кількість.

рішення:

Gievn,

• Загальна кількість чоловіків = 300
• Загальна кількість жінок = 1000
• Хороші оратори серед людей = 15
• Хороші оратори серед жінок = 25

Загальна кількість хороших ораторів = 15 (від чоловіків) + 25 (від жінок) = 40

Ймовірність вибору чоловіка-оратора:

P(Чоловічий оратор) = кількість чоловіків-ораторів / загальна кількість ораторів = 15/40

Приклад 5: Відомо, що чоловік говорить неправду 1 раз з 4. Він кидає кубик і повідомляє, що це шістка. Знайти ймовірність того, що насправді дорівнює шістці.

рішення:

У кидку кубика хай

І₁= подія отримання шістки,

І₂= подія неотримання шістки і

E = подія, коли чоловік повідомляє, що це шістка.

Тоді P(E₁) = 1/6 і P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = ймовірність того, що чоловік повідомляє, що шість відбувається, коли шість насправді відбулося

⇒ P(E|E₁) = ймовірність того, що чоловік говорить правду

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = ймовірність того, що чоловік повідомляє, що шість відбувається, хоча шість насправді не відбулося

⇒ P(E|E₂) = ймовірність того, що чоловік не говорить правду

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Ймовірність отримати шість, враховуючи, що чоловік повідомляє, що це шість

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [за теоремою Байєса]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

Отже, необхідна ймовірність дорівнює 3/8.

фільтрація python

Поширені запитання щодо теореми Байєса

Що таке теорема Байєса?

Теорема Байєса, як випливає з назви, — це математична теорема, яка використовується для визначення ймовірності обумовленості події. Умовна ймовірність - це ймовірність події, яка відбудеться в майбутньому. Він розраховується на основі попередніх результатів подій.

Коли використовується теорема Байєса?

Теорема Байєса має широкий спектр застосувань, особливо в областях, які стосуються оновлення ймовірностей на основі нових даних. Правило Байєса дозволяє обчислити задня (або оновлена) ймовірність. Використовується для обчислення умовної ймовірності подій.

Які ключові терміни для розуміння теореми Байєса?

Деякі з ключових термінів:

• Попередня ймовірність (P(A))
• Задня ймовірність (P(A | B))
• Імовірність (P(B | A))
• Гранична ймовірність (P(B))

Коли використовувати теорему Байєса?

Теорема Байєса застосовна, коли задана умовна ймовірність події, вона використовується для знаходження зворотної ймовірності події.

Чим теорема Байєса відрізняється від умовної ймовірності?

Теорема Байєса використовується для визначення ймовірності події на основі попередніх умов події. Тоді як теорема Байєса використовує умовну ймовірність для визначення зворотної ймовірності події.

Яка формула теореми Байєса?

Формула теореми Байєса пояснюється нижче,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)