ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ

The зворотна до матриці це матриця, яка при множенні на вихідну матрицю призводить до одиничної матриці. Для будь-якої матриці A її обернена матриця позначається A^-1.

Давайте детально дізнаємося про обернену матрицю, включаючи її визначення, формулу, методи пошуку оберненої матриці та приклади.

Зміст

Обернена матриця
Терміни, пов’язані з оберненою матрицею
Як знайти обернену матрицю?
Формула, обернена матриці
Метод зворотної матриці
Приклад матриці, оберненої до 2×2
Визначник оберненої матриці
Властивості оберненої до матриці
Матричні обернені розв’язані приклади

Обернена матриця – це інша матриця, яка при множенні на задану матрицю дає мультиплікативну тотожність .

Для матриці A та її оберненої до A матриці^-1властивість тотожності виконується.

А.А ^-1 = А ^-1 А = Я

де я є матрицею тотожності.

Наведена нижче термінологія може допомогти вам чіткіше та легше зрозуміти обернену матрицю.

Умови	Визначення	Формула/процес	Приклад із матрицею А
незначний	Мінор елемента в матриці є визначником матриці, утвореним шляхом видалення рядка та стовпця цього елемента.	Для елемента а_ij, видаліть i-й рядок і j-й стовпець, щоб сформувати нову матрицю та знайти її визначник.	Неповнолітній з a _{одинадцять} є визначальним фактором A = egin{bmatrix}5 & 6 6 & 7end{bmatrix}
Кофактор	Кофактор елемента — це мінор цього елемента, помножений на (-1) ^i+j , де i і j — індекси рядків і стовпців елемента.	Кофактор a_ij= (-1)^i+jНеповнолітній з a_ij	Кофактор a _{одинадцять} = (-1) ¹⁺¹ × Менший з a _{одинадцять} = Менший з a _{одинадцять}
Визначальний	Визначник матриці обчислюється як сума добутків елементів будь-якого рядка чи стовпця та їхніх відповідних співмножників.	Для рядка (або стовпця) підсумуйте добуток кожного елемента на його співмножник.	Визначник A = a _{одинадцять} × Кофактор a _{одинадцять} + a ₁₂ × Кофактор a ₁₂ + a ₁₃ × Кофактор a ₁₃ .
Заступник	Приєднаною матрицею є транспонування її кофакторної матриці.	Створіть матрицю кофакторів для кожного елемента вихідної матриці, а потім транспонуйте її.	Ад’юнкт A — це транспонування матриці, утвореної кофакторами всіх елементів в A.

Сингулярна матриця

Матриця, значення визначника якої дорівнює нулю, називається сингулярною матрицею, тобто будь-яка матриця A називається сингулярною матрицею, якщо |A| = 0. Оберненої до сингулярної матриці не існує.

Несингулярна матриця

Матриця, значення визначника якої відмінне від нуля, називається невиродженою, тобто будь-яка матриця A називається невиродженою, якщо |A| ≠ 0. Існує обернена до невиродженої матриці.

Матриця ідентичності

Квадратна матриця, в якій усі елементи дорівнюють нулю, за винятком головних діагональних елементів, називається одиничною матрицею. Він представлений за допомогою I. Це одиничний елемент матриці, як і для будь-якої матриці A,

A×I = A

Приклад матриці ідентифікації:

я_3×3= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Це одинична матриця порядку 3×3.

Детальніше:

Матриця ідентичності

Як знайти обернену матрицю?

Існує два способи знайти обернену матрицю в математиці:

Використання формули матриці
Використання методів зворотної матриці

Формула, обернена матриці

Обернена матриця A, тобто A^-1обчислюється за допомогою формули, оберненої до матриці, яка передбачає ділення ад’юнта матриці на її визначник.

Формула, обернена матриці

A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}

де,

присл. А = приєднана до матриці А, і
|A| = визначник матриці А.

Примітка : ця формула працює лише на квадратних матрицях.

Щоб знайти обернену до матриці формулу, обернену до матриці, виконайте такі дії.

Крок 1: Визначити мінори всіх елементів A.

Крок 2: Далі обчисліть кофактори всіх елементів і побудуйте матрицю кофакторів, замінивши елементи A їхніми відповідними кофакторами.

крок 3: Транспонуйте кофакторну матрицю A, щоб знайти її приєднану (записується як adj A).

крок 4: Помножте adj A на величину, зворотну визначнику A.

Тепер для будь-якої несингулярної квадратної матриці A,

А ^-1 = 1 / |A| × Adj (A)

приклад: Знайти обернену матрицюA=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]використовуючи формулу.

Ми маємо,A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]

Знайдіть ад’юнкт матриці A, обчисливши кофактори кожного елемента, а потім отримавши транспонування матриці кофакторів.

присл. А =left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

Знайти значення визначника матриці.

|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)

⇒ |A| = 49

Таким чином, обернена матриця є,

А^-1=frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

⇒ А^-1=left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]

Метод зворотної матриці

Існує два методи оберненої матриці для знаходження оберненої матриці:

Детермінантний метод
Метод елементарного перетворення

Метод 1: Метод визначення

Найважливішим методом знаходження оберненої матриці є використання визначника.

створення таблиці Oracle

Обернену матрицю також можна знайти за допомогою наступного рівняння:

А ^-1 = adj(A) / det(A)

де,

adj(A) є спряженим до матриці A, і
це (А) є визначником матриці A.

Для знаходження ад’юнта матриці A необхідна матриця-кофактор A. Тоді приєднаний (A) є транспонуванням матриці кофактора A, тобто

adj (A) = [C _ij ] ^Т

Для кофактора матриці, тобто C_ij, ми можемо використати таку формулу:

C _ij = (-1) ^i+j це (М _ij )

де М _ij відноситься до (i, j) ^тис мінорна матриця при i ^тис ряд і j ^тис колонка видалена.

Спосіб 2: Метод елементарного перетворення

Виконайте наведені нижче дії, щоб знайти обернену матрицю методом елементарного перетворення.

Крок 1 : Запишіть задану матрицю як A = IA, де I — одинична матриця такого ж порядку, як A.

Крок 2: Використовуйте послідовність операцій із рядками або стовпчиками, доки матриця ідентичності не буде досягнута на LHS, також використовуйте подібні елементарні операції на RHS, щоб отримати I = BA. Таким чином, матриця B на RHS є оберненою до матриці A.

Крок 3: Переконайтеся, що під час виконання елементарних операцій ми використовуємо операцію рядка або операцію стовпця.

Ми можемо легко знайти обернену матрицю 2 × 2 за допомогою елементарної операції. Розберемося в цьому на прикладі.

приклад: Знайдіть число, обернене до 2 × 2, A =egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}за допомогою елементарної операції.

рішення:

Дано:

A = IA

egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}

Тепер, Р₁⇢ Р₁/2

egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A

Р₂⇢ Р₂– Р₁

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A

Р₂⇢ Р₂23

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

Р₁⇢ Р₁– Р₂/2

egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

Таким чином, обернена матриця A = egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} є

А^-1=egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}

Приклад матриці, оберненої до 2×2

Інверсію матриці 2×2 також можна обчислити за допомогою скороченого методу, окрім методу, описаного вище. Давайте розглянемо приклад, щоб зрозуміти швидкий метод обчислення матриці, оберненої 2 × 2.

Для заданої матриці A =egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix}

Ми знаємо, |A| = (ad – bc)

і присл. А =egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

потім використовуючи формулу для зворотного

А^-1= (1 / |A|) × Adj A

⇒ А^-1=[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

Таким чином обчислюється обернена матриця 2 × 2.

Приклад матриці, оберненої до 3X3

Візьмемо будь-яку 3×3 матрицю A =egin{bmatrix}a & b & c l & m & n p & q & rend{bmatrix}

Матриця, обернена до 3×3, обчислюється за допомогою формула оберненої матриці ,

А ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Визначник оберненої матриці

Визначник оберненої матриці є величиною, зворотною визначнику вихідної матриці. тобто,

це (А ^-1 ) = 1 / it(A)

Доказ наведеного вище твердження обговорюється нижче:

det(A × B) = det (A) × det(B) (уже знаю)

⇒ A × A^-1= I (за властивістю зворотної матриці)

⇒ it(A × A^-1) = it(I)

⇒ it(A) × it(A^-1) = det(I) [ але, det(I) = 1]

⇒ it(A) × it(A^-1) = 1

⇒ it(A^-1) = 1 / it(A)

Отже, доведено.

Властивості оберненої до матриці

Обернена матриця має такі властивості:

Для будь-якої неособливої матриці A (А ^-1 ) ^-1 = А
Для будь-яких двох неособливих матриць A і B (AB) ^-1 = Б ^-1 А ^-1
Обернена до неособливої матриці існує, для сингулярної матриці обернена не існує.
Для будь-якого неособливого A (А ^Т ) ^-1 = (А ^-1 ) ^Т

пов'язані:

Обернена матриця
Матриці: властивості та формули
Математичні дії над матрицями
Визначник матриці
Як знайти визначник матриці?

Матричні обернені розв’язані приклади

Давайте розв’яжемо кілька прикладів запитань щодо зворотної матриці.

приклад 1: Знайти обернену матрицюold{A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]}використовуючи формулу.

рішення:

Ми маємо,

A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]

Знайдіть ад’юнкт матриці A, обчисливши кофактори кожного елемента, а потім отримавши транспонування матриці кофакторів.

присл. А =left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

Знайти значення визначника матриці.

|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)

= –3

Таким чином, обернена матриця є,

А^-1=frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]

приклад 2: Знайдіть обернену матрицю A=old{ за формулою.}left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

рішення:

Ми маємо,

A=left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Знайдіть ад’юнкт матриці A, обчисливши кофактори кожного елемента, а потім отримавши транспонування матриці кофакторів.

присл. А =left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

Знайти значення визначника матриці.

|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)

= 16

Таким чином, обернена матриця є,

А^-1=frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]

приклад 3: Знайти обернену матрицю A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] } використовуючи формулу.

рішення:

Ми маємо,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight]

Знайдіть ад’юнкт матриці A, обчисливши кофактори кожного елемента, а потім отримавши транспонування матриці кофакторів.

присл. А =left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Знайти значення визначника матриці.

|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)

= 1

Таким чином, обернена матриця є,

А^-1=frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Приклад 4: Знайти обернену матрицю A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] } використовуючи формулу.

рішення:

Ми маємо,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight]

Знайдіть ад’юнкт матриці A, обчисливши кофактори кожного елемента, а потім отримавши транспонування матриці кофакторів.

присл. А =left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

Знайти значення визначника матриці.

|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)

= 20

Таким чином, обернена матриця є,

А^-1=frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]

Часті запитання щодо оберненої матриці

Що таке зворотна матриця?

Величина, зворотна матриці, називається оберненою до матриці. Оберненими є лише квадратні матриці з ненульовими визначниками. Припустимо, для будь-якої квадратної матриці A з оберненою матрицею B їхній добуток завжди є одиничною матрицею (I) того самого порядку.

[A]×[B] = [I]

Що таке Матриця?

Матриця — це прямокутний масив чисел, які поділені на певну кількість рядків і стовпців. Кількість рядків і стовпців у матриці називають її розмірністю або порядком.
abc з цифрами

Що таке матриця, обернена до матриці 2×2?

Для будь-якої матриці A чи порядку 3 × 3 її обернену знаходять за формулою:

А ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Що таке зворотна матриця 3×3?

Обернена до будь-якої квадратної матриці 3×3 (скажімо A) є матриця того самого порядку, позначена A^-1такий, що їхній добуток є одиничною матрицею порядку 3×3.

[A] _3×3 × [А ^-1 ] _3×3 = [Я] _3×3

Чи є приєднана та обернена матриця однаковими?

Ні, приєднаний до матриці та обернений до матриці не те саме.

Як використовувати обернену матрицю?

Обернена до матриці використовується для розв’язування алгебраїчних виразів у матричній формі. Наприклад, щоб розв’язати AX = B, де A — матриця коефіцієнтів, X — змінна матриця, а B — постійна матриця. Тут матриця змінної визначається за допомогою оберненої операції як,

X = A ^-1 Б

Що таке оборотні матриці?

Матриці, обернені до яких існують, називаються оборотними. Обернені матриці — це матриці, які мають відмінний від нуля визначник.

Чому не існує матриці, оберненої до 2 × 3?

Існує зворотна матриця лише квадратної. Оскільки матриця 2 × 3 є не квадратною, а скоріше прямокутною матрицею, її зворотної матриці не існує.

Подібним чином матриця 2 × 1 також є не квадратною, а прямокутною матрицею, отже, її зворотної матриці не існує.

Що таке зворотна матриця тотожності?

Оберненою до одиничної матриці є сама одинична матриця. Це тому, що матриця ідентичності, позначена як я (або я _п для ан п × п matrix), це єдина матриця, для якої кожен елемент уздовж головної діагоналі дорівнює 1, а всі інші елементи дорівнюють 0. Коли ми множимо одиничну матрицю на саму себе (або її обернену), ми знову отримуємо одиничну матрицю.

Обернена до матриці