Обернена матриця 3 × 3 це матриця який при множенні на вихідну матрицю дає матриця ідентичності як продукт. Інверсія матриці є фундаментальним аспектом лінійної алгебри. Цей процес відіграє вирішальну роль у розв’язуванні систем лінійних рівнянь і різноманітних математичних додатках. Щоб обчислити обернену, необхідно обчислити приєднану матрицю, перевірити оборотність матриці, вивчивши її визначник (який не повинен дорівнювати нулю), і застосувати формулу для виведення оберненої матриці.

У цій статті розглядаються різні поняття оберненої до матриці 3 × 3 і як знайти обернену до матриці 3 × 3 шляхом обчислення співмножників, ад’юнктів і детермінантів матриці 3 × 3. Далі в цій статті ви також знайдете розв’язані приклади для кращого розуміння, а також надано практичні запитання, щоб перевірити, чому ми навчилися з цього.

Зміст

• Що таке матриця, обернена до матриці 3 × 3?
• Як знайти обернену матрицю 3 × 3?
• Елементи, що використовуються для пошуку матриці, оберненої до матриці 3 × 3
• Формула матриці, обернена до 3 × 3
• Знаходження оберненої матриці 3 × 3 за допомогою операцій над рядками

Що таке матриця, обернена до матриці 3 × 3?

Обернена до матриці 3 × 3 — це матриця, яка при множенні на вихідну матрицю дає одиничну матрицю. Щоб знайти обернену матрицю, ви можете обчислити суміжну матрицю, визначити, чи є матриця оборотною (неособливою), перевіривши її визначник (який не повинен дорівнювати нулю), а потім застосувати формулу A^-1= (adj A) / (det A). Обернена матриця дозволяє розв’язувати системи лінійних рівнянь і виконувати різноманітні математичні дії.

Як знайти обернену матрицю 3 × 3?

Виконайте наведені нижче кроки, щоб знайти матрицю, обернену до матриці 3 × 3:

Крок 1: По-перше, перевірте, чи можна інвертувати матрицю. Для цього обчислюємо визначник матриці. Якщо визначник не дорівнює нулю, то переходимо до наступного кроку.

Крок 2: Обчисліть визначник менших матриць 2 × 2 у більшій матриці.

крок 3: Створіть матрицю кофакторів.

крок 4: Отримайте ад’югат або ад’юнт матриці шляхом транспонування матриці кофактора.

крок 5: Нарешті, розділіть кожен елемент у допоміжній матриці на визначник вихідної матриці 3 на 3.

Пов’язане читання

• Кофактор і мінори матриці
• Транспонування матриці

Елементи, що використовуються для пошуку матриці, оберненої до матриці 3 × 3

В основному існують два елементи, які використовуються для знаходження зворотної матриці 3 × 3:

• Приєднаний до матриці
• Визначник матриці

Приєднаний до матриці 3 × 3

The приєднаний до матриці A визначається транспонуванням матриці кофактора A. Щоб детально обчислити ад’юнт матриці, дотримуйтеся наданих інструкцій.

Для матриці 3 × 3 кофактором будь-якого елемента є визначальний матриці 2 × 2, утвореної шляхом видалення рядка та стовпця, що містять цей елемент. Знаходячи кофактори, ви чергуєте позитивні та негативні знаки.

Наприклад, дана матриця A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Матриця Minor отримується наступним чином:

як відкрити приховані програми на android

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Обчисліть детермінанти матриць 2 × 2, утворених множенням по діагоналі та відніманням добутків зліва направо, тобто мінор.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Отже, матриця кофакторів:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Транспонуючи матрицю-кофактор, ми отримуємо приєднану матрицю.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Визначник матриці 3 × 3

Використовуючи той самий приклад, який ми обговорювали вище, ми можемо обчислити визначник матриці A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Обчисліть визначник матриці, використовуючи перший рядок,

Деталі A = 2(кофактор 2) + 1(кофактор 1) + 3(кофактор 3)

Що A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

А = 2 + 4 – 6

Що A = 0

Ви можете перевірити Трюк для обчислення визначника матриці 3×3

Формула матриці, обернена до 3 × 3

Щоб знайти обернену матрицю A 3 × 3, ви можете використати формулу A-1 = (adj A) / (det A), де:

• adj A — приєднана матриця A.
• det A є визначником A.

Щоб A-1 існував, det A не має дорівнювати нулю. Це означає:

• А^-1існує, коли det A не дорівнює нулю (A є неособливим).
• А^-1не існує, коли det A дорівнює нулю (A є сингулярним).

Ось кроки, щоб знайти обернену матрицю 3 × 3, використовуючи той самий приклад:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Крок 1: Обчислити приєднану матрицю (adj A).

Щоб знайти приєднану матрицю, замініть елементи A на відповідні співмножники.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Крок 2: Знайдіть визначник A (det A).

Щоб обчислити визначник A, ви можете скористатися формулою для матриці 3 × 3. У цьому випадку det A = -8.

Крок 3: Застосуйте формулу A^-1= (adj A) / (det A), щоб знайти обернену матрицю A^-1.

Розділіть кожен елемент суміжної матриці на визначник A:

А ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Щодо спрощення дробів,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Знаходження оберненої матриці 3 × 3 за допомогою операцій над рядками

Щоб знайти обернену матрицю 3×3, виконайте такі дії:

Крок 1: Почніть із заданої матриці A розміром 3 × 3 і створіть одиничну матрицю I такого ж розміру, розмістивши A ліворуч, а I праворуч від доповненої матриці, розділених лінією.

Крок 2: Застосуйте ряд операцій із рядками до розширеної матриці зліва, щоб перетворити її на одиничну матрицю I. Матриця з правого боку лінії, яка стає A^-1, є оберненою до вихідної матриці A.

Вивчайте більше, Елементарна операція з матрицями

Також перевірте

java привіт світ

• Типи матриць
• Обернена матриця
• Слід матриці

Розв’язані приклади на оберненій матриці 3 × 3

Приклад 1: Знайти обернене до

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

рішення:

Додаткова матриця D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Додаткова матриця D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Кофактор матриці, тобто X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Транспонування матриці X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Тепер ми знайдемо визначник D за допомогою першого рядка:

Це D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Що D = 6+0+14

⇒ Що D = 20

Обернена матриця D або D^-1= Adj D / Det D

⇒ Д^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ Д^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Приклад 2: Знайти обернений до

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Мінор матриці E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Кофактор матриці E, тобто X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Давайте тепер знайдемо визначник матриці E за допомогою першого рядка:

Що E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Це E= -1 + 0 + 1

Що E = 0

∴ Оскільки визначник матриці E еквівалентний 0, обернена до матриці E або E^-1неможливо.

Практичні запитання щодо матриці, оберненої до матриці 3 × 3

Q1. Обчисліть обернену наступну матрицю 3×3:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Знайдіть обернену матрицю B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Визначте, чи є матриця С оборотною, і якщо так, знайдіть її обернену:

дискета

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Обчисліть обернену матрицю D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5. Для матриці E перевірте, чи є вона оборотною, і, якщо так, знайдіть її обернену:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Матриця, обернена 3×3 – поширені запитання

1. Що таке обернена матриця 3×3?

Обернена матриця 3×3 — це ще одна матриця, яка при множенні на вихідну матрицю дає одиничну матрицю.

2. Чому важливо знайти зворотне?

Він необхідний для вирішення систем лінійних рівнянь, перетворень і різноманітних математичних операцій.

3. Як обчислити обернену матрицю 3×3?

Зазвичай ви знаходите приєднану матрицю, перевіряєте ненульове значення визначника та застосовуєте певну формулу.

4. Коли зворотна матриця 3×3 не існує?

Його не існує, коли визначник матриці дорівнює нулю, що робить її сингулярною.

5. Чи може будь-яка матриця 3×3 мати зворотну?

Ні, лише неособливі матриці з ненульовим визначником мають обернені.

6. Яка роль приєднаної матриці у знаходженні оберненої?

Приєднана матриця допомагає обчислювати обернену матрицю, надаючи кофактори для кожного елемента.

7. У яких областях широко використовується концепція інверсії матриці 3×3?

Концепція інверсії матриці 3×3 використовується в техніці, фізиці, комп’ютерній графіці та різних математичних дисциплінах.

8. Як отримати матрицю, обернену до матриці 3×3?

Щоб знайти обернену матрицю 3×3, виконайте такі дії:

• Спочатку обчислюємо визначник матриці.
• Якщо визначник не дорівнює 0, переходимо до наступного кроку. Якщо дорівнює 0, матриця не має оберненого.
• Знайдіть матрицю мінорів, створивши матриці 3×3 для кожного елемента вихідної матриці, виключаючи рядок і стовпець елемента, на якому ви зосереджуєтеся.
• Обчисліть матрицю співмножників, застосувавши шаблон знаків плюс і мінус до елементів матриці мінорів.
• Транспонуйте матрицю кофакторів, помінявши рядки стовпцями.
• Нарешті, розділіть транспоновану матрицю кофакторів на визначник, щоб отримати обернену матрицю 3×3.