Похідною від Cot x є -cosec 2 х. Це відноситься до процесу знаходження зміни функції синуса відносно незалежної змінної. Похідна від cot x також відома як диференціювання cot x, що є процесом знаходження швидкості зміни тригонометричної функції cot.
У цій статті ми дізнаємося про похідну від cot x та її формулу, включаючи доказ формули за допомогою першого принципу похідних, правила частки та правила ланцюга.
Що таке похідна від Cot x?
Похідна від cot x є -cosec2х. Похідна від cot x є однією з шести тригонометричних похідних, які ми маємо вивчити. Це диференціювання котангенса тригонометричної функції відносно змінної x у даному випадку. Якщо ми маємо cot y або cot θ, тоді ми диференціюємо котангенс відносно y або θ відповідно.
вчись,
- Обчислення в математиці
- Похідна в математиці
Похідна формули Cot x
Формула похідної cot x визначається так:
(d/dx)[cot x] = -cosec 2 х
або
(cot x)’ = -cosec 2 х
Доказ похідної від Cot x
Похідну cot x можна довести такими способами:
- За допомогою першого принципу похідної
- З допомогою Правило частки
- З допомогою Правило ланцюжка
Похідна від Cot x за першим принципом похідної
Почнемо доказ похідної від Cot x:
різниця між $ і $$
Нехай f(x) = Cot x
За першим принципом похідної
f'(x)= lim h→0 f(x+h)-f(x)/h
= lim h→0 cot(x+ h)- cot x/ h
= lim h→0 [cos(x+h)/sin(x+h)- cos x/ sin x]/h
= lim h→0 sin x cos(x+h)-cos x sin (x+h) / sin(x+h) sin x. ч
=lim h→0 sin [x-(x+h) / sin(x+h).sin x .h
= lim h→0 – sin h/h lim h→0 1/sin (x+h)sin x
= -1 × 1/sinx. sinx
= -1/ без2х
= -cosec2х
Похідна від Cot x за правилом частки
Щоб знайти похідну від cot x за допомогою правила частки похідної, ми повинні використати наступні згадані формули
- (d/dx) [u/v] = [u’v – uv’]/v2
- без2(x)+ cos2(x)= 1
- cot x = cos x / sin x
- cosec x = 1 / sin x
Почнемо доведення похідної від cot x
f(x) = cot x = cos(x)/sin(x)
u(x) = cos(x) і v(x)=sin(x)
u'(x) = -sin(x) і v'(x)=cos(x)
в2(x) = sin2(x)
f'(x) = {-sin(x).sin(x) – cos(x).cos(x)}/sin2(x)
f'(x) = -sin2(x)-cos2(x)/sin2(x)
f'(x) = -sin2(x)+cos2(x)/sin2(x)
За однією з тригонометричних тотожностей cos 2 x + sin 2 х = 1.
f'(x) = – 1/ sin2(x)
d/dx cot(x) = -1 /sin2(x) = -cosec 2 (x)
Отже, диференціювання cot x є -cosec 2 х.
Похідна від Cot x за правилом ланцюга
Припустимо, що y = cot x, тоді ми можемо написати y = 1 / (tan x) = (tan x)-1. Оскільки ми маємо силу тут, ми можемо застосувати правило потужності тут. За правилом потужності та правилом ланцюга,
y’ = (-1) (tan x)-2·d/dx (tan x)
Похідна від tan x є d/dx (tan x) = sec²x
y= дитяче ліжечко x
y’ = -1/тан2x·(сек2x)
y’ = – ліжечко2х·сек2х
Тепер cot x = (cos x)/(sin x) і sec x = 1/(cos x). Так
y’ = -(cos2x)/(без2x) · (1/cos2x)
y’ = -1/sin2х
Оскільки взаємність гріха є cosec. тобто 1/sin x = cosec x. Так
y’ = -cosec2х
Звідси доведено.
Читайте також,
- Диференціювання тригонометричної функції
- Формули диференціювання
- Похідна кореня x
Розв’язані приклади на похідну від Cot x
Ось деякі приклади, пов’язані з похідною від Cot x,
Приклад 1: Знайдіть похідну від cot 2 х.
рішення:
Нехай f(x) = cot2x = (ліжечко x)2
Використовуючи правило ступеня та правило ланцюга,
f'(x) = 2 cot x · d/dx(cot x)
Ми знаємо, що похідною від cot x є -cosec2х. Так
f'(x) = -2 cot x ·cosec2х
Приклад 2: диференціювати tan x відносно cot x.
рішення:
Нехай v = tan x і u = cot x. Тоді dv/dx = сек2x і du/dx = -cosec2х.
Ми повинні знайти dv/du. Ми можемо записати це як
dv/du = (dv/dx) / (du/dx)
dv/du = (сек2x) / (-cosec2x)
dv/du = (1/cos2x) / (-1/sin2x)
dv/du = (-sin2x) / (cos2x)
dv/du = -tan2х
Приклад 3: Знайти похідну від cot x · csc2x
рішення:
Нехай f(x) = cot x · cosec2х
За правилом продукту,
f'(x) = cot x·d/dx (cosec2x) + cosec2x·d/dx(cot x)
f'(x) = cot x·(2 cosec x) d/dx (cosec x) + cosec2x (-cosec2x) (за ланцюговим правилом)
f'(x) = 2 cosec x cot x (-cosec x cot x) – cosec4х
f'(x) = -2 cosec2х ліжечко2x – cosec4х
Практичні запитання щодо похідної від Cot x
Різноманітні проблеми, пов’язані з похідною від Cot x:
Q1 . Знайдіть похідну від 1/cot(x).
Q2. Обчисліть похідну від cot(3x) + 2cot(x).
Q3. Визначте похідну від 1/cot(x)+1.
Q4. Визначити похідну cot(x) – tan(x).
Q5. Визначте похідну від cot 2 (x).
Похідна від Cot x – поширені запитання
Що таке похідна?
Похідна функції визначається як швидкість зміни функції відносно незалежної змінної.
Що таке формула для похідної від Cot x?
Формула похідної від cot x: (d/dx) cot x = -cosec2х
Що таке похідна від Cot (-x)?
Похідною від cot (-x) є cosec2(-x).
Які існують різні методи доведення похідної від Cot x?
Різні методи доведення похідної cot x:
- Використовуючи перший принцип похідної
- За правилом частки
- За ланцюговим правилом
Що таке похідна від cot t?
Похідною від cot t є (-cosec2т)