Правило частки — це метод знаходження похідної функції, яка є часткою двох інших функцій. Це метод, який використовується для диференціації проблем, де одна функція поділяється на іншу. Ми використовуємо правило частки, коли нам потрібно знайти похідну функції виду: f(x)/g(x).

Давайте дізнаємося про правило частки в обчисленні, його формулу та виведення за допомогою розв’язаних прикладів.

Визначення правила частки

Правило частки є правилом диференціація тих функцій, які задані у вигляді частки , де обидва чисельник і знаменник є індивідуальними функціями. Правило частки є фундаментальною технікою в обчислення для знаходження похідної функції, яка є часткою (відношенням) двох диференційовані функції . Він надає метод розрізнення виразів, де одна функція ділиться на іншу.

Припустимо, що нам задана функція f(x) = g(x)/h(x), тоді диференціювання f(x), f'(x) знаходиться як,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Формула правила частки

Формула правила частки – це формула, яка використовується для знаходження диференціювання функції, яка виражається як функція частки. Нижче наведено формулу правила частки:

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Де,

• u(x) є першою функцією, яка є диференційованою функцією,
• u'(x) є похідною функції u(x),
• v(x) є другою функцією, яка є диференційованою функцією, і
• v'(x) є похідною функції v(x).

Доказ правила частки

Ми можемо вивести правило частки за допомогою таких методів:

• Використання ланцюгового правила
• Використання неявного диференціювання
• Використання похідних і граничних властивостей

Тепер дізнаємося про них докладніше.

Виведення правила частки за допомогою ланцюгового правила

Щоб довести: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Дано: H(x) = f(x)/g(x)

Доказ:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Використання правила продукту,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Застосовуючи правило потужності,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (x)

Таким чином, правило частки доведено.

Детальніше:

• Правило ланцюжка

Виведення правила часткового за допомогою неявного диференціювання

Візьмемо диференційовану функцію f(x), таку, що f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

використовуючи правило добутку,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Тепер розв’язуємо f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Підставляючи значення f(x) як, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (x)

Таким чином, правило частки доведено.

Детальніше

• Неявна диференціація

Виведення правила часткового з використанням властивостей похідної та межі

Візьмемо таку диференційовану функцію f(x), що f(x) = u(x)/v(x),

ми це знаємо,

f'(x) = lim_h→0[f(x+h) – f(x)] / год

Підставляючи значення f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / год

f'(x) = lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Розподіл ліміту,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {лім_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/дюйм²(x)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {ліміт_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1/дюйм²(x)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (x)

Це правило шуканої частки.

Детальніше

• Властивості меж
• Правила похідних інструментів

Як використовувати правило частки при диференціюванні?

Щоб застосувати правило частки, виконайте наступні кроки:

Крок 1: Запишіть окремі функції як u(x) і v(x).

крок 2: Знайти похідну окремої функції u(x) і v(x), тобто знайти u'(x) і v'(x). Тепер застосуйте формулу правила частки,

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

крок 3: Спростіть наведене вище рівняння, і воно дасть диференціювання f(x).

Ми можемо зрозуміти це поняття за допомогою прикладу.

Приклад: Знайдіть f'(x), якщо f(x) = 2x ³ /(x+2)

враховуючи,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Порівнюючи з f(x) = u(x)/v(x), отримуємо

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Тепер диференціюємо u(x) і v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Використовуючи правило частки,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

підписка на azure

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2 рази³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2 рази³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​​​​)/(x + 1)²

Правило добутку та частки

Правило диференціювання добутку використовується для визначення диференціювання функції, коли функція задана як добуток двох функцій.

Правило диференціації продукту стверджує, що якщо P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Тоді як часткове правило диференціювання використовується для диференціації функції, яка представлена ​​як ділення двох функцій, тобто f(x) = p(x)/q(x).

Тоді виведення f(x) за допомогою правило частки розраховується як,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (x)

Необхідно прочитати

• Правило добутку в обчисленні
• Правило ланцюжка
• Формула диференціювання та інтегрування
• Логарифмічне диференціювання
• Основи числення
• Застосування похідних

Приклади правила частки

Давайте розв’яжемо кілька зразкових запитань щодо правила частки.

Приклад 1: Диференціювати old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

рішення:

Функції Чисельник і Знаменник є диференційованими.

Застосовуючи правило частки,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Приклад 2: диференціюємо, f(x) = tan x.

рішення:

tan x записується як sinx/cosx, тобто

tan x = (sin x) / (cos x)

Функції Чисельник і Знаменник є диференційованими.

Застосовуючи правило частки,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Приклад 3: диференціювання, f(x)= e ^x /x ²

рішення:

Функції Чисельник і Знаменник є диференційованими.

Застосовуючи правило частки,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Приклад 4: Диференціювати, y=frac{cosx}{x^2}

рішення:

Функції Чисельник і Знаменник є диференційованими.

Застосовуючи правило частки,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Приклад 5: диференціюємо, f(p) = p+5/p+7

рішення:

Функції Чисельник і Знаменник є диференційованими.

Застосовуючи правило частки,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Практичні завдання

Ось кілька практичних завдань на правило частки, які ви повинні вирішити.

P1. Знайдіть похідну f(x) = (x ² + 3)/(без x)

P2. Знайдіть похідну f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Знайдіть похідну f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Знайдіть похідну f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Правило частки похідної – поширені запитання

Що таке часткове правило диференціювання?

Правило часткового диференціювання — це правило, яке використовується для знаходження диференціювання функції, заданої у формі часткового, тобто функції, заданої як ділення двох функцій.

Що таке формула правила частки?

Формула правила частки:

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Ця формула дає диференціювання функції, яка представлена ​​як f(x)/g(x).

Як вивести формулу частки?

Правило частки можна вивести трьома методами,

• За похідними та граничними властивостями
• Шляхом неявної диференціації
• За ланцюговим правилом

Як використовувати правило частки?

Правило частки використовується для знаходження диференціювання функції, вираженої як ділення двох функцій, яке включає всі функції форми f(x) і g(x), такі, що існує індивідуальне диференціювання f(x) і g(x) і g(x) ніколи не може дорівнювати нулю.

Як знайти похідну функції ділення?

Похідну функції ділення легко знайти за допомогою формули правила частки, тобто якщо нам потрібно знайти диференціювання H(x), щоб H(x) виражалося як H(x) = f(x)/g(x) тоді його похідна виражається як

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Що таке правило ліміту частки?

Правило частки для обмежень стверджує, що межа функції частки дорівнює частці межі кожної функції.