Диференціювання тригонометричних функцій є похідною тригонометричних функцій, таких як sin, cos, tan, cot, sec і cosec. Диференціювання є важливою частиною числення. Він визначається як швидкість зміни однієї величини відносно іншої величини. Диференціювання тригонометричних функцій використовується в реальному житті в різних областях, таких як комп’ютери, електроніка та математика.

У цій статті ми дізнаємося про диференціацію тригонометричних функцій разом із формулами, їх відповідні докази та їх застосування. Крім того, ми розв’яжемо кілька прикладів і отримаємо відповіді на деякі поширені запитання щодо диференціювання тригонометричних функцій. Почнемо наше навчання з теми диференціювання тригонометричних функцій.

Що таке диференціація?

Диференціювання функції — це швидкість зміни функції відносно будь-якої змінної. The похідна f(x) позначається як f'(x) або (d /dx)[f(x)].

Процедура диференціації тригонометричні функції називається диференціюванням тригонометричних функцій. Іншими словами, визначення швидкості зміни тригонометричних функцій відносно кутів називається диференціюванням тригонометричних функцій.

Шість основних тригонометричних функцій: sin, cos, tan, cosec, sec і cot. Ми знайдемо похідні всіх тригонометричних функцій з їх формулами та доведенням.

Правило диференціювання тригонометричних функцій

Диференціація шести основних тригонометричних функцій така:

Ви можете перевірити доказ похідної цих шести тригонометричних функцій за посиланнями нижче:

Формула доведення диференціювання тригонометричних функцій

Як обговорювалося вище формули для всіх тригонометричних функцій, тепер ми доведемо наведені вище формули диференціювання тригонометричних функцій, використовуючи перший принцип похідної, правило частки та правило ланцюга за допомогою меж.

Диференціювання sin(x)

Щоб довести похідну sin x, ми використаємо перший принцип диференціювання та деякі основні тригонометричні тотожності та формулу границь. Тригонометричні тотожності та формула меж, які використовуються в доказі, наведені нижче:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Почнемо доведення диференціювання тригонометричної функції sin x

За першим принципом диференціації

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [за допомогою 2 і 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Отже, диференціювання sin x дорівнює cos x.

Диференціювання cos(x)

Щоб довести похідну від cos x, ми використаємо перший принцип диференціювання та деякі основні тригонометричні тотожності та формулу границь. Тригонометричні тотожності та формула меж, які використовуються в доказі, наведені нижче:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Почнемо доведення диференціювання тригонометричної функції cos x

статус git

За першим принципом диференціації

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – лім_h→0[(без h/h) без x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [за допомогою 2 і 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Отже, диференціювання cos x дорівнює -sin x.

Диференціація tan(x)

Щоб довести похідну tan x, ми скористаємося правилом частки та деякими основними тригонометричними тотожностями та формулою меж. Тригонометричні тотожності та формула меж, які використовуються в доказі, наведені нижче:

1. tan x = sin x / cos x
2. sec x = 1 / cos x
3. cos²x + sin²х = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Почнемо доказ диференціювання тригонометричної функції tan x

Оскільки за (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

За допомогою правила частки

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²х

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [За 4 і 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + sin²x] / cos²х

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [На 3]

⇒ (d/dx) tan x = сек ² х [Від 2]

Отже, диференціація tan x дорівнює сек ² х.

Диференціювання cosec(x)

Щоб довести похідну від cosec x, ми використаємо правило ланцюга та деякі основні тригонометричні тотожності та формулу меж. Тригонометричні тотожності та формула меж, які використовуються в доказі, наведені нижче:

1. cot x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

Почнемо доведення диференціювання тригонометричної функції cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [на 2]

Використання ланцюжкового правила

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [За 1 і 2]

Отже, диференціювання cosec x – cosec x cot x.

Диференціювання sec(x)

Щоб довести похідну від sec x, ми використаємо правило частки та деякі основні тригонометричні тотожності і формула меж . Тригонометричні тотожності та формула меж, які використовуються в доказі, наведені нижче:

1. tan x = sin x / cos x
2. sec x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Почнемо доведення диференціювання тригонометричної функції sec x

(d/dx) sec x = (d/dx) [1 / cos x] [на 2]

Використання ланцюжкового правила

(d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) сек х = [-1 / cos²x] (-без x)

⇒ (d/dx) sec x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sec x = sec x tan x [За 1 і 2]

Отже, диференціювання sec x є sec x tan x.

Диференціація ліжка (x)

Щоб довести похідну від cot x, ми використаємо правило частки та деякі основні тригонометричні тотожності та формулу границь. Тригонометричні тотожності та формула меж, які використовуються в доказі, наведені нижче:

1. cot x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. cos²x + sin²х = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Почнемо доведення диференціювання тригонометричної функції cot x

Оскільки за (1)

cot x = cos x / sin x

(d/dx) cot x = (d/dx)[cosx / sin x]

За допомогою правила частки

(d/dx) cot x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²х

⇒ (d/dx) cot x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [За 4 і 5]

⇒ (d/dx) cot x = [ -sin²x – cos²х] / гріх²х

⇒ (d/dx) cot x = -[ sin²х + cos²х] / гріх²х

⇒ (d/dx) cot x = -1 / sin²x [На 3]

⇒ (d/dx) cot x = -cosec ² х [Від 2]

Отже, диференціювання cot x є -cosec ² х.

Деякі інші похідні тригонометричної функції

Диференціювання тригонометричних функцій можна легко виконати за допомогою ланцюгового правила. Комплексні тригонометричні функції та складені тригонометричні функції можна розв’язати шляхом застосування правило ланцюга диференціації. У наступних заголовках ми докладніше вивчимо ланцюгове правило та диференціацію складених тригонометричних функцій.

• Диференціювання за ланцюговим правилом
• Диференціація складеної тригонометричної функції

Давайте обговоримо ці теми докладніше.

Ланцюгове правило і тригонометрична функція

Правило ланцюга стверджує, що якщо p(q(x)) є функцією, то похідна цієї функції визначається добутком похідної p(q(x)) і похідної q(x). Для диференціації використовується правило ланцюга складені функції . Правило ланцюга здебільшого використовується для легкого розрізнення складених тригонометричних функцій.

Приклад: знайдіть похідну f(x) = tan 4x

рішення:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Застосовуючи ланцюгове правило

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (сек²4x)(4)

Диференціація складеної тригонометричної функції

Для оцінки диференціювання складених тригонометричних функцій ми застосовуємо ланцюгове правило диференціювання. Композитні тригонометричні функції – це функції, у яких кут тригонометричної функції сам є функцією. Диференціювання складених тригонометричних функцій можна легко оцінити, застосовуючи правило ланцюга та формули диференціювання тригонометричних функцій.

Приклад: знайдіть похідну f(x) = cos(x ² +4)

рішення:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Застосовуючи ланцюгове правило

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Що таке обернені тригонометричні функції?

The обернені тригонометричні функції є функціями, оберненими до тригонометричних функцій. Існує шість обернених тригонометричних функцій: sin^-1, cos^-1, так^-1, cosec^-1, сек^-1, дитяче ліжечко^-1. Обернені тригонометричні функції також називають дуговими функціями.

Диференціювання обернених тригонометричних функцій

Похідні шести обернених тригонометричних функцій такі:

Приклад: Знайдіть похідну f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 х

рішення:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1x]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x ]+ 4(d/dx) [cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Застосування диференціювання тригонометричних функцій

Існує багато різних застосувань диференціювання тригонометричних функцій у реальному житті. Нижче наведено застосування диференціювання тригонометричних функцій.

• Нахил дотичної та нормалі до тригонометричної кривої можна визначити за допомогою диференціювання тригонометричних функцій.
• Його також можна використовувати для визначення максимумів і мінімумів функції.
• Він також використовується в області комп'ютерів та електроніки.

Також перевірте

• Зворотна тригонометрична похідна
• Антипохідна
• Формули диференціювання

Приклади задач на диференціювання тригонометричних функцій

Завдання 1: Знайдіть похідну f(x) = tan 2x.

рішення:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Застосовуючи ланцюгове правило

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (сек²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2 с²2x

Задача 2: Знайдіть похідну y = cos x / (4x ² )

рішення:

y = cos x / (4x²)

Застосування правила частки

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Задача 3: обчисліть похідну f(x) = cosec x + x tan x

рішення:

f(x) = cosec x + x tan x

Застосовуючи формулу та правило добутку

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²х

Задача 4: Знайти похідну функції f(x) = 6x ⁴ cos x

рішення:

f(x) = 6x⁴cos x

Застосовуючи правило продукту

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-без х)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴без х]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

Завдання 5: обчисліть похідну: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

рішення:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Застосовуючи правило продукту

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sin x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + sin²x – 2 sinx – x cosx – cos²х

Тренувальні задачі на диференціювання тригонометричних функцій

Проблема 1: Знайдіть похідну y = sin(x) + cos(x).

Проблема 2: Обчисліть похідну y = 2sin(x) – 3cos(x).

Проблема 3: Знайдіть похідну y = 2sin(3x).

Проблема 4: Визначте похідну y = tan(5x).

Проблема 5: Знайдіть похідну y = sin(x) cos(x).

Проблема 6: Обчисліть похідну y = cos²(x).

Проблема 7: Визначте похідну y = tan²(x).

Проблема 8: Визначте похідну y = tan(x) sec(x).

Поширені запитання про диференціювання тригонометричних функцій

Що таке диференціація?

Диференціювання — це математична операція, яка обчислює швидкість, з якою функція змінюється відносно своєї незалежної змінної.

Що таке тригонометрична функція?

Тригонометричні функції — це математичні функції, які зв’язують кути прямокутного трикутника з відношеннями його сторін.

Що таке загальні тригонометричні функції?

Загальні тригонометричні функції включають синус (sin), косинус (cos), тангенс (tan), косеканс (cosec), секант (sec) і котангенс (cot).

Дайте визначення диференціювання тригонометричних функцій.

Спосіб диференціювання тригонометричних функцій називається диференціюванням тригонометричних функцій.

Як ви диференціюєте функцію синус, тобто sin (x)?

Похідною sin (x) є cos (x). У математичній нотації d/dx(sin(x)) = cos(x).

Що ми отримуємо після диференціювання функції косинуса, тобто cos (x)?

Похідна від cos (x) є -sin (x). У математичній нотації d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Як диференціювати функцію тангенса, тобто tan (x)?

Похідна від tan(x) дорівнює сек²(x), де sec(x) – функція січної. У математичній нотації d/dx(tan(x)) = сек²(x).

Які є формули диференціювання тригонометричних функцій?

Формула диференціювання тригонометричних функцій така:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = сек²х
• (d/dx) cosec x = -cosec x cot x
• (d/dx) sec x = sec x tan x
• (d/dx) cot x = -cosec²х

Наведіть приклад диференціювання тригонометричної функції.

Розглянемо функцію f(x) = 2sin(3x).

пункти sql

Використовуючи правило ланцюга,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Які методи використовуються для отримання диференціювання тригонометричних функцій?

Формула диференціювання тригонометричних функцій може бути отримана різними способами:

• Використовуючи перший принцип похідних
• За допомогою Правило частки
• За допомогою правила ланцюга

Що таке антидиференціювання тригонометричних функцій?

Антидиференціювання тригонометричних функцій означає знаходження інтегрування тригонометричних функцій.