Похідна оберненої тригонометричної функції означає швидкість зміни оберненої тригонометричної функції. Ми знаємо, що похідна функції — це швидкість зміни функції відносно незалежної змінної. Перш ніж навчитися цьому, слід знати формули диференціювання тригонометричних функцій. Щоб знайти похідну оберненої тригонометричної функції, ми спочатку прирівняємо тригонометричну функцію до іншої змінної, щоб знайти її обернену, а потім продиференціюємо її за допомогою формули неявного диференціювання.

У цій статті ми дізнаємося про D похідна зворотних тригонометричних функцій, Формули диференціювання зворотних тригонометричних функцій, і розв’яжіть приклади на його основі. Але перш ніж продовжити, давайте оновимо концепцію i зворотні тригонометричні функції та неявне диференціювання.

• Обернені тригонометричні функції
• Що таке імпліцитна диференціація?
• Що таке похідна обернених тригонометричних функцій?
• Доказ похідної обернених тригонометричних функцій
• Формула зворотної тригонометричної похідної
• Приклади зворотних тригонометричних похідних

Обернені тригонометричні функції

Обернені тригонометричні функції є оберненими функціями тригонометричних співвідношень, тобто sin, cos, tan, cot, sec і cosec. Ці функції широко використовуються в таких галузях, як фізика, математика, інженерія та інших галузях досліджень. Подібно до того, як додавання та віднімання є оберненими один до одного, те саме вірно для обернених тригонометричних функцій.

без θ = x

⇒ i ​= s в ⁻¹ х ​

Зображення обернених тригонометричних функцій

Вони представлені додаванням дуга у префіксі або додаванням -1 до степеня.

Аверсинус можна записати двома способами:

• без^-1х
• arcsin x

Те саме стосується cos і tan.

Примітка: Не плутайте гріх^-1x з (sin x)^-1. Вони різні. Писати гріх^-1x – це спосіб запису аверсинуса, тоді як (sin x)^-1означає 1/sin x.

Область визначення обернених тригонометричних функцій

Ми знаємо, що функція диференційовна, лише якщо вона неперервна в цій точці, і якщо функція неперервна в даній точці, то ця точка є областю визначення функції. Отже, ми повинні дізнатися область визначення обернених тригонометричних функцій для того самого.

Тепер давайте коротко вивчимо техніку неявного диференціювання.

Що таке імпліцитна диференціація?

Неявна диференціація це метод, який використовує правило ланцюга для розрізнення неявно визначених функцій. Неявна функція — це функція, яка містить дві змінні, а не одну змінну. У такому випадку іноді ми можемо явно перетворити функцію в одну змінну, але це не завжди. Оскільки, як правило, нелегко знайти функцію явно, а потім диференціювати. Натомість ми можемо повністю диференціювати f(x, y), тобто обидві змінні, а потім розв’язати решту рівняння, щоб знайти значення f'(x).

Читайте детально: Обчислення в математиці

Що таке похідна обернених тригонометричних функцій?

Обернена тригонометрична похідна — це похідна оберненої тригонометричної функції. Є шість тригонометричні функції і існує обернена для кожної з цих тригонометричних функцій. Це гріх^-1х, cos^-1х, отже^-1x, cosec^-1х, сек^-1х, ліжечко^-1х. Похідну обернених тригонометричних функцій можна знайти методом неявного диференціювання. Давайте спочатку дізнаємося, що таке похідні обернених тригонометричних функцій.

• Похідна від гріха^-1x дорівнює d(sin^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) для всіх x ϵ (-1, 1)
• Похідна від cos^-1x дорівнює d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) для всіх x ϵ (-1, 1)
• Похідне від тан^-1x дорівнює d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) для всіх x ϵ R
• Похідна від cosec^-1x дорівнює d(cosec^-1x)/dx = -1/ для всіх x ϵ R – [-1, 1]
• Похідна розд^-1х дорівнює d(сек^-1x)/dx = 1/x для всіх x ϵ R – [-1, 1]
• Похідне від ліжечко^-1x дорівнює d(cot^-1x)/dx = -1/(1 + x²) для всіх x ϵ R

Зображення зворотної тригонометричної похідної додається нижче:

Тепер ми дізналися, що таке похідні всіх шести обернених тригонометричних функцій, тепер ми навчимося знаходити похідну шести обернених тригонометричних функцій.

Доказ похідної обернених тригонометричних функцій

Ми можемо диференціювати обернені тригонометричні функції за допомогою першого принципу, а також за допомогою формули неявного диференціювання, яка також передбачає використання ланцюгового правила. Знайти похідну обернених тригонометричних функцій із використанням першого принципу — тривалий процес. У цій статті ми дізнаємося, як диференціювати обернені тригонометричні функції за допомогою неявного диференціювання. Ми можемо знайти похідну (dy/dx) обернених тригонометричних функцій, використовуючи наступні кроки

Крок 1: Припустимо, що тригонометричні функції мають форму sin y = x

Крок 2: Знайдіть похідну вищенаведеної функції за допомогою неявного диференціювання

Крок 3: обчисліть dy/dx

Крок 4: Замініть значення тригонометричної функції, наявне на кроці 3, використовуючи тригонометричні тотожності.

Похідна sin зворотний x

Припустимо sin y = x

Розрізнення обох сторін відносно x

⇒ cos і. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Оскільки ми знаємо, що гріх²і + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – sin²і

дійсні ідентифікатори java

⇒ затишний = √(1 – sin²y) = √(1 – x²), оскільки маємо sin y = x

Додавши це значення cos y до рівняння (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²), де y = sin^-1х

Похідна cos, обернена X

Припустимо cos y = x

Розрізнення обох сторін відносно x

⇒ -без і. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Оскільки ми знаємо, що гріх²і + Cos²y = 1

⇒ без²y = 1 – cos²і

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²), оскільки ми маємо cos y = x

Додавши це значення sin y до рівняння (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²), де y = cos^-1х

Похідна tan, обернена X

Припустимо tan y = x

Розрізнення обох сторін відносно x

⇒ сек²р. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/сек²та →(i)

Оскільки ми знаємо, що розд²і так²y = 1

⇒ сек²y = 1 + tan²і

⇒ сек²y = (1 + тан²y) = (1 + x²), оскільки ми маємо tan y = x

Поклавши це значення сек²y у рівнянні (i)

dy/dx = 1/(1 + x²), де y = tan^-1х

Похідна від cot, обернена X

Припустимо cot y = x

Розрізнення обох сторін відносно x

⇒ -cosec²р. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²та →(i)

Оскільки ми знаємо, що csec²і – ліжечко²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + cot²і

⇒ cosec²y = (1 + кот²y) = (1 + x²), оскільки ми маємо cot y = x

вибрати з кількох таблиць у sql

Поклавши це значення cosec²y у рівнянні (i)

dy/dx = -1/(1 + x²), де y = cot^-1х

Похідна другої оберненої X

Припустимо sec y = x

Розрізнення обох сторін відносно x

⇒ sec y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/сек y.tan y →(i)

Оскільки ми знаємо, що розд²і так²y = 1

⇒ так²y = сек²і – 1

⇒ tan y = √(сек²y – 1) = √(x²– 1), оскільки маємо sec y = x

Додавши це значення tan y до рівняння (i)

dy/dx = 1/x, де sec y = x і y = sec^-1х

Похідна cosec, обернена X

Припустимо cosec y = x

Розрізнення обох сторін відносно x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Оскільки ми знаємо, що cosec²і – ліжечко²y = 1

⇒ ліжечко²y = cosec²і – 1

⇒ cot y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1), оскільки маємо cosec y = x

Додавши це значення tan y до рівняння (i)

dy/dx = -1/x, де cosec y = x і y = cosec^-1х

Формула зворотної тригонометричної похідної

Тепер ми навчилися диференціювати обернені тригонометричні функції, тому зараз розглянемо формули для похідної обернених тригонометричних функцій, які можна використовувати безпосередньо в задачах. Нижче наведено таблицю похідної формули оберненої тригонометричної функції.

Детальніше,

• Похідна в параметричній формі
• Формули похідних
• Застосування похідної
• Похідна експоненціальної функції

Приклади зворотних тригонометричних похідних

Приклад 1: Розрізняйте гріх ^-1 (x)?

рішення:

Дозволяти, і = без ⁻¹( х )

Беручи синус з обох сторін рівняння, ми отримуємо

sin y = sin(sin^-1x)

За властивістю зворотної тригонометрії ми знаємо sin(sin^-1х) = х

sin y = x

Тепер диференціюючи обидві сторони відносно x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Ми можемо ще більше спростити це, використовуючи наведене нижче спостереження:

без²і + cos²y = 1

х²+ cos²y = 1 {Як sin y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Підставляючи значення, отримуємо

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Приклад 2: Продиференціюйте cos ^-1 (x)?

рішення:

Дозволяти,

і = cos⁻¹( х )

Взявши косинус з обох сторін рівняння, ми отримаємо

cos y = cos(cos^-1x)

За властивістю оберненої тригонометрії ми знаємо cos(cos^-1х) = х

cos (y) = x

Тепер диференціюючи обидві сторони відносно x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Ми можемо ще більше спростити це, використовуючи наведене нижче спостереження:

без²і + cos²y = 1

без²y + x²= 1 {Як cos y = x}

без²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

Підставляючи значення, отримуємо

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Приклад 3: диференціювати загар ^-1 (x)?

рішення:

Дозволяти, і = так⁻¹( х )

Беручи tan з обох сторін рівняння, виходить

tan y = tan(tan^-1x)

За властивістю зворотної тригонометрії ми знаємо tan(tan^-1х) = х

tan y = x

Тепер диференціюючи обидві сторони відносно x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

сек²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/сек²х

Ми можемо ще більше спростити це, використовуючи наведене нижче спостереження:

сек²і так²y = 1

сек²y–x²= 1

сек²y = 1 + x²

Підставляючи значення, отримуємо

dy/dx = 1/сек²і

dy/dx = 1/(1 + x²)

Приклад 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Знайти dy/dx при x = 1/2?

рішення:

Спосіб 1 (з використанням неявного диференціювання)

враховуючи, і = cos ⁻¹(−2 х ²)

команди Linux, які

⇒ cos і = −2 х ²

Розрізнення обох сторін відносно x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Спрощення

без²і + cos²y = 1

без²і + (-2x²)²= 1 {Як cos y = -2x²}

без²y + 4x⁴= 1

без²y = 1 – 4x⁴

sin y = √(1 – 4x⁴)

Складаючи отримане значення отримуємо,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Спосіб 2 (використання ланцюгового правила, оскільки ми знаємо диференціювання cos, оберненого x)

враховуючи, і = cos ⁻¹(−2 х ²)

Розрізнення обох сторін відносно x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Приклад 5: Диференціювати egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

рішення:

Дозволяти,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Розрізнення обох сторін відносно x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Запитання щодо зворотної тригонометричної похідної

Спробуйте відповісти на наступні запитання в розділі Inverse Trig Derivative Questions

Q1: Розрізняйте гріх ^-1 (3x-4x ³ ) для x ϵ -1/2