Тригонометрична підстановка — це один із методів інтегрування підстановки, коли функція або вираз у заданому інтегралі замінюється такими тригонометричними функціями, як sin, cos, tan тощо. Інтегрування підстановкою — це найпростіший метод підстановки.

Він використовується, коли ми робимо підстановку функції, похідна якої вже включена в задану інтегральну функцію. Завдяки цьому функція спрощується, і виходить функція простих інтегралів, яку ми можемо легко інтегрувати. Це також відоме як u-заміна або правило зворотного ланцюга. Іншими словами, використовуючи цей метод, ми можемо легко обчислювати інтеграли та першопохідні.

Тригонометрична підстановка

Що таке тригонометрична підстановка?

Тригонометрична підстановка — це процес, у якому відбувається підстановка тригонометричної функції в інший вираз. Він використовується для обчислення інтегралів або є методом знаходження першопохідних функцій, які містять квадратні корені з квадратичних виразів або раціональних степенів видуfrac{p}{2} (де p — ціле число) квадратичних виразів. Прикладами таких виразів є

({x^2+4})^frac{3}{2} абоsqrt{25-x^2} або тощо

Метод тригонометричної підстановки може бути використаний, коли інші більш поширені та прості у використанні методи інтегрування не дали результатів. Тригонометрична підстановка передбачає, що ви знайомі зі стандартними тригонометричними тотожностями, використанням диференціального запису, інтегруванням за допомогою u-підстановки та інтегруванням тригонометричних функцій.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Тут ми обговоримо деякі важливі формули залежно від функції, яку нам потрібно інтегрувати, ми замінюємо один із наведених нижче тригонометричних виразів, щоб спростити інтегрування:

∫cosx dx = sinx + C

Панель швидкого доступу до ms word

∫sinx dx = −cosx + C

∫сек²x dx = tanx + C

∫cosec²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Читайте детально: Обчислення в математиці

Коли використовувати тригонометричну заміну?

Ми використовуємо тригонометричну заміну в наступних випадках:

Як застосувати метод тригонометричної підстановки?

Ми можемо застосувати тригонометричний метод підстановки, як описано нижче,

Інтеграл з a²– х²

Розглянемо приклад інтеграла з a²– х².

приклад: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Покладемо x = a sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Отже, I =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ Я =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ Я =int 1. d heta

⇒ I = θ + c

Оскільки x = a sinθ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Я =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Інтеграл з x ² + а ²

Розглянемо приклад інтеграла з x²+ а².

Приклад: знайти інтеграл old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

рішення:

Покладемо x = a tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, отримуємо

Отже, I =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ Я =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ Я =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ Я =frac{1}{a} heta + c

Оскільки x = a tanθ

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Я =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Інтеграл з a ² + х ² .

Розглянемо приклад інтеграла з a²+ х².

Приклад: Знайдіть інтеграл від old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

рішення:

Покладемо x = a tanθ

⇒ dx = секунда²θ dθ

Отже, I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ Я =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ Я =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ Я =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ Я =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Я =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ Я =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ Я =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

програмування r в c

⇒ Я =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ Я =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Я =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Інтеграл з x ² – а ² .

Розглянемо приклад інтеграла з x²– а².

Приклад: Знайти інтеграл від old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

місцева дата

Покладемо x = a secθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Отже, I =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ Я =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ Я =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Я =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Я =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ Я =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ Я =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ Я =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ Я = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Я =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Детальніше,

• Формули інтегрування
• Інтегрування шляхом підстановки
• Інтеграція по частинах

Зразки задач на тригонометричну підстановку

Задача 1: Знайдіть інтеграл від old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

рішення:

Взявши 5 спільних знаменників,

⇒ Я =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Я =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Відповідно до теореми 1 a =frac{3}{5}

⇒ Я =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ Я =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Задача 2: Знайдіть інтеграл від old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

рішення:

Беручи √2 загальний знаменник,

⇒ Я = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Я =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Відповідно до теореми 1 a = 2

⇒ Я =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ Я =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Задача 3: Знайдіть інтеграл від old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

рішення:

Переставляючи, отримуємо

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Тут, беручи a = 3 і x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Підставляючи ці значення,

Я =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Я =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Я =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Давай візьмемо,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Підставивши ці значення, отримаємо

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

Оскільки u = cos θ і x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ в =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ в =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Отже, I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Задача 4: Знайти інтеграл від old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

рішення:

Взявши в знаменнику 9,

Я =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Я =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Відповідно до теореми 2 a =frac{2}{3}

⇒ Я =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ Я =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Задача 5: Знайти інтеграл від old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

рішення:

java math pow

Взявши 4 спільні знаменники,

Я =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ Я =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Відповідно до теореми 3 a =frac{5}{4}

⇒ Я =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ Я =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ Я =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ Я =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Задача 6: Знайдіть інтеграл від old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

рішення:

Взявши 2 спільних знаменників,

Я =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

порівняти в рядку

Я =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Відповідно до теореми 4 a =frac{3}{2}

Я =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

Я =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

Я =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

Я =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

Я =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Задача 7: Знайдіть інтеграл від old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

рішення:

Переставивши, отримуємо

Я =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

Я =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

Я =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

Я =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Відповідно до теореми 2 маємо

х = х-frac{1}{2} і a =frac{sqrt{3}}{2}

Я =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

Я =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Тригонометрична підстановка – поширені запитання

Що таке тригонометрична підстановка?

Тригонометрична підстановка — це техніка інтегрування, яка використовується для вирішення інтегралів, що включають вирази з радикалами та квадратними коренями, наприклад √(x²+ а²), √(a²+ х²) і √(x²– а²).

Коли слід використовувати тригонометричну заміну?

Тригонометрична підстановка корисна, коли у вас є інтеграл, який містить радикальний вираз, особливо коли радикальний вираз містить квадратичний член.

Які три тригонометричні підстановки зазвичай використовуються в інтегралах?

Три широко використовувані тригонометричні підстановки:

• Підставте x = a sin θ, якщо радикальний вираз містить член у формі a²– х².
• Підставте x = a tan θ, якщо радикальний вираз містить член у формі x²– а².
• Підставте x = a sec θ, якщо радикальний вираз містить член у формі x²+ а².

Як хтось вибирає, яку тригонометричну заміну використовувати?

Ви повинні вибрати тригонометричну заміну, виходячи з форми радикального виразу. Якщо радикальний вираз містить член у формі a^2 – x^2, використовуйте x = a sin θ. Якщо радикальний вираз містить член у формі x^2 – a^2, використовуйте x = a tan θ. Якщо радикальний вираз містить член у формі x^2 + a^2, використовуйте x = a sec θ.