logo

TechCodeview

Формули інтегрування

Формули інтегрування це основні формули, які використовуються для розв’язування різноманітних інтегральних задач. Вони використовуються для знаходження інтеграції алгебраїчних виразів, тригонометричних співвідношень, обернених тригонометричних функцій, логарифмічних і експоненціальних функцій. Ці формули інтегрування дуже корисні для пошуку інтеграції різних функцій.

Інтегрування є зворотним процесом до диференціювання, тобто якщо d/dx (y) = z, то ∫zdx = y. Інтегрування будь-якої кривої дає площу під кривою. Знаходимо інтегрування двома методами Невизначеного інтегрування та Певного інтегрування. У невизначеному інтегруванні немає межі інтегрування, тоді як у визначеному інтегруванні існує межа, за якою функція інтегрується.



Давайте дізнаємося про них інтегральні формули, і їх класифікація, детально в цій статті.

Зміст

Інтегральне числення

Інтегральне числення це розділ числення, який займається теорією та застосуванням інтегралів. Процес знаходження інтегралів називається інтегруванням. Інтегральне числення допомагає знаходити першопохідні функції. Протипохідні також називаються інтегралами функції. Він позначається ∫f(x)dx. Інтегральне числення має справу із загальними значеннями, такими як довжини, площі та об’єми. Інтеграл можна використовувати для знаходження наближених розв’язків певних рівнянь із заданими даними. Інтегральне числення передбачає два типи інтегрування:



  • Безстроковий Інтеграли
  • Визначені інтеграли

Що таке формули інтегрування?

Формули інтегрування були широко представлені у вигляді наступних наборів формул. Формули включають основні формули інтегрування, інтегрування тригонометричних співвідношень, обернені тригонометричні функції, добуток функцій і деякі вдосконалені набори формул інтегрування. Інтеграція – це спосіб об’єднання частин для знаходження цілого. Це операція, обернена до диференціювання. Таким чином, основна формула інтеграції така

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Формули інтегрування



Використовуючи це, отримано наступні формули інтегрування.

Різноманітні формули інтегрального числення

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫ xпdx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logЦе є|x| + C
  4. ∫eхdx = eх+ C
  5. ∫aхdx = (ах/ журналЦе єа) + С

Детальніше, інтегральні формули розглядаються нижче в статті,

Примітка:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , де k константа
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Основні формули інтегрування

Деякі з основних формул інтегрування, які використовуються для вирішення задач інтеграції, обговорюються нижче. Вони виводяться за фундаментальною теоремою інтегрування. Перелік основних інтегральних формул наведено нижче:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xпdx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ іхdx = eх+ C
  • ∫ ахdx = aх/log a+ C
  • ∫ іх[f(x) + f'(x)] dx = eхf(x) + C {де f'(x) = d/dx[f(x)]}

Класифікація інтегральних формул

Інтегральні формули класифікуються за різними категоріями на основі наступної функції.

  • Раціональні функції
  • Ірраціональні функції
  • Гіперболічні функції
  • Обернені гіперболічні функції
  • Тригонометричні функції
  • Обернені тригонометричні функції
  • Експоненціальні функції
  • Логарифмічні функції

Формули інтегрування тригонометричних функцій

Формули інтегрування тригонометричних функцій використовуються для розв’язування інтегральних рівнянь, що містять тригонометричні функції. Нижче наведено список інтегральних формул, що включають тригонометричні та обернені тригонометричні функції,

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ сек2x dx = tan x + C
  • ∫ cosec2x dx = -cot x + C
  • ∫ sec x tan x dx = sec x + C
  • ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sec x| +C
  • ∫ cot x dx = log |sin x| + C
  • ∫ sec x dx = log |sec x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C

Формули інтегрування обернених тригонометричних функцій

Нижче наведено різні формули інтегрування обернених тригонометричних функцій, які використовуються для вирішення інтегральних завдань,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = sin-1х + С
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1х + С
  • ∫1/(1 + x2) dx = tan-1х + С
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = cot-1х + С
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = сек-1х + С
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = cosec-1х + С

Розширені формули інтегрування

Деякі інші розширені формули інтегрування, які мають велике значення для розв’язування інтегралів, обговорюються нижче,

  • ∫1/(x2– а2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2– х2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ а2) dx = 1/a tan-1x/a + C
  • ∫1/√(x2– а2)dx = log |x +√(x2– а2)| + C
  • ∫ √(x2– а2) dx = x/2 √(x2– а2) -а2/2 log |x + √(x2– а2)| + C
  • ∫1/√(a2– х2) dx = sin-1x/a + C
  • ∫√(a2– х2) dx = x/2 √(a2– х2) dx + a2/2 без-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ а2) dx = log |x + √(x2+ а2)| + C
  • ∫ √(x2+ а2) dx = x/2 √(x2+ а2)+ а2/2 log |x + √(x2+ а2)| + C

Різні формули інтегрування

Для вирішення різних типів інтегральних питань використовуються різні типи методів інтегрування. Кожен метод є стандартним результатом і може вважатися формулою. Деякі з важливих методів обговорюються нижче в цій статті. Давайте перевіримо три важливі методи інтеграції.

  • Формула інтегрування за частинами
  • Інтегрування за формулою підстановки
  • Інтегрування за формулою неповних дробів

Формула інтегрування за частинами

Інтеграція по частинах Формула застосовується, коли дана функція легко описується як добуток двох функцій. Формула інтегрування за частинами, яка використовується в математиці, наведена нижче,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Приклад: обчисліть ∫ xe х dx

рішення:

∫ автомобільхdx має вигляд ∫ f(x) g(x) dx

нехай f(x) = x і g(x) = eх

ми знаємо, що ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ автомобільхdx = x ∫eхdx – ∫( 1 ∫eхdx) dx+ c

= автомобільх- Це єх+ c

Інтегрування за формулою підстановки

Інтегрування за формулою підстановки застосовується, коли функція є функцією іншої функції. тобто нехай I = ∫ f(x) dx, де x = g(t) так, що dx/dt = g'(t), тоді dx = g'(t)dt

тепер, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Приклад: обчислити ∫ (4x +3) 3 dx

рішення:

Нехай u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

ітератор java map

= 1/4 ∫(u)3з

= 1/4. в4/5

= u4/двадцять

= 4x ​​​​+3)4/двадцять

Інтегрування за формулою неповних дробів

Інтегрування неповними дробами Формула використовується, коли потрібен інтеграл P(x)/Q(x), а P(x)/Q(x) є неправильним дрібом, таким чином, що ступінь P(x) менший за (<) ступеня Q(x), то дріб P(x)/Q(x) записується як

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/ Q(x)

де

  • R(x) є поліномом від x
  • П 1 (x)/ Q(x) є правильною раціональною функцією

Тепер інтегрування R(x) + P1(x)/ Q(x) легко обчислюється за допомогою формул, розглянутих вище.

Застосування інтегралів

Інтегральні формули — це дуже корисні формули в математиці, які використовуються для різноманітних завдань. різноманітні застосування інтегралів включає:

  • Знаходження довжини кривої
  • Знаходження площі під кривою
  • Знаходження наближених значень функції
  • Визначення шляху предмета та інші
  • Щоб знайти площу під кривою
  • Знайти площу поверхні та об’єм неправильної фігури
  • Щоб знайти центр мас або центр ваги

Ці формули в основному поділяються на дві категорії,

  • Формули визначеного інтегрування
  • Формули невизначеного інтегрування

Формула визначеного інтегрування

Визначені інтегральні формули використовують, коли задана межа інтегрування. При визначеному інтегруванні рішення питання є постійною величиною. Загалом, певне інтегрування розв’язується як

∫ a b f(x) dx = F(b) – F(a)

Формула невизначеного інтегрування

Формули невизначеного інтегрування використовуються для вирішення невизначеного інтегрування, коли межа інтегрування не задана. У невизначеному інтегруванні ми використовуємо константу інтегрування, яка зазвичай позначається C

∫f(x) = F(x) + C

  • Невизначені інтеграли
  • Визначення інтегральних властивостей
  • Інтегрування тригонометричних функцій

Приклади на інтегральні формули

Приклад 1: Оцініть

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/х 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 х dx
  • ∫4e х dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/sin 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

рішення:

(i) ∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x п dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x п dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + С

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x п dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= х4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3) + C

(iv) ∫3 х dx

= (3х/ журналЦе є3) + C [ ∫a х dx = (а х / журнал Це є a) + C]

(v) ∫4e х dx

= 4∫eхdx [∫k . f(x) dx = k f(x) dx , де k константа]

= 4 іх+ C [∫e х dx = e х + C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . сек х дх [ ∫tan x .sec x dx = sec x + C ]

= сек х + С

(vii) ∫(1/sin 2 x) dx

= ∫cosec2x dx [∫cosec 2 x dx = -cot x + C ]

= -cot x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22– х2)] dx [ми знаємо, що dx = sin -1 (x/a) + C]

= без-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [ми це знаємо,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)сек-1(x/a) + C]

= (1/3)сек-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [ми знаємо, що ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= log |cosec x – cot x| + C

Приклад 2: обчисліть ∫{e 9log Це є х + і 8log Це є х }/{Це є 6log Це є х + і 5log Це є х } dx

рішення:

оскільки, Це є струшування Це є х = х a

∫{e 9log Це є х + і 8log Це є х }/{Це є 6log Це є х + і 5log Це є х } dx

= ∫{x9+ х8}/{x6+ х5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫ x8/x5dx

= ∫x3dx [ми знаємо, що ∫x п dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x4/4) + C

Приклад 3: обчисліть ∫ sin x + cos x dx

рішення:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [ми знаємо, що ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [ми знаємо, що ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Приклад 4: обчисліть ∫4 х+2 dx

рішення:

∫4 х+2 dx = ∫4х. 42dx

= ∫16. 4хdx [ ми знаємо, що ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , де k константа]

= 16∫ 4хdx [∫a х dx = (а х / журнал Це є a) + C]

= 16 (4х/log 4) + C

Приклад 5: обчисліть ∫(x 2 + 3x + 1) dx

рішення:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [Ми це знаємо, ∫x п dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

Приклад 6: обчисліть ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

рішення:

1 + cos 2x = 2cos 2 х

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 сек2xdx

= 2∫сек2x dx [Ми це знаємо, ∫сек 2 x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Приклад 7: обчисліть ∫(3cos x – 4sin x + 5 сек 2 x) dx

рішення:

∫(3cos x – 4sin x + 5 сек 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sec2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, де k константа]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫сек2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Практичні завдання на формули інтегрування

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Поширені запитання щодо формул інтегрування

Що таке всі формули інтегрування?

Формули інтегрування – це формули, за допомогою яких розв’язуються різноманітні задачі інтегрування,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xпdx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ іхdx = eх+ C
  • ∫ ахdx = aх/log a+ C
  • ∫ іх[f(x) + f'(x)] dx = eхf(x) + C {де f'(x) = d/dx[f(x)]}

Що таке формули інтегрування uv?

Формула інтегрування uv така:

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Що означає інтеграція в математиці?

Якщо похідною функції g(x) є f(x), то інтегрування f(x) є g(x), тобто ∫f(x)dx = g(x). Інтеграція представлена ​​символом ∫

Як інтегрувати за допомогою формул інтеграції?

Інтегрування можна досягти за допомогою формул,

  • Визначте невелику частину об’єкта в певних вимірах, яка шляхом додавання нескінченно разів утворює повний об’єкт.
  • Використовуючи формули інтеграції над цією маленькою частиною вздовж різних розмірів, ми отримуємо повний об’єкт.

Що таке інтегральна формула за частинами?

Інтегральна формула по частинах використовується для розв’язування інтеграла, у якому подано неправильний дріб.

Яке використання формул інтегрування?

Формули інтегрування використовуються для розв’язування різноманітних інтегральних задач. Різноманітні проблеми, з якими ми стикаємося в повсякденному житті, можна легко вирішити за допомогою інтеграції, наприклад, знайти центр мас будь-якого об'єкта, знайти траєкторію ракети, ракети, літака та інші.