Інтеграція по частинах: Інтегрування частинами — це техніка, яка використовується в численні для знаходження інтеграла від добутку двох функцій. По суті, це зміна правила диференціації продукту.

Інтегрувати функцію не завжди легко, іноді нам доводиться інтегрувати функцію, яка є кратною двом або більше функціям. У цьому випадку, якщо нам потрібно знайти інтеграцію, ми повинні використовувати концепцію інтеграції за частинами, яка використовує два добутки двох функцій і розповідає нам, як знайти їх інтеграцію.

Тепер давайте дізнаємося про Інтегрування частинами, його формула, виведення та інше докладно в цій статті.

Що таке інтеграція за частинами?

Інтегрування за частинами — це техніка, яка використовується для визначення інтеграції продукту двох або більше функцій, коли інтегрування неможливо виконати за допомогою звичайних методів. Припустимо, що ми маємо дві функції f(x) і g(x), і ми повинні знайти інтеграцію їх добутку, тобто ∫ f(x).g(x) dx, де неможливо далі розв’язати добуток цього добутку f(x).g(x).

Ця інтеграція досягається за допомогою формули:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

де f'(x) є першим диференціюванням f(x).

Ця формула читається так:

Інтеграція першої функції, помножена на другу функцію, дорівнює (перша функція), помножена на (інтеграція другої функції) – інтеграція (диференціювання першої функції, помножена на інтеграцію другої функції).

З наведеної вище формули ми можемо легко помітити, що вибір першої функції та другої функції дуже важливий для успіху цієї формули, і те, як ми вибираємо першу функцію та другу функцію, обговорюється далі в цій статті.

Що таке часткова інтеграція?

Часткове інтегрування, також відоме як інтегрування частинами, — це техніка, яка використовується в численні для обчислення інтеграла добутку двох функцій. Формула для часткового інтегрування визначається так:

∫ u dv = uv – ∫ v du

де u і v диференційовні функції від x. Ця формула дозволяє нам спростити інтеграл добутку, розклавши його на два простіші інтеграли. Ідея полягає в тому, щоб вибрати u і dv так, щоб новий інтеграл у правій частині було легше обчислити, ніж оригінальний у лівій частині. Ця техніка особливо корисна при роботі з продуктами функцій, які не мають простих першопохідних.

Історія часткової інтеграції

Концепцію інтегрування за частинами вперше запропонував відомий Брук Тейлор у своїй книзі в 1715 році. Він писав, що ми можемо знайти інтегрування добутку двох функцій, формули диференціювання яких існують. Деякі важливі функції не мають формул інтегрування, і їх інтегрування досягається за допомогою інтегрування шляхом часткового розгляду їх як продукту двох функцій. Наприклад, ∫ln x dx неможливо обчислити за допомогою звичайних методів інтегрування. Але ми можемо інтегрувати його, використовуючи техніку інтегрування за частинами та розглядаючи його як добуток двох функцій, тобто ∫1.ln x dx.

Формула інтегрування за частинами

Формула інтегрування за частинами — це формула, яка допомагає нам досягти інтеграції продукту двох або більше функцій. Припустимо, що нам потрібно інтегрувати добуток двох функцій як

∫u.v dx

де u і v є функціями x, тоді цього можна досягти за допомогою,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Порядок вибору першої функції та другої функції є дуже важливим, і концепція, яка використовується в більшості випадків для пошуку першої функції та другої функції, є концепцією ILATE.

Використовуючи наведену вище формулу та концепцію ILATE, ми можемо легко знайти інтеграцію добутку двох функцій. Формула інтегрування за частинами показана на зображенні нижче,

Формула виведення інтегрування за частинами

Формула інтеграції за частинами виводиться з використанням правила диференціювання добутку. Припустимо, ми маємо дві функції в і в і x, тоді похідна їх добутку визначається за формулою,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Тепер виведемо формулу інтегрування частинами, використовуючи правило диференціювання добутку.

Перестановка термінів

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Інтегруючи обидві сторони відносно x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

спрощення,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Таким чином, отримано формулу інтегрування частинами.

Правило ILATE

Правило ILATE розповідає нам про те, як вибрати першу функцію та другу функцію під час вирішення інтеграції добутку двох функцій. Припустімо, що ми маємо дві функції x u і v, і ми повинні знайти інтеграцію їх продукту, тоді ми вибираємо першу функцію та правило by ILATE.

Повна форма ILATE обговорюється на зображенні нижче,

Правило часткової інтеграції ILATE

Правила ILATE дають нам ієрархію першої функції, тобто якщо в даному добутку функції одна функція є логарифмічною, а інша функція є тригонометричною. Тепер ми беремо логарифмічну функцію як першу функцію, оскільки вона стоїть вище в ієрархії правила ILATE аналогічно, ми вибираємо першу та другу функції відповідно.

ПРИМІТКА: Не завжди доцільно використовувати правило ILATE, іноді інші правила також використовуються для пошуку першої функції та другої функції.

Як знайти інтеграцію за частинами?

Інтегрування за частинами використовується для знаходження інтегрування добутку двох функцій. Ми можемо досягти цього за допомогою кроків, описаних нижче,

Припустимо, ми маємо спростити ∫uv dx

Крок 1: Виберіть першу та другу функції відповідно до правила ILATE. Припустимо, ми беремо u як першу функцію, а v як другу функцію.

Крок 2: Продиференціювати u(x) по x, тобто Оцініть du/dx.

крок 3: Проінтегруйте v(x) відносно x, тобто Оцініть ∫v dx.

Використовуйте результати, отримані на Кроках 1 і 2, у формулі,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

крок 4: Спростіть наведену вище формулу, щоб отримати необхідну інтеграцію.

Повторна інтеграція по частинах

Повторне інтегрування за частинами є розширенням техніки інтегрування за частинами в численні. Він використовується, коли у вас є добуток функцій, який потребує багаторазового інтегрування, щоб знайти першопохідну. Процес передбачає повторне застосування формули інтегрування за частинами, доки не досягнете точки, де отриманий інтеграл легко обчислити або матиме відому форму.

Застосовуючи цю формулу повторно, ви повинні почати з інтеграла, який містить добуток двох функцій, а потім застосувати інтегрування за частинами, щоб розбити його на простіші інтеграли. Потім ви продовжите цей процес на отриманих інтегралах, доки не досягнете точки, де подальші додатки не потрібні або де інтеграли стануть керованими.

Ось покроковий приклад того, як працює повторна інтеграція за частинами:

1. Почніть з інтеграла від добутку двох функцій: ∫ u dv.
2. Застосуйте формулу інтегрування частинами, щоб отримати: uv – ∫ v du.
3. Якщо новий інтеграл, отриманий у правій частині, все ще містить добуток функцій, знову застосуйте інтегрування за частинами, щоб розбити його далі.
4. Продовжуйте цей процес, доки не отримаєте простіший інтеграл, який можна легко обчислити, або такий, який відповідає відомій формі інтеграла.

Табличне інтегрування за частинами

Табличне інтегрування, також відоме як табличний метод або метод табличного інтегрування, є альтернативною технікою обчислення інтегралів, яка передбачає повторне застосування інтегрування частинами. Цей метод особливо корисний при роботі з інтегралами, де добуток функцій можна багаторазово інтегрувати, щоб отримати простий результат.

Табличний метод організовує повторювану інтеграцію за частинами процесу в таблицю, полегшуючи відстеження термінів і ефективно спрощуючи інтеграл. Ось як працює табличний метод:

1. Почніть із запису функцій, які беруть участь в інтегралі, у два стовпці: один для функції диференціювання (u), а інший для функції інтегрування (dv).
   • Почніть із функції інтегрування (dv) у лівому стовпці та функції диференціювання (u) у правому стовпці.
2. Продовжуйте диференціювати функцію в стовпці u, доки не досягнете нуля або константи. На кожному кроці інтегруйте функцію в стовпець dv, доки не досягнете точки, де подальша інтеграція не потрібна.
3. Помножте доданки по діагоналі та чергуйте знаки (+ і -) для кожного доданка. Підсумуйте ці продукти, щоб знайти результат інтегрування.

Ось приклад для ілюстрації метод табличної інтеграції :

Давайте обчислимо інтеграл ∫x sin(x) dx.

• Крок 1: Створіть таблицю з двома стовпцями для u (функція для розрізнення) та dv (функція для інтеграції):

• Крок 2: Диференціюйте функцію в стовпці u та інтегруйте функцію в стовпці dv:

• крок 3: Помножте доданки по діагоналі та почергуйте знаки:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Отже, результат інтеграла ∫x sin(x) dx є -x cos(x) + sin(x).

Метод табличного інтегрування особливо корисний при роботі з інтегралами, які включають функції, які повторюються при диференціюванні чи інтегруванні, дозволяючи систематичний і організований підхід до пошуку першопохідної.

Застосування інтегрування по частинах

Інтегрування за частинами має різні застосування в інтегральному численні, воно використовується для пошуку інтегрування функції, де звичайні методи інтегрування не дають змоги. Ми можемо легко знайти інтегрування обернених і логарифмічних функцій, використовуючи концепцію інтегрування частинами.

Ми знайдемо інтегрування логарифмічної функції та функції Arctan за допомогою правила інтегрування за частинами,

Інтегрування логарифмічної функції (log x)

Інтегрування оберненої логарифмічної функції (log x) досягається за допомогою формули інтегрування за частинами. Інтеграція обговорюється нижче,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Взяти log x як першу функцію та 1 як другу функцію.

Використовуючи ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Що є необхідним інтегруванням логарифмічної функції.

Інтегрування оберненої тригонометричної функції (тан^-1x)

Інтегрування оберненої тригонометричної функції (тан^-1x) досягається за допомогою формули інтегрування за частинами. Інтеграція обговорюється нижче,

∫ так^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Засмага^-1x як перша функція і 1 як друга функція.

Використовуючи ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫тан^-1x.1.dx = tan^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫тан^-1x.1.dx = tan^-1х. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫тан^-1x.1.dx = x. так^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫тан^-1x.dx = x. так^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Що є необхідним інтегруванням оберненої тригонометричної функції.

Реальні програми часткової інтеграції

Нижче наведено деякі поширені приклади часткової інтеграції в реальному житті:

• Знаходження першопохідних
  • У техніці та фізиці часткове інтегрування використовується для пошуку першопохідних функцій, які представляють фізичні величини. Наприклад, у механіці він використовується для отримання рівнянь руху з рівнянь сили та прискорення.
• Продукт Wallis
  • Добуток Уолліса, нескінченний добуток числа пі, можна отримати за допомогою методів часткового інтегрування. Цей продукт має застосування в таких галузях, як теорія чисел, теорія ймовірностей і обробка сигналів.
• Ідентичність гамма-функції
  • Гамма-функція, яка поширює факторіал на комплексні числа, має різні застосування в математиці, фізиці та техніці. Часткове інтегрування використовується для підтвердження тотожностей, пов’язаних із гамма-функцією, які є вирішальними в таких областях, як теорія ймовірностей, статистична та квантова механіка.
• Використання в гармонічному аналізі
  • Часткове інтегрування відіграє значну роль у гармонічному аналізі, зокрема в аналізі Фур’є. Він використовується для отримання властивостей перетворень Фур’є, таких як теорема про згортку та властивості рядів Фур’є. Ці результати застосовуються в таких сферах, як обробка сигналів, аналіз зображень і телекомунікації.

Інтегрування за формулами частин

Ми можемо вивести інтеграцію різних функцій, використовуючи концепцію інтеграції за частинами. Ось деякі з важливих формул, отриманих за допомогою цієї техніки

• ∫ і^x(f(x) + f'(x)).dx = e^xf(x) + C
• ∫√(x²+ а²).dx = ½ . x.√(x²+ а²)+ а²/2. log|x + √(x²+ а²)| + C
• ∫√(x²– а²).dx =½ . x.√(x²– а²) – а²/2. log|x +√(x²– а²) | C
• ∫√(a²– х²).dx = ½ . x.√(a²– х²) + а²/2. без^-1x/a + C

Приклади інтеграції по частинах

Приклад 1: Знайдіть ∫ e ^x x dx.

рішення:

Нехай I = ∫ e^xx dx

Вибір u і v за допомогою правила ILATE

u = x
v = e^x

Диференціація u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^xdx = e^x

Використовуючи формулу інтегрування за частинами,

⇒ I = ∫ e^xx dx

⇒ I = x ∫e^xdx − ∫1 (∫ e^xdx) dx

⇒ I = xe^x− і^x+ C

⇒ I = e^x(x − 1) + C

Приклад 2: обчисліть ∫ x sin x dx.

рішення:

Нехай I = ∫ x sin x dx

Вибір u і v за допомогою правила ILATE

u = x
v = sin x

Диференціація u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Використовуючи формулу інтегрування за частинами,

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

Приклад 3: Знайти ∫ sin ⁻¹ x dx.

рішення:

Нехай I= ∫ sin⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹x dx

Вибір u і v за допомогою правила ILATE

u = гріх⁻¹x
v = 1

Диференціація u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Використовуючи формулу інтегрування за частинами,

⇒ I = ∫ sin⁻¹x dx

⇒ Я = без⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x sin⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Нехай t = 1 − x²

Розрізняючи обидві сторони

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ sin⁻¹x dx = x sin⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x sin⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x sin⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x sin⁻¹x + √(1 − x²) + C

Тренувальні задачі на інтегрування частинами

1. Інтегрувати xe ^x

2. Інтегрувати x sin(x)

3. Проінтегрувати x ² ln(x)

4. Інтегруйте e ^x cos(x)

5. Інтегруємо ln(x)

Поширені запитання щодо інтеграції за частинами

Що таке інтегрування частинами?

Інтегрування за частинами — це техніка для знаходження інтеграції добутку двох функцій, якщо звичайні методи інтегрування не дають змоги. Інтегрування за формулою частини є,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Що таке формула інтегрування частинами?

Для двох функцій f(x) і g(x) формула інтегрування за частинами:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

зламати java

де f'(x) є диференціюванням f(x).

Як вивести інтегрування за формулою частин?

Інтегрування за формулою частини виводиться за допомогою правила диференціювання добутку.

Чому ми використовуємо формулу інтегрування частинами?

Формула інтегрування за частиною використовується для визначення інтеграції функції, коли звичайні методи диференціювання не дають змоги. Ми можемо знайти інтегрування обернених тригонометричних функцій і логарифмічних функцій за допомогою формули інтегрування за частинами

Яке застосування інтегрування за частинами?

Інтегрування за частинами має різні застосування, і його основне застосування полягає в тому, що воно використовується для пошуку інтегрування функції, коли функція задана як добуток функцій, які не можуть бути спрощені далі. Наприклад, ∫ f(x).g(x) dx досягається за допомогою інтегрування за частинами.