ПРАВИЛО ТРАПЕЦІЇ: ВИЗНАЧЕННЯ, ФОРМУЛА, ПРИКЛАДИ ТА ПОШИРЕНІ ЗАПИТАННЯ

Правило трапеції є одним із фундаментальних правил інтегрування, яке використовується для визначення основного визначення інтеграції. Це широко використовуване правило, а правило трапеції названо так тому, що воно дає площу під кривою шляхом поділу кривої на маленькі трапеції замість прямокутників.

Зазвичай ми знаходимо площу під кривою, розділивши площу на менші прямокутники, а потім знайшовши суму всіх прямокутників, але за правилом трапеції площа під кривою ділиться на трапеції, а потім обчислюється їх сума. Правило трапеції використовується для знаходження значення визначених інтегралів у чисельному аналізі. Це правило також називають правилом трапеції або правилом трапеції. Давайте докладніше дізнаємося про правило трапеції, його формулу та доказ, приклад та інше в цій статті.

відкрити файл за допомогою java

Що таке правило трапеції?

Правило трапеції - це правило, яке використовується для знаходження значення визначеного інтеграла форми^b∫_af(x) dx. Ми знаємо, що значення визначеного інтеграла^b∫_af(x) dx — площа, укладена під кривою y = f(x) і віссю x в інтервалі a і b на осі x. Ми обчислюємо цю площу, розділяючи повну площу на кілька маленьких прямокутників, а потім знаходячи їх суму.

У правилі трапеції, як випливає з назви, площа під кривою ділиться на кілька трапецій, а потім їх сума визначається для отримання площі кривої. Правило трапеції не дає найкращого наближення площі під кривою, ніж правило Сімпсона, але все ж його результат досить точний, і це правило широко використовується в численні.

Формула трапеції

Формула правила трапеції — це формула, яка використовується для визначення площі під кривою. Тепер, щоб знайти площу під кривою за допомогою правила трапеції,

Нехай y = f(x) — неперервна крива, визначена на замкнутому інтервалі [a, b]. Тепер ми розділимо замкнутий інтервал [a, b] на n рівних підінтервалів, кожен з яких має ширину,

Δx = (b – a)/n

Такий як,

a = x₀ ₁ ₂<⋯ < x_п= b

Тепер, використовуючи формулу правила трапеції, ми можемо знайти площу під кривою як:

∫^b_af(x) dx = площа під кривою = (Δx/2) [y₀+ 2 (і₁+ і₂+ і₃+ ….. + і_n-1) + у_п]

де, у₀, і₁, і₂,…. і_пє значеннями функції при x = 1, 2, 3, ….., n відповідно.

Виведення формули правила трапеції

Формула правила трапеції для обчислення площі під кривою виводиться шляхом поділу площі під кривою на кілька трапецій і визначення їх суми.

Заява:

Нехай f(x) — неперервна функція, визначена на інтервалі (a, b). Тепер ми ділимо інтервали (a, b) на n рівних підінтервалів, де ширина кожного інтервалу дорівнює,

Δx = (b – a)/n

такий, що a = x₀ ₁ ₂ ₃<…..< х_п= b

Тоді формула правила трапеції:

∫^b_af(x) dx ≈ △x/2 [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x_п)]

де, х_i= a + i△x

Якщо n → ∞, R.H.S виразу дає визначений інтеграл $int_{a}^{b}f(x) dx$

Доказ:

Ця формула доведена шляхом поділу площі під заданою кривою, як показано на малюнку вище, на різні трапеції. Перша трапеція має висоту Δx, а довжини паралельних основ дорівнюють f(x₀) і f(x₁)

Площа першої трапеції = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x₁)]

Аналогічно, площа решти трапецій дорівнює (1/2)Δx [f(x₁) + f(x₂)], (1/2)Δx [f(x₂) + f(x₃)], і так далі.

Тепер ми можемо сказати, що

∫^b_af(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x₀)+f(x₁) ) + (1/2)Δx (f(x₁)+f(x₂) ) + (1/2)Δx (f(x₂)+f(x₃) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x_п) )

Після спрощення ми отримуємо,

∫^b_af(x) dx≈ (Δx/2) (f(x₀)+2 f(x₁)+2 f(x₂)+2 f(x₃)+ … +2f(x_n-1) + f(x_п))

Таким чином, правило трапеції доведено.

Як застосувати правило трапеції?

Правило трапеції знаходить площу під кривою, розділивши площу під кривою на різні трапеції, а потім знайшов суму всіх трапецій. Правило трапеції не є ідеальним наближенням значення визначеного інтеграла, оскільки воно використовує квадратичне наближення.

Нам потрібно знайти значення визначеного інтеграла ∫^b_af(x) dx. Значення визначеного інтеграла можна обчислити за правилом трапеції, виконавши наведені нижче дії.

Крок 1: Позначте значення підінтервалів n та інтервалів a і b.

Крок 2: Знайдіть ширину підінтервалу (△x) за формулою △x = (b – a)/n

крок 3: Помістіть усі значення у формулу правила трапеції та знайдіть приблизну площу даної кривої, яка представляє певний інтеграл ∫^b_af(x) dx

∫ ^b _a f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _п ))

де, x _i = a + i△x

Позначення підсумовування правила трапеції

Ми знаємо, що площа трапеції – це середнє значення довжин паралельних сторін, помножених на висоту. Отже, у цьому випадку розглянемо трапецію для i^тисінтервал,

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Дельта x$

Оскільки загальна площа є сумою всіх площ,

А = А₁+ А₂+ ….+ А_п

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Дельта x$

Це називається сигма-записом або записом підсумовування сум трапецій.

Ріман Сумс

Ріман підсумовує роботу над ідеєю занурення області під кривою на різні прямокутні частини. Зі збільшенням кількості прямокутників область стає все ближчою до поточної області. На зображенні нижче є функція f(x). Область під цією функцією розділена на багато прямокутників. Загальна площа під кривою є сумою площ усіх прямокутників.

Зверніть увагу, що на наведеному вище малюнку правий кінець прямокутника торкається кривої. Це називається правою сумою Рімана.

В іншому випадку, коли лівий край прямокутників торкається кривої, як показано на зображенні нижче, вони називаються лівими рімановими сумами.

Скажімо, Δx — це ширина інтервалу, ширина n — кількість інтервалів, як зазначено вище. Тоді площа кривої, представленої сумою, визначається як

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

Суми середніх балів

У сумах Рімана або лівий, або правий кінець прямокутника торкається кривої. У цьому випадку середня точка прямокутника торкається кривої. Все інше те саме, що і суми Рімана. На малюнку нижче показано функцію f(x) і різні прямокутники в сумах середніх точок.

Скажімо, А_iпозначає площу i^тиспрямокутник. Площа цього прямокутника в цьому випадку становитиме

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x$

Тепер загальна площа в нотації підсумовування буде подана як

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Дельта x}$

Детальніше,

Формули інтегрування
Інтеграція по частинах
Формула диференціювання та інтегрування

Розв’язаний приклад на трапеції

Приклад 1: Знайдіть площу, обмежену функцією f(x) між x = 0 і x = 4 з 4 інтервалами.

f(x) = 4

рішення:

Тут a = 0, b = 4 і n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iДельта x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Правило трапеції для n = 4 таке:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Підставляючи значення в це рівняння,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16$

Приклад 2: Знайдіть площу, обмежену функцією f(x) між x = 0 і x = 3 з 3 інтервалами.

f(x) = x

рішення:

Тут a = 0, b = 3 і n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iДельта x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Правило трапеції для n = 3 таке:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Підставляючи значення в це рівняння,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Стрілка вправо T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$

Приклад 3: Знайдіть площу, обмежену функцією f(x) між x = 0 і x = 2 з 2 інтервалами.

f(x) = 2x

рішення:

Тут a = 0, b = 2 і n = 2.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iДельта x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Правило трапеції для n = 2 таке:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

Підставляючи значення в це рівняння,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

Приклад 4: Знайдіть площу, обмежену функцією f(x) між x = 0 і x = 3 з 3 інтервалами.

f(x) = x ²

рішення:

Тут a = 0, b = 3 і n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iДельта x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Правило трапеції для n = 3 таке:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Підставляючи значення в це рівняння,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

Приклад 5: Знайдіть площу, обмежену функцією f(x) між x = 0 і x = 4 з 4 інтервалами.

f(x) = x ³ + 1

рішення:

Тут a = 0, b = 4 і n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iДельта x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Правило трапеції для n = 4 таке:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Підставляючи значення в це рівняння,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Rightarrow T_n= 72$

Приклад 6: Знайдіть площу, обмежену функцією f(x) між x = 0 і x = 4 з 4 інтервалами.

f(x) = e ^x

рішення:

Тут a = 0, b = 4 і n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iДельта x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Правило трапеції для n = 4 таке:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$
Харальд Бальдр

Підставляючи значення в це рівняння,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

Застосування правила трапеції

Числове інтегрування:

Основне застосування правила трапеції полягає в апроксимації певних інтегралів. Він використовується, коли інтеграція функції є складною, і чисельний підхід є більш доцільним. Правило трапеції часто є частиною більш просунутих методів чисельного інтегрування.

Фізика та техніка:

У фізиці та техніці правило трапеції можна застосувати для обчислення таких величин, як переміщення, швидкість і прискорення. Наприклад, коли експериментальні дані збираються в дискретних інтервалах часу, правило трапеції можна використовувати для оцінки площі під кривою, що забезпечує наближення інтеграла.

Економіка та фінанси:

Правило трапеції можна застосувати у фінансовому моделюванні для оцінки поточної вартості майбутніх грошових потоків. Це особливо корисно в аналізі дисконтованих грошових потоків (DCF), де метою є обчислення чистої поточної вартості інвестицій.

Статистика:

У статистиці правило трапеції можна використовувати для оцінки площі під функціями щільності ймовірності або кумулятивними функціями розподілу. Це особливо корисно у випадках, коли точна форма розподілу невідома або складна.

Поширені запитання щодо правила трапеції

Q1: Що таке правило трапеції?

відповідь:

Правило трапеції — це правило, яке використовується для знаходження визначеного інтеграла. Воно ділить площу під кривою на кілька трапецій, потім визначається їх окрема площа, а потім обчислюється сума, щоб отримати значення визначеного інтеграла.

Q2: Що таке формула трапеції?

відповідь:

Формула правила трапеції така:

∫ ^b _a f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _п ))

Q3: Чому це називається формулою трапеції?

відповідь:

Формула правила трапеції називається правилом трапеції, оскільки воно ділить площу під кривою на кілька трапецій, а потім їх площа обчислюється шляхом знаходження суми трапецій.

Q4: Яка різниця між правилом трапеції та правилом сум Рімана?

відповідь:

Основна відмінність між правилом трапеції та правилом сум Рімана полягає в тому, що правило трапеції ділить площу під кривою на трапецію, а потім знаходить площу, беручи їх суму, тоді як правило суми Рімана ділить площу під кривою на трапецію та потім знаходить площу, беручи їх суму.