Математична індукція — це поняття в математиці, яке використовується для доведення різних математичних тверджень і теорем. Принцип математичної індукції іноді називають PMI. Це техніка, яка використовується для доведення основних теорем математики, які передбачають розв’язання до n скінченних природних членів.

Принцип математичної індукції широко використовується для доведення різних тверджень, таких як сума першого п натуральні числа задається формулою n(n+1)/2. Це можна легко довести за допомогою принципу математичної індукції.

У цій статті ми детально дізнаємося про принцип математичної індукції, її формулювання, приклад та інші.

Зміст

• Що таке математична індукція?
• Принцип математичної індукції
• Етапи математичної індукції
• Приклад математичної індукції

Що таке математична індукція?

Математична індукція є одним із фундаментальних методів написання доказів і використовується для доведення заданого твердження про будь-яку добре організовану множину. Зазвичай він використовується для доведення результатів або встановлення тверджень, сформульованих у термінах п , де n – натуральне число.

Припустимо, що P(n) є твердженням для натурального числа n, тоді це можна довести за допомогою принципу математичної індукції. Спочатку ми доведемо для P(1), потім нехай P(k) є істинним, а потім доведемо для P(k+1) . Якщо P(k+1) виконується, ми говоримо, що P(n) є істинним за принципом математичної індукції.

Ми можемо порівняти математичну індукцію з падінням кісточок доміно. Коли доміно падає, воно збиває наступну доміно. Перша доміночка збиває другу, друга — третю і так далі. Зрештою, усі кісточки доміно будуть розбиті. Але є деякі умови, які необхідно виконати:

• Основним кроком є ​​те, що стартова доміно має впасти, щоб почати процес стукання.
• Відстань між доміно має бути однаковою для будь-яких двох сусідніх доміно. Інакше певне доміно може впасти, не перебивши наступного. Тоді послідовність реакцій припиниться. Підтримання рівної відстані між доміно гарантує, що P(k) ⇒ P(k + 1) для кожного цілого k ≥ a. Це індуктивний крок.

Принцип математичної індукції

Будь-яке твердження P(n), яке є натуральним числом n, можна довести за допомогою принципу математичної індукції, дотримуючись наведених нижче кроків:

Крок 1: Перевірте, чи справедливе твердження для тривіальних випадків ( n = 1) тобто перевірте, чи P(1) істинне.

Крок 2: Припустимо, що твердження вірне для n = k для деякого k ≥ 1, тобто P(k) вірне.

крок 3: Якщо істинність P(k) означає істинність P(k + 1), то твердження P(n) є істинним для всіх n ≥ 1 .

Зображення, додане нижче, містить усі кроки математичної індукції

Перше твердження є фактом, і якщо неможливо, щоб усі P(n) виконувалися при n = 1, тоді ці твердження вірні для деяких інших значень n, наприклад n = 2, n = 3 та інших.

Якщо твердження вірне для P(k), то якщо доведено, що P(k+1) є істинним, тоді ми говоримо, що P(n) є істинним для всіх n, що належать до натуральних чисел (N)

Етапи математичної індукції

Різні кроки, які використовуються в математичній індукції, називаються відповідно. Назви різних етапів, які використовуються в принципі математичної індукції, такі:

• Базовий крок: Доведіть, що P(k) вірне для k =1
• Крок припущення: Нехай P(k) є істинним для всіх k у N і k> 1
• Крок індукції: Доведіть P(k+1) істинність, використовуючи основні математичні властивості.

Якщо вищезазначені три кроки доведено, тоді можна сказати, що за принципом математичної індукції P(n) є істинним для всіх n, що належать до N.

Приклад математичної індукції

Математична індукція використовується для доведення різних тверджень, про що ми можемо дізнатися за допомогою наступного прикладу.

Для будь-якого натурального числа n доведіть, що n³+ 2n завжди ділиться на 3

рішення:

Нехай P(n): n³+ 2n ділиться на 3 — дане твердження.

Крок 1: Основний крок

Спочатку ми доведемо, що P(1) є істинним. Нехай n = 1 у n³+ 2н
= 1³+ 2(1)
= 3

Оскільки 3 ділиться на 3. Отже, P(1) вірне.

Крок 2: Крок припущення

Припустимо, що P(k) істинне

Тоді, к³+ 2k ділиться на 3

Таким чином, ми можемо записати це як k³+ 2k = 3n, (де n будь-яке натуральне число)….(i)

кориця проти мате

Крок 3: Вступні етапи

Тепер нам потрібно довести, що алгебраїчний вираз (k + 1)³+ 2(k + 1) ділиться на 3

= (k + 1)³+ 2(k + 1)

= k³+ 3 тис²+ 5k + 3

= (k³+ 2 k) + (3k²+ 3k + 3)

з рівняння (i)

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n + k²+ k + 1)

Оскільки воно кратне 3, можна сказати, що воно ділиться на 3.

Таким чином, P(k+1) є істинним, тобто (k + 1)³+ 2(k + 1) ділиться на 3. Тепер за принципом математичної індукції ми можемо сказати, що P(n): n³+ 2n ділиться на 3, вірно.

Детальніше,

• Арифметична прогресія
• Геометрична прогресія

Розв'язані приклади з математичної індукції

Приклад 1: Для всіх n ≥ 1 доведіть, що 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+н ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

рішення:

Нехай задане твердження P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Тепер давайте візьмемо натуральне число k і припустимо, що P(k) є істинним, тобто

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Тепер ми доведемо, що P(k + 1) також вірно, тож тепер ми маємо,

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Таким чином, P(k + 1) є істинним, якщо P(k) є істинним для всіх натуральних чисел. Отже, за допомогою процесу математичної індукції наведений результат справедливий для всіх натуральних чисел.

приклад 2: Для всіх n ≥ 1 доведіть, що 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

рішення:

Нехай задане твердження S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Тепер давайте візьмемо натуральне число k і припустимо, що S(k) є істинним, тобто

mergesort java

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Тепер ми доведемо, що S(k + 1) також вірно, тож тепер ми маємо,

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Таким чином, S(k + 1) є істинним, коли S(k) є істинним для всіх натуральних чисел. І спочатку ми показали, що S(1) істинне, таким чином S(n) істинне для всіх натуральних чисел.

приклад 3: Для всіх n ≥ 1 доведіть, що 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n ²

рішення:

Нехай задане твердження S(n),

і S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

Для n = 1, 2 × 1 – 1 = 1²Таким чином, S(1) є істинним.

Тепер давайте візьмемо натуральне число k і припустимо, що S(k) є істинним, тобто

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Тепер ми доведемо, що S(k + 1) також вірно, тож тепер ми маємо,

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1 ) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

⇒ L.H.S = R.H.S

Таким чином, S(k + 1) є істинним, коли S(k) є істинним для всіх натуральних чисел. І спочатку ми показали, що S(1) істинне, таким чином S(n) істинне для всіх натуральних чисел.

Приклад 4: Для всіх n ≥ 1 доведіть, що 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

рішення:

Нехай задане твердження S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Тепер давайте візьмемо натуральне число k і припустимо, що S(k) є істинним, тобто

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Тепер ми доведемо, що S(k + 1) також вірно, тож тепер ми маємо,

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Таким чином, S(k + 1) є істинним, коли S(k) є істинним для всіх натуральних чисел. І спочатку ми показали, що S(1) істинне, таким чином S(n) істинне для всіх натуральних чисел.

Приклад 5: Доведіть а _п = а ₁ + (n – 1) d, є загальним членом будь-якої арифметичної послідовності.

рішення:

Для n = 1 ми маємо a_п= а₁+ (1 – 1) d = a₁, тому формула справедлива для n = 1,

Припустимо, що формула a_k= а₁+ (k – 1) вірно для всіх натуральних чисел.

Тепер ми доведемо, що формула також справедлива для k+1, тому тепер ми маємо,

a_{k + 1}= а₁+ [(k + 1) – 1] d = a₁+ k · d.

Ми припустили, що a_k= а₁+ (k – 1) d, а за означенням арифметичної послідовності a_{k+ 1}– а_k= d,

Потім, а_{k + 1}– а_k

= (а₁+ k · d) - (a1 + (k - 1) d)
= а₁– а₁+ kd – kd + d
= d

Таким чином, формула справедлива для k + 1, якщо вона справедлива для k. І ми спочатку показали, що формула справедлива для n = 1. Таким чином, формула справедлива для всіх натуральних чисел.

Поширені запитання щодо математичної індукції

Що таке принцип математичної індукції?

Принцип математичної індукції — це принцип, який говорить, що для будь-якого твердження P(n), якщо воно істинне для будь-якого довільного значення 'a', якщо P(a) є істинним, і якщо ми вважаємо P(k) істинним, то, довівши P( k+1), ми можемо довести, що P(n) є істинним для всіх n ≥ a та n, що належить до натуральних чисел.

Яке застосування математичної індукції?

Математична індукція — це основний принцип, який використовується в математиці для доведення основних математичних тверджень, які неможливо легко довести іншими засобами.

Що таке принцип математичної індукції в матрицях?

Принцип математичної індукції в матрицях — це основний принцип, який використовується для доведення основних тверджень у матрицях, які нелегко довести іншими засобами.

Як застосувати принцип математичної індукції?

Принцип математичної індукції використовується для підтвердження математичних тверджень. Припустимо, ми повинні довести твердження P(n), тоді застосовані кроки:

Крок 1: Доведіть, що P(k) вірне для k =1

Крок 2: Нехай P(k) є істинним для всіх k у N і k> 1

крок 3: Доведіть P(k+1) істинність, використовуючи основні математичні властивості.

Таким чином, якщо P(k+1) істинне, ми говоримо, що P(n) істинне.

Які кроки потрібно виконати, щоб розв’язати задачу за допомогою математичної індукції?

У математичній індукції використовуються три основні кроки

• Базовий крок
• Успенський крок
• Крок індукції