Арифметична прогресія, також відома як A.P., — це послідовність у математиці, де різниця між двома послідовними членами є константою. Константа відома як загальна різниця. Арифметична прогресія - це послідовність чисел по порядку, в якій різниця між будь-якими двома послідовними числами є постійною величиною.

У цій статті ми детально дізнаємось про визначення арифметичної прогресії, формули арифметичної прогресії, відповідні приклади та інші.

конкатенація рядків

Зміст

• Що таке арифметична прогресія?
• Позначення в арифметичній прогресії
• Загальна різниця арифметичної прогресії
• Перший член арифметичної прогресії
• N-й член арифметичної прогресії
• Сума арифметичної прогресії
• Формула арифметичної прогресії (формули AP)

Що таке арифметична прогресія?

Арифметична прогресія (AP) це послідовність чисел, у якій різниця між двома послідовними числами є постійною величиною. Іншими словами, арифметичну прогресію можна визначити як Математична послідовність, у якій різниця між двома послідовними членами завжди є константою.

Наприклад, ряди чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6,… знаходяться в арифметичній прогресії, у якій спільна різниця (d) між двома послідовними членами (скажімо, 1 і 2) дорівнює 1 (2 – 1). Можна помітити загальну різницю між двома послідовними членами, навіть для непарних чисел і парних чисел, яким дорівнює 2. У AP три основні терміни: загальна відмінність (d), n-й термін (a_п), і сума перших n доданків (S_п); усі три терміни представляють властивості AP. Давайте детально розглянемо, в чому полягає загальна відмінність,

Ми зустрічаємо різні слова, такі як послідовність, серія та прогресія в AP; тепер давайте подивимося, що означає кожне слово,

• Послідовність це скінченний або нескінченний список чисел, який відповідає певній моделі. Наприклад, 0, 1, 2, 3, 4, 5… — це послідовність, яка є нескінченною послідовністю цілих чисел.

• Серія є сумою елементів, яким відповідає послідовність. Наприклад, 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. це ряд натуральних чисел. Кожне число в послідовності або ряді називається терміном. Тут 1 — термін, 2 — термін, 3 — термін тощо.

• Прогресія це послідовність, у якій загальний термін можна виразити за допомогою математичної формули, або послідовність, яка використовує математичну формулу, яку можна визначити як прогресію.

Примітка: В основному існує три види прогресування:

1. Арифметична прогресія (AP)
2. Геометрична прогресія (GP)
3. Гармонічна прогресія (HP)

Позначення в арифметичній прогресії

В арифметичній прогресії ми зустрінемо такі позначення:

• Перший семестр ⇢ a
• Загальна відмінність ⇢ d
• N-й термін ⇢ a _п
• Сума перших n членів ⇢ С _п

Загальною формою арифметичної прогресії є a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Ось кілька прикладів AP:

• 6, 13, 20, 27, 34, 41,…
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Загальна різниця арифметичної прогресії

Загальна відмінність позначається d в арифметичній прогресії. Це різниця між наступним терміном і попереднім. Для арифметичної прогресії він завжди постійний або однаковий. Одним словом, якщо загальна різниця постійна в певній послідовності, ми можемо сказати, що це A.P. Якщо послідовність є_1,a₂, а₃, а₄, і так далі.

Іншими словами, загальну різницю в арифметичній прогресії позначають d. Різниця між наступним терміном і його попереднім терміном. Він завжди постійний або однаковий для арифметичної прогресії. Іншими словами, ми можемо сказати, що в даній послідовності, якщо спільна різниця постійна або однакова, тоді ми можемо сказати, що дана послідовність знаходиться в Арифметична прогресія (АП).

Формула для знаходження спільної різниці така:

d = (а _{n + 1} – а _п ) = (а _п – а _n-1 )

• Якщо загальна різниця позитивна, то АТ підвищується . Наприклад, 4, 8, 12, 16… у цих серіях AP збільшується

• Якщо загальна різниця від’ємна, то АТ знижується . Наприклад -4, -6, -8…, тут AP зменшується.

• Якщо спільна різниця дорівнює нулю, то AP буде постійним . Наприклад, 1, 2, 3, 4, 5…, тут AP постійний.

Послідовність арифметичної прогресії буде подібна до a ₁ , а ₂ , а ₃ , а ₄ ,…

Загальна різниця (d) = a ₂ – а ₁ = d

a ₃ – а ₂ = d

a ₄ – а ₃ = d і так далі.

Перший член арифметичної прогресії

Арифметичну прогресію можна записати через загальну різницю (d) як:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

де,

• a — перший член AP
• d – загальна відмінність AP

N-й член арифметичної прогресії

n-й член можна знайти за допомогою наведеної нижче формули,

Т _п = a + (n − 1)d

де,

життєвий цикл sdlc

• a — перший член AP
• d – загальна різниця
• n – кількість термінів
• Т_пє n-м доданком

N-й член арифметичної прогресії

Примітка: Поведінка арифметичної послідовності базується на значенні загальної різниці.

• Якщо d додатне, члени збільшаться до позитивної нескінченності.
• Якщо d від’ємне, члени членів збільшуються до від’ємної нескінченності

Сума арифметичної прогресії

Формула суми арифметичної прогресії пояснюється нижче; розглянемо AP, що складається з n термів.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Сума арифметичної прогресії, коли задано перший і останній член,

S = n/2 (перший член AP + останній член AP)

S = N/2[a+ a _п ]

Формула арифметичної прогресії (формули AP)

Для AP з першим членом «a» і загальною різницею «d» його різні формули:

• Загальна відмінність AP: d = a ₂ – а ₁ = а ₃ – а ₂ = а ₄ – а ₃ = … = а _п – а _n-1

• n-й термін АП: a _п = a + (n – 1)d

• Сума n членів AP: С _п = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , де l – останній член арифметичної прогресії.

Короткий зміст арифметичної прогресії

• Арифметична прогресія (AP) — це послідовність чисел, у якій різниця між будь-якими двома послідовними числами є постійною величиною. Наприклад, ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

• Загальна форма арифметичної прогресії: a, a + d, a + 2d, a + 3d …

• Формула для n-го члена арифметичної прогресії a _п = a + (n – 1)d

• Сума перших n членів або формула арифметичної суми С _п = n/2[2a + (n – 1) d] , С _п = n/2[a + a _п ]

Стаття, пов'язана з арифметичною прогресією:

• Формула підсумовування
• Сума натуральних чисел
• Арифметична прогресія та геометрична прогресія

Приклади арифметичної прогресії

Приклад 1: Знайдіть AP, якщо перший член дорівнює 15, а загальна різниця дорівнює 4.

рішення:

Як ми знаємо,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Тут a = 15 і d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, …і так далі.

Отже, AP є 15, 19, 23, 27, 31…

Приклад 2: Знайти 20-й член для заданого AP: 3, 5, 7, 9, …

рішення:

Дано, 3, 5, 7, 9, 11……

мін макс

тут,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

a_п= a + (n − 1)d

a_{двадцять}= 3 + (20− 1)2

a_{двадцять}= 3 + 38

a_{двадцять}= 41

Тут 20-й термін - це a_{двадцять}= 41

Приклад 3: Знайдіть суму перших 20 кратних 5.

рішення:

Перші 20 кратних 5 дорівнюють 5, 10, 15, … 100.

Тут зрозуміло, що утворена послідовність є арифметичною послідовністю, де

a = 5, d = 5, a_п= 100, n = 20.

С_п= n/2 [2a + (n − 1) d]

С_п= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

С_п= 10 [10 + 95]

С_п= 1050

Практичні запитання з арифметичної прогресії

Q1. Сума перших nn членів арифметичної прогресії задана S _п = 3n ² + 2н. Знайдіть спільну різницю і перший доданок.

заблокувати рекламу на youtube android

Q2. Перший член арифметичної прогресії дорівнює 7, а 11-й — 31. Знайдіть суму перших 11 доданків.

Q3. В арифметичній прогресії сума перших 10 доданків дорівнює 150, а сума наступних 10 доданків дорівнює 550. Знайдіть перший доданок і спільну різницю.

Q4. Якщо 4-й член арифметичної прогресії дорівнює 10, а 9-й дорівнює 25, знайдіть 15-й член.

Q5. Загальна різниця арифметичної прогресії дорівнює 5. Якщо 6-й доданок дорівнює 22, знайдіть перший доданок і суму перших 12 доданків.

Поширені запитання про арифметичну прогресію

Що таке арифметична прогресія з прикладом?

Арифметична прогресія — це послідовність чисел, у якій два послідовні члени мають спільну різницю. Наприклад: 3, 6, 9, 12, 15,…

Як знайти суму арифметичної прогресії?

Щоб знайти суму арифметичної прогресії, можна використати наступні формули на основі наданої інформації:

S = n/2 (перший член AP + останній член AP) = n/2[a+ a _п ]

Яка різниця між арифметичною прогресією та арифметичним рядом?

Арифметична прогресія — це кількість послідовностей у будь-якому діапазоні, яка забезпечує загальну різницю. Тоді як арифметичний ряд/послідовність є сумою всіх членів, присутніх в арифметичній прогресії.

Яка формула для AP і GP?

Формули для AP і GP:

• AP: a _п = a + (n – 1).d
• лікар загальної практики: a _п = a.r

Що таке використання арифметичної прогресії?

Арифметична прогресія - це ряд, який дає спільну різницю між двома послідовними членами. Він використовується в повсякденному житті для узагальнення набору шаблонів. Наприклад, чекаючи на автобус, припустимо, що автобуси рухаються з постійною швидкістю, за допомогою AP ви можете визначити, коли прибуде автобус. AP також можна використовувати для створення пірамідоподібних структур тощо.