У математиці підсумовування - це основне додавання послідовності будь-яких чисел, які називаються доданками або доданками; результатом є їх сума або підсумок. У математиці числа, функції, вектори, матриці, поліноми та, загалом, елементи будь-якого математичного об’єкта можуть бути пов’язані з операцією, яка називається додаванням/підсумовуванням і позначається як +.

Підсумовування явної послідовності позначається як послідовність додавання. Наприклад, підсумовування (1, 3, 4, 7) можна позначити як 1 + 3 + 4 + 7, а результат для наведеного вище позначення дорівнює 15, тобто 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Оскільки операція додавання є асоціативною та комутативною, немає потреби в дужках під час перерахування ряду/послідовності, і результат буде однаковим незалежно від порядку доданків.

рядок довжини

Зміст

• Що таке формула підсумовування?
• Де використовувати формулу підсумовування?
• Властивості сумації
• Стандартні формули підсумовування
• Приклад формули підсумовування
• Поширені запитання щодо формули підсумовування

Що таке формула підсумовування?

Підсумовування або сигма (∑) запис — це метод, який використовується для стислого запису довгої суми. Це позначення можна приєднати до будь-якої формули чи функції.

Наприклад, _i=1 ∑ ¹⁰(i) є сигма-нотацією додавання кінцевої послідовності 1 + 2 + 3 + 4…… + 10, де перший елемент дорівнює 1, а останній – 10.

Формули підсумовування

Де використовувати формулу підсумовування?

Сумаційний запис можна використовувати в різних областях математики:

• Послідовність в серії
• Інтеграція
• Ймовірність
• Перестановка та комбінування
• Статистика

Примітка: Підсумовування — це коротка форма повторюваного додавання. Ми також можемо замінити підсумовування циклом додавання.

Властивості сумації

Властивість 1

_i=1 ∑ ^пc = c + c + c + …. + c (n) разів = nc

Наприклад: Знайдіть значення_i=1 ∑ ⁴в.

Використовуючи властивість 1, ми можемо безпосередньо обчислити значення_i=1 ∑ ⁴c як 4×c = 4c.

Властивість 2

_c=1 ∑ ^пkc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) разів = k × (1 + … + n) = k_c=1 ∑ ^пв

Наприклад: Знайдіть значення_i=1 ∑ ⁴5і.

Використовуючи властивості 2 і 1, ми можемо безпосередньо обчислити значення_{i= 1} ∑ ⁴5i як 5 ×_i=1 ∑ ⁴i = 5 × (1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Властивість 3

_c=1 ∑ ^п(k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) разів = (n × k) + (1 + … + n) = nk +_c=1 ∑ ^пв

Наприклад: Знайдіть значення_i=1∑⁴(5+і).

Використовуючи властивості 2 і 3, ми можемо безпосередньо обчислити значення_i=1 ∑ ⁴(5+i) як 5×4 +_i=1 ∑ ⁴i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Властивість 4

_k=1 ∑ ^п(f(k) + g(k)) =_k=1 ∑ ^пf(k) +_k=1 ∑ ^пg(k)

Наприклад: Знайти значення_i=1∑⁴(я + я²).

Використовуючи властивість 4, ми можемо безпосередньо обчислити значення_i=1 ∑ ⁴(я + я²) як_i=1 ∑ ⁴я +_i=1 ∑ ⁴i²= (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Стандартні формули підсумовування

Різні формули підсумовування:

Сума перших n натуральних чисел: (1+2+3+…+n) =_i=1 ∑ ^п(i) = [n × (n +1)]/2

Сума квадратів перших n натуральних чисел: (1²+2²+3²+…+н²) =_i=1 ∑ ^п(я²) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6

Сума кубів перших n натуральних чисел: (1³+2³+3³+…+н³) =_i=1 ∑ ^п(я³) = [н²×(n +1)²)]/4

Сума перших n парних натуральних чисел: (2+4+…+2n) =_i=1 ∑ ^п(2i) = [n × (n +1)]

Сума перших n непарних натуральних чисел: (1+3+…+2n-1) =_i=1 ∑ ^п(2i-1) = n²

Сума квадратів перших n парних натуральних чисел: (2²+4²+…+(2n)²) =_i=1 ∑ ^п(2i)²= [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Сума квадратів перших n непарних натуральних чисел: (1²+3²+…+(2n-1)²) =_i=1 ∑ ^п(2i-1)²= [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Сума куба перших n парних натуральних чисел: (2³+4³+…+(2n)3) =_i=1 ∑ ^п(2i)³= 2[n(n+1)]²

Сума куба перших n непарних натуральних чисел: (1³+3³+…+(2n-1)³) =_i=1 ∑ ^п(2i-1)³= n²(2н²- 1)

Схожі статті:

mylivecricket

• Сума натуральних чисел
• Сума в математиці
• Арифметичні операції
• Арифметична прогресія та геометрична прогресія

Приклад формули підсумовування

Приклад 1: Знайдіть суму перших 10 натуральних чисел, використовуючи формулу підсумовування.

рішення:

Використання формули підсумовування суми n натурального числа_i=1∑^п(i) = [n × (n +1)]/2

Маємо суму перших 10 натуральних чисел =_i=1∑¹⁰(i) = [10 × (10 +1)]/2 = 55

Приклад 2: Знайдіть суму 10 перших натуральних чисел, більших за 5, використовуючи формулу підсумовування.

як вийти з циклу while java

рішення:

Відповідно до запитання:

Сума 10 перших натуральних чисел, більших за 5 =_i=6∑^{п'ятнадцять}(і)

=_i=1∑^{п'ятнадцять}(i) –_i=1∑⁵(і)

= [15 × 16] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Приклад 3: Знайдіть суму заданої кінцевої послідовності 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² .

рішення:

Дана послідовність дорівнює 1²+ 2²+ 3²+…8², це можна записати як_i=1∑⁸i²використовуючи властивість/ формулу підсумовування

_i=1∑⁸i²= [8 × (8 +1) × (2 × 8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Приклад 4: Спрощення _c=1 ∑ ^п kc.

рішення:

Дана формула підсумовування =_c=1∑^пkc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n термінів)

= k (1+2+3+…..+n)

_c=1∑^пkc = k _c=1 ∑ ^п в

Приклад 5: спростіть і обчисліть x ₌₁ ∑ ^п (4+x).

рішення:

масив рядків у c

Дане підсумовування є_х=1∑^п(4+x)

Як ми це знаємо_c=1∑^п(k+c) = nk +_c=1∑^пв

Дане підсумовування можна спростити так:

4n + _х=1 ∑ ^п (x)

Приклад 6: Спрощення _х=1 ∑ ^п (2x+x ² ).

рішення:

Дане підсумовування є_х=1∑^п(2x+x²).

як ми це знаємо_k=1∑^п(f(k) + g(k)) =_k=1∑^пf(k) +_k=1∑^пg(k)

дане підсумовування можна спростити як _х=1 ∑ ^п (2x) + _х=1 ∑ ^п (х ² ).

svm

Поширені запитання щодо формули підсумовування

Що таке формула підсумовування натуральних чисел?

Сума натуральних чисел від 1 до n обчислюється за формулою n (n + 1) / 2. Наприклад, сума перших 100 натуральних чисел дорівнює 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Що таке загальна формула підсумовування?

Загальна формула підсумовування, яка використовується для знаходження суми послідовності {a₁, а₂, а₃,…,а_п} це, ∑a _i = а ₁ + а ₂ + а ₃ + … + а _п

Як ви використовуєте ∑?

∑ є символом підсумовування і використовується для знаходження суми рядів.

Що таке формула підсумовування n?

Формула суми n натуральних чисел є, Сума n чисел формула є [n(n+1)2]