А Гіпербола являє собою плавну криву на площині з двома відгалуженнями, які дзеркально відображають одна одну, нагадуючи дві нескінченні луки. Це конічний переріз, утворений перетином прямого кругового конуса площиною під таким кутом, що обидві половини конуса перетинаються.

Давайте докладніше дізнаємося про гіперболу, включаючи її рівняння, формули, властивості, графіки та похідну.

Гіпербола

Зміст

• Що таке гіпербола?
• Визначення гіперболи
• Рівняння гіперболи
• Частини гіперболи
• Ексцентриситет гіперболи
• Стандартне рівняння гіперболи
• Права сторона гіперболи
• Виведення рівняння гіперболи
• Формула гіперболи
• Графік гіперболи
• Спряжена гіпербола
• Властивості гіперболи
• Допоміжні кола гіперболи
• Прямокутна гіпербола
• Параметричне зображення гіперболи
• Гіпербола 11 клас
• Розв'язані приклади на гіперболу
• Тренувальні задачі на гіперболу

Що таке гіпербола?

Гіпербола — геометричне місце точок, різниця відстаней від двох фокусів яких є фіксованою величиною. Ця різниця виходить шляхом віднімання відстані ближчого фокусу від відстані дальшого фокусу.

Якщо P (x, y) — точка на гіперболі, а F, F’ — два фокуси, то геометричне місце гіперболи дорівнює

PF – PF' = 2a

Примітка: Зверніться до діаграми, доданої до похідного зображення.

Визначення гіперболи

В аналітичній геометрії гіпербола — це тип конічного перерізу, який утворюється, коли площина перетинає обидві половини подвійного прямого кругового конуса під кутом. Це перетин призводить до двох окремих необмежених кривих, які є дзеркальним відображенням одна одної, утворюючи гіперболу.

Рівняння гіперболи

Рівняння гіперболи в її стандартній формі залежить від її орієнтації та того, чи знаходиться вона в центрі в початку координат або в іншій точці. Ось дві основні форми гіпербол із центром у початку координат, одна відкривається горизонтально, а інша відкривається вертикально:

x ² /a ² - і ² /б ² = 1

Це рівняння являє собою гіперболу, яка відкривається ліворуч і праворуч. Точки (±a,0) є вершинами гіперболи, розташованими на осі х.

Частини гіперболи

Гіпербола — це конічний переріз, який утворюється, коли площина перетинає подвійний правильний круговий конус під таким кутом, що обидві половини конуса з’єднуються. Його можна описати за допомогою таких понять, як фокус, директриса, широта прямої кишки та ексцентриситет.

Ексцентриситет гіперболи

Ексцентриситет гіперболи - це відношення відстані точки від фокуса до її перпендикулярної відстані від директриси. Позначається буквою « Це є '.

• Ексцентриситет гіперболи завжди більше 1, тобто e>1.
• Ми можемо легко знайти ексцентриситет гіперболи за формулою:

e = √[1 + (b ² /a ² )]

де,

• a це довжина великої півосі
• b це довжина малої півосі

Детальніше: Ексцентриситет

Стандартне рівняння гіперболи

Стандартні рівняння гіперболи:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

АБО

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Гіпербола має два стандартних рівняння. Ці рівняння гіперболи базуються на її поперечній осі та спряженій осі.

перетворити int на рядок c++

• Стандартне рівняння гіперболи [(x²/a²) - (і²/б²)] = 1, де вісь X є поперечною віссю, а вісь Y є сполученою віссю.
• Крім того, іншим стандартним рівнянням гіперболи є [(y²/a²)-(x²/б²)] = 1, де вісь Y є поперечною віссю, а вісь X є сполученою віссю.
• Стандартне рівняння гіперболи з центром (h, k) і віссю X як поперечною віссю та віссю Y як сполученою віссю:

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Крім того, інше стандартне рівняння гіперболи з центром (h, k) і віссю Y як поперечною віссю та віссю X як сполученою віссю:

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Права сторона гіперболи

Latus rectum гіперболи — пряма, що проходить через будь-який з фокусів гіперболи і перпендикулярна до поперечної осі гіперболи. Кінцеві точки прямої кишки лежать на гіперболі, а її довжина дорівнює 2b²/a.

Виведення рівняння гіперболи

Розглянемо точку P на гіперболі, координати якої дорівнюють (x, y). З визначення гіперболи ми знаємо, що різниця між відстанню точки P від ​​двох фокусів F і F’ дорівнює 2a, тобто PF’-PF = 2a.

Нехай координати фокусів F (c, o) і F ‘(-c, 0).

Тепер, використовуючи формулу координатної відстані, ми можемо знайти відстань точки P (x, y) до фокусів F (c, 0) і F ‘(-c, 0).

√[(x + c)²+ (і – 0)²] – √[(x – c)²+ (і – 0)²] = 2а

⇒ √[(x + c)²+ і²] = 2a + √[(x – c)²+ і²]

Тепер, зводячи обидві сторони в квадрат, ми отримуємо

(x + c)²+ і²= 4а²+ (x – c)²+ і²+ 4a√[(x – c)²+ і²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ і²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ і²]

Тепер, зводячи обидві сторони в квадрат і спрощуючи, ми отримуємо

[(x²/a²) - (і²/(c²– а²))] = 1

Маємо, в²= а²+ б², тож підставляючи це у наведене вище рівняння, ми отримуємо

x²/a²- і²/б²= 1

Звідси виведено стандартне рівняння гіперболи.

Подібним чином ми можемо вивести стандартні рівняння іншої гіперболи, тобто [y²/a²– х²/б²] = 1

Формула гіперболи

Наступні формули гіперболи широко використовуються для визначення різних параметрів гіперболи, які включають рівняння гіперболи, велику та малу вісь, ексцентриситет, асимптоти, вершину, фокуси та напівшироту пряму кишку.

Де,

• ( х₀, і₀​) є центральною точкою
• a є великою піввісью
• b є малою піввісью.

Графік гіперболи

Гіпербола - це крива, яка складається з двох необмежених кривих, які є дзеркальним відображенням одна одної. Графік гіперболи показує цю криву в 2-D площині. Ми можемо спостерігати різні частини гіперболи на графіках гіпербол для стандартних рівнянь, наведених нижче:

Рівняння гіперболи	Графік гіперболи	Параметри гіперболи
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Координати центру: (0, 0) Координати вершини: (a, 0) і (-a, 0) Координати фокусів: (c, 0) і (-c, 0) Довжина поперечної осі = 2а Довжина спряженої осі = 2b Довжина latus rectum = 2b2/a Рівняння асимптот: y = (b/a) x і y = -(b/a) x Ексцентриситет (e) = √[1 + (b2/a2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Координати центру: (0, 0) Координати вершини: (0, a) і (0, -a) Координати фокусів: (0, c) і (0, -c) Довжина поперечної осі = 2b Довжина спряженої осі = 2а Довжина latus rectum = 2b2/a Рівняння асимптот: y = (a/b) x і y = -(a/b) x Ексцентриситет (e) = √[1 + (b2/a2)]

Спряжена гіпербола

Спряжена гіпербола — це 2 такі гіперболи, що поперечна та спряжена осі однієї гіперболи є спряженою та поперечною віссю іншої гіперболи відповідно.

Сполучена гіпербола (x²/ а²) - (і²/б²) = 1 є,

(х ² / а ² ) - (і ² / б ² ) = 1

Де,

• a велика напіввісь
• b є малою піввісью
• Це є є ексцентриситетом параболи
• a ² = b ² (Це є ² − 1)

Властивості гіперболи

• Якщо ексцентриситети гіперболи та її спряженого дорівнюють e₁і e₂потім,

(1 і ₁ ² ) + (1 / e ₂ ² ) = 1

• Фокуси гіперболи та її спряженого є конциклічними і утворюють вершини квадрата.
• Гіперболи рівні, якщо вони мають однакову широту прямої кишки.

Допоміжні кола гіперболи

Допоміжне коло — це коло, накреслене з центром С і діаметром як поперечна вісь гіперболи. Допоміжним колом рівняння гіперболи є

x ² + і ² = а ²

Прямокутна гіпербола

Гіпербола з поперечною віссю з 2а одиниць і сполученою віссю з 2b одиниць однакової довжини називається прямокутною гіперболою. тобто в прямокутній гіперболі,

2а = 2б

⇒ a = b

Рівняння прямокутної гіперболи задається таким чином:

x ² - і ² = а ²

Примітка: Ексцентриситет прямокутної гіперболи дорівнює √2.

Параметричне представлення гіперболи

Параметричним зображенням допоміжних кіл гіперболи є:

x = a sec θ, y = b tan θ

Люди також читають

• Конічний переріз
• Парабола
• Коло
• Еліпс

Гіпербола 11 клас

В 11 класі математики вивчення гіпербол є частиною конічних перерізів в аналітичній геометрії. Розуміння гіпербол на цьому рівні передбачає вивчення їх визначення, стандартних рівнянь, властивостей і різних елементів, пов’язаних з ними.

Навчальна програма 11 класу зазвичай включає виведення цих рівнянь і властивостей, малювання гіпербол на основі заданих рівнянь і розв’язування задач, пов’язаних з елементами та положеннями гіпербол. Володіння цими концепціями забезпечує міцну основу аналітики геометрія , що готує учнів до подальшого вивчення математики та суміжних галузей.

Підсумок – Гіпербола

Гіпербола — це тип конічного перерізу, який утворюється, коли площина перетинає конус під таким кутом, що утворюються дві окремі криві. Гіпербола, яка характеризується своєю дзеркальною симетрією, складається з двох роз'єднаних гілок, кожна з яких вигинається від іншої. Її можна визначити математично в координатній площині за допомогою стандартного рівняння, яке змінюється залежно від її орієнтації — горизонтальної чи вертикальної — і від того, чи знаходиться її центр у початку координат або в іншій точці.

Стандартні форми є x ² /a ² - і ² /б ² = 1 для гіперболи, що відкривається горизонтально і і ² /a ² – х ² /б ² = 1 для одного вертикального отвору, з варіаціями для розміщення центру, переміщеного до (h,k). Ключові особливості гіпербол включають вершини, найближчі точки на кожній гілці до центру; фокуси, точки, відстані від яких до будь-якої точки на гіперболі мають постійну різницю; і асимптоти, лінії, до яких гілки наближаються, але ніколи не торкаються.

Властивості гіпербол роблять їх важливими в різних областях, включаючи астрономію, фізику та техніку, для моделювання та аналізу гіперболічних траєкторій і поведінки.

Розв'язані приклади на гіперболу

Питання 1: Визначити ексцентриситет гіперболи х ² /64 – і ² /36 = 1.

рішення:

Рівняння гіперболи дорівнює x²/64 – і²/36 = 0

Порівнюючи задане рівняння зі стандартним рівнянням гіперболи x²/a²- і²/б²= 1, отримуємо

a²= 64, б²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Ми маємо,

Ексцентриситет гіперболи (e) = √(1 + b²/a²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Отже, ексцентриситет заданої гіперболи дорівнює 1,25.

Запитання 2: Якщо рівняння гіперболи [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, знайдіть довжину великої осі, малої осі та latus rectum.

рішення:

Рівняння гіперболи [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Порівнюючи дане рівняння зі стандартним рівнянням гіперболи, (x – h)²/a²– (і – k)²/б²= 1

Тут x = 4 — велика вісь, а y = 3 — мала вісь.

a²= 25 а = 5

b²= 9 b = 3

Довжина великої осі = 2a = 2 × (5) = 10 одиниць

Довжина малої осі = 2b = 2 × (3) = 6 одиниць

Довжина latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 одиниць

Запитання 3: Знайдіть вершину, асимптотику, велику вісь, малу вісь і директрису, якщо рівняння гіперболи [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

рішення:

Рівняння гіперболи [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Порівнюючи дане рівняння зі стандартним рівнянням гіперболи, (x – h)²/a²– (і – k)²/б²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Вершина гіперболи: (h + a, k) і (h – a, k) = (13, 2) і (-1, 2)

Велика вісь гіперболи x = h x = 6

Малою віссю гіперболи є y = k y = 2

Рівняння асимптоти гіперболи складаються

y = k − (b / a)x + (b / a)h і y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 і y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 і y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x і y = -1,43 + 0,57x

Рівняння директриси гіперболи x = ± a²/√(a²+ б²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Запитання 4: Знайдіть ексцентриситет гіперболи, широта прямої кишки якої становить половину її сполученої осі.

рішення:

Довжина latus rectum становить половину її сполученої осі

Нехай рівняння гіперболи буде [(x²/ а²) - (і²/ б²)] = 1

Спряжена вісь = 2b

Довжина Latus rectum = (2b²/ а)

З наведених даних (2b²/ а) = (1/2) × 2b

2b = а

Ми маємо,

Ексцентриситет гіперболи (e) = √[1 + (b²/a²)]

Тепер підставте a = 2b у формулу ексцентриситету

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Отже, необхідний ексцентриситет дорівнює √5/2.

Тренувальні задачі на гіперболу

P1. Знайдіть стандартне рівняння гіперболи з вершинами (-3, 2) і (1, 2) і фокусною відстанню 5.

P2. Визначте центр, вершини та фокуси гіперболи за допомогою рівняння 9x ² – 4р ² = 36.

P3. Дано гіперболу з рівнянням (x – 2) ² /16 – (і + 1) ² /9 = 1, знайти координати його центра, вершин і фокусів.

P4. Напишіть рівняння гіперболи з горизонтальною великою віссю, центром (0, 0), вершиною (5, 0) і фокусом (3, 0).

Гіпербола – поширені запитання

Що таке гіпербола в математиці?

Геометричне місце точки на площині таке, що відношення її відстані від фіксованої точки до відстані від фіксованої прямої є сталою, більшою за 1, називається гіперболою.

Що таке стандартне рівняння гіперболи?

Стандартне рівняння гіперболи

(х ² /a ² ) - (і ² /б ² ) = 1

Що таке ексцентриситет гіперболи?

Ексцентриситет гіперболи - це відношення відстані точки від фокуса до її перпендикулярної відстані від директриси. Для гіперболи ексцентриситет завжди більше 1.

Що таке формула ексцентриситету гіперболи?

Формула для ексцентриситету гіперболи e = √(1 + (b ² /a ² ))

Що за Вогнища гіперболи?

Гіпербола має два фокуси. Для гіперболи (x²/a²) - (і²/б²) = 1, фокуси задані (ae, 0) і (-ae, 0)

Що таке поперечна вісь гіперболи?

Для гіперболи (х²/a²) - (і²/б²) = 1, поперечна вісь вздовж осі х. Його довжина визначається як 2а. Пряма, що проходить через центр і фокуси гіперболи, називається поперечною віссю гіперболи.

Що таке асимптоти гіперболи?

Прямі, паралельні гіперболі, які перетинаються з гіперболою на нескінченності, називаються асимптотами гіперболи.

Скільки асимптот має гіпербола?

Гіпербола має 2 асимптоти. Асимптота — це лінія, дотична до гіперболи, яка перетинає гіперболу на нескінченності.

Для чого використовується гіпербола?

Гіперболи знаходять застосування в різних галузях, таких як астрономія, фізика, техніка та економіка. Вони використовуються в супутникових траєкторіях, шаблонах радіопередач, артилерійському націлюванні, фінансовому моделюванні та небесній механіці, серед інших областей.

Яка різниця між параболою та гіперболою в стандартній формі?

У стандартній формі рівняння параболи містить доданки, зведені до степенів 1 і 2, тоді як рівняння гіперболи включає доданки, зведені до степенів 2 і -2. Крім того, парабола характеризується однією точкою фокусування, тоді як гіпербола має дві.

Що таке основне рівняння графіка гіперболи?

Основне рівняння графіка гіперболи:

що таке модуль у c++

(x – h)²/ а²– (і – k)²/ б²= 1

Або

(і – k)²/ б²– (x -h)²/ а²= 1

Які бувають види гіперболи?

Залежно від орієнтації гіперболи можна класифікувати на три типи: горизонтальні, вертикальні та косі гіперболи.

Як визначити рівняння гіперболи?

Рівняння гіперболи зазвичай включає члени з обома x і і змінних, з різницею між квадратами x і і коефіцієнти, а коефіцієнти цих доданків додатні та від’ємні відповідно.

Що таке формула B у гіперболі?

У стандартній формі рівняння гіперболи Б представляє довжину спряженої осі, а її формула є Б = 2 b , де b – відстань від центру до вершин уздовж осі спряженості.

Як намалювати гіперболу?

Щоб намалювати гіперболу, ви зазвичай починаєте з нанесення центральної точки, потім позначаєте вершини, фокуси, асимптоти та інші ключові точки на основі заданого рівняння або властивостей. Нарешті, накресліть криві гіперболи, використовуючи ці точки як напрямні.