Геометрія це розділ математики, який вивчає форми, кути, розміри та розміри різних речей, які ми бачимо в повсякденному житті. Геометрія походить від давньогрецьких слів «гео», що означає «земля», і «метрон», що означає «вимірювання».

Геометрія в математиці відіграє вирішальну роль у розумінні фізичного світу навколо нас і має широкий спектр застосувань у різних сферах, від архітектури та інженерії до мистецтва та фізики.

Є два типи фігур в евклідовій геометрії : Двомірний і Тривимірні фігури . Плоскі фігури — це двовимірні фігури в площинній геометрії, які включають трикутники, квадрати, прямокутники та кола. Тривимірні фігури в твердій геометрії, такі як куби, кубоїди, конуси тощо, також відомі як тверді тіла. Фундаментальна геометрія базується на точках, лініях і площинах, як описано в координатній геометрії.

У цій статті ви дізнаєтесь про все, що стосується геометрії, включаючи геометрію, розділи геометрії, різні типи геометрії, приклади геометрії та застосування геометрії в реальному житті тощо.

Зміст

• Що таке геометрія в математиці?
• Визначення геометрії
• Розділи геометрії
• Алгебраїчна геометрія
• Дискретна геометрія
• Диференціальна геометрія
• Евклідова геометрія
• Неевклідова геометрія
• Опукла геометрія
• Топологія
• Геометрія площини
• Важливі моменти в геометрії площини
• Кути в геометрії
• Багатокутник та його види
• Види многокутників у геометрії
• Статті, пов'язані з багатокутниками
• Коло в геометрії
• Подібність і конгруентність в геометрії
• Тверда геометрія
• Коло в геометрії
• Подібність і конгруентність в геометрії
• Тверда геометрія
• Краї
• Обличчя
• Вершини
• Тривимірна геометрія
• Формули геометрії
• Застосування геометрії в реальному житті
• Приклади геометрії
• Тренувальні завдання з геометрії

Що таке геометрія в математиці?

Геометрія - це наука про різноманітні форми, фігури та розміри. Це дає нам знання про відстані, кути, візерунки, площі та об’єми форм. Принципи геометрії залежать від точок, прямих, кутів і площин. Усі геометричні фігури засновані на цих геометричних поняттях.

Слово геометрія складається з двох давньогрецьких слів: «гео» означає «земля» і «метрон» означає «вимірювання».

Визначення геометрії

Геометрія — це розділ математики, який вивчає властивості, вимірювання та взаємозв’язки точок, ліній, кутів, поверхонь і тіл.

Розділи геометрії

Геометрію можна розділити на різні частини:

вставка python

• Алгебраїчна геометрія
• Дискретна геометрія
• Диференціальна геометрія
• Евклідова геометрія
• Неевклідова геометрія (еліптична геометрія та гіперболічна геометрія)
• Опукла геометрія
• Топологія

Алгебраїчна геометрія

Ця галузь геометрії зосереджена на нулях полінома багатьох змінних. Він складається з лінійних і поліноміальних алгебраїчних рівнянь для розв’язування наборів нулів. Програми в цій категорії включають теорію струн і криптографію.

Дискретна геометрія

Цей розділ геометрії в основному зосереджується на положенні простих геометричних об’єктів, таких як точки, лінії, трикутники тощо. Він включає задачі, засновані на звичайних безперервних просторах, які мають комбінаторний аспект.

Диференціальна геометрія

Він містить алгебраїчні та обчислювальні методи для розв’язування задач. Різні проблеми включають такі проблеми, як загальна теорія відносності у фізиці тощо.

Евклідова геометрія

У евклідовій геометрії ми вивчаємо площини та тверді фігури на основі аксіом і теорем. Основні теореми евклідової геометрії включають точки та лінії, аксіоми та постулати Евкліда, геометричне доведення та п’ятий постулат Евкліда.

Він має багато застосувань у сферах інформатики, математики тощо.

The п'ять постулатів евклідової геометрії такі:

• Від однієї даної точки до іншої можна провести пряму.
• Довжина прямої нескінченна в обох напрямках.
• Будь-яка точка може служити центром кола, а будь-яка довжина може служити радіусом.
• Усі прямі кути рівні.
• Будь-які дві прямі, однакові за відстанню одна від одної в двох точках, нескінченно паралельні.

Дещо з Аксіоми Евкліда в геометрії загальновизнаними є:

• Рівні однакові речі є рівними. Якщо A = C і B = C, то A = C
• Якщо рівне додається до рівного, цілі рівні. Якщо A = B і C = D, то A + C = B + D
• Якщо рівні віднімати, остачі рівні.
• Збігаються речі рівні t
• Ціле більше, ніж його частина. Якщо A> B, то існує таке C, що A = B + C.
• Те, що подвійно однакове, однакове.
• Речі, які є половинками однієї речі, рівні

Неевклідова геометрія

Існує два типи неевклідової геометрії - Сферичний і Гіперболічний Геометрія. Вона відрізняється від евклідової геометрії через різницю в принципах кутів і паралельних прямих.

Неевклідова геометрія

Дослідження площинної геометрії на сфері відоме як сферична геометрія . Сума кутів трикутника більша за 180°.

Криву поверхню називають гіперболічна геометрія . Використовується в Топологія .

Плоский трикутник має загальну кількість кутів, менших за 180°, залежно від внутрішньої кривизни вигнутої поверхні.

Опукла геометрія

Він складається з опуклих форм у евклідовому просторі та використовує методи, які включають реальний аналіз. Він використовується в різних програмах оптимізації та функціонального аналізу.

Топологія

Він містить властивості простору, які знаходяться під безперервним відображенням. Він використовується для розгляду компактності, повноти, безперервності, фільтрів, функціональних просторів, решіток, кластерів і пучків, топологій гіперпростору, початкових і кінцевих структур, метричних просторів, мереж, проксимальної безперервності, просторів близькості, аксіом поділу та рівномірних просторів.

Читайте детально: Застосування топології

Геометрія площини

Плоска геометрія стосується форм, які можна намалювати на папері. Евклідова геометрія передбачає вивчення площинної геометрії.

Двовимірна поверхня, нескінченно поширена в обох напрямках, називається площиною. Основними компонентами літака є:

• Очки – А точка є безвимірною фундаментальною одиницею геометрії.
• Лінії - А лінія це прямий шлях на площині, який тягнеться в обох напрямках без кінцевих точок.
• Кути – плоска геометрія складається з ліній, кіл і трикутників двох вимірів. Плоска геометрія — інша назва двовимірної геометрії.

Важливі моменти в геометрії площини

• Колінеарними називаються точки, які лежать на одній прямій.
• Відрізок прямої — це частина прямої, яка має дві кінцеві точки і має кінцеву довжину.
• А промінь - це відрізок лінії, який нескінченно тягнеться в одному напрямку. Лінія не має кінців.
• Пряма, відрізок і промінь відрізняються один від одного.

Геометрія площини

Всі двовимірні фігури мають тільки два виміри: довжину і ширину. Плоскі фігури складаються з квадратів, трикутників, прямокутників, кіл тощо.

Кути в геометрії

У плоскій геометрії кут утворюється, коли два промені перетинаються, називаються сторонами кута, і мають спільну кінцеву точку, відому як вершина кута.

В основному існує чотири типи кутів

1. Гострий кут – Кут від 0 до 90°.
2. Тупий кут – Кут більше 90°, але менше 180°.
3. Прямий кут – Кут 90°.
4. Прямий кут – Кут 180° є прямим.

Кути в геометрії

Ви можете знайти подібні теми, детально обговорені в наведених нижче статтях.

1. Лінії та кути
2. Пари кутів

Багатокутник та його види

Фігура, яка складається зі скінченної кількості прямолінійних сегментів, що замикаються в петлю. Слово «полі» означає кілька.

Сума внутрішніх кутів многокутника дорівнює: (n-2) * 180

де n – кількість сторін.

Види многокутників у геометрії

Різновиди багатокутників:

• Трикутники
• Чотирикутники
• П'ятикутник
• Шестикутник
• семикутник
• Восьмикутник
• Нонагон
• Десятикутник

Типи багатокутників

Статті, пов'язані з багатокутниками

Ось список статей, пов’язаних із багатокутниками:

1. Багатокутник
2. Типи багатокутників
3. Трикутники в геометрії
4. Властивості трикутників
5. Властивість суми кутів трикутника
6. Теорема про нерівність трикутника
7. Види трикутників
8. Рівнобедрений трикутник
9. Розширений трикутник
10. Рівнокутний трикутник
11. Гострокутний трикутник
12. Прямокутний трикутник
13. Тупокутний трикутник
14. Площа трикутника
15. Периметр трикутника
16. Види чотирикутників
17. Властивість суми кутів чотирикутника
18. Квадрати
19. Прямокутник
20. Площа прямокутника
21. Периметр прямокутника
22. Паралелограм
23. Площа паралелограма
24. Периметр паралелограма
25. Властивості паралелограма
26. Деякі спеціальні паралелограми
27. Ромб
28. Трапеція
    
29. Площа трапеції
30. Периметр трапеції
31. повітряні змії
32. Площа повітряного змія
33. Периметр повітряного змія

Коло в геометрії

Коло – замкнута фігура. Від фіксованої точки, відомої як центр, усі точки кола знаходяться на однаковій відстані.

Ось список статей, де можна знайти поглиблені знання про кола.

1. центр
2. Радіус
3. Діаметр
4. Акорди
5. Дотична
6. Січна
7. Арка
8. Відрізок
9. Сектор
10. Теореми кола
11. Теорема – Існує одне і тільки одне коло, що проходить через три дані неколінеарні точки
12. Теорема – Сума протилежних кутів циклічного чотирикутника дорівнює 180°
13. Довжини дотичних, проведених із зовнішньої точки до кола, рівні
14. Вписані фігури в коло
15. Циклічний чотирикутник

Подібність і конгруентність в геометрії

Подібність : Дві фігури вважаються подібними, якщо вони мають однакову форму або однакові кути, але не обов’язково мають однаковий розмір.

Конгруентність : Дві фігури називаються конгруентними, якщо вони однакової форми та розміру, тобто рівні за всіма значеннями.

Ось список статей, де ви можете знайти поглиблені знання з вищезазначеної теми.

1. Побудова трикутників
2. Побудова чотирикутника
3. Побудова подібних трикутників
4. Подібні трикутники
5. Теорема Піфагора та її обернення
6. Теорема Фалеса
7. Критерії подібності трикутників
8. Конгруентність трикутників

Тверда геометрія

Тверда геометрія — це вивчення тривимірних структур, таких як куби, призми, циліндри та сфери. Три виміри 3D-фігур: довжина, ширина та висота. Однак деякі тверді тіла не мають граней (наприклад, сфера).

Аналіз трьох вимірів у евклідовому просторі відомий як тілесна геометрія. Структури нашого середовища є тривимірними.

Обидві тривимірні фігури створюються шляхом обертання двовимірних фігур. Основними характеристиками 3D-форм є:

• Обличчя
• Краї
• Вершини

Тверда геометрія

Геометрія це одна з найдавніших галузей математики, яка займається формою, розміром, кутами та розмірами об’єктів у нашому повсякденному житті. Геометрія в

Коло в геометрії

Коло – замкнута фігура. Від фіксованої точки, відомої як центр, усі точки кола знаходяться на однаковій відстані.

Ось список статей, де можна знайти поглиблені знання про кола.

1. центр
2. Радіус
3. Діаметр
4. Акорди
5. Дотична
6. Січна
7. Арка
8. Відрізок
9. Сектор
10. Теореми кола
11. Теорема – Існує одне і тільки одне коло, що проходить через три дані неколінеарні точки
12. Теорема – Сума протилежних кутів циклічного чотирикутника дорівнює 180°
13. Довжини дотичних, проведених із зовнішньої точки до кола, рівні
14. Вписані фігури в коло
15. Циклічний чотирикутник

Подібність і конгруентність в геометрії

Подібність : Дві фігури вважаються подібними, якщо вони мають однакову форму або однакові кути, але не обов’язково мають однаковий розмір.

Конгруентність : Дві фігури називаються конгруентними, якщо вони однакової форми та розміру, тобто рівні за всіма значеннями.

Ось список статей, де ви можете знайти поглиблені знання з вищезазначеної теми.

масив у рядку

1. Побудова трикутників
2. Побудова чотирикутника
3. Побудова подібних трикутників
4. Подібні трикутники
5. Теорема Піфагора та її обернення
6. Теорема Фалеса
7. Критерії подібності трикутників
8. Конгруентність трикутників

Тверда геометрія

Тверда геометрія — це вивчення тривимірних структур, таких як куби, призми, циліндри та сфери. Три виміри 3D-фігур: довжина, ширина та висота. Однак деякі тверді тіла не мають граней (наприклад, сфера).

Аналіз трьох вимірів у евклідовому просторі відомий як тілесна геометрія. Структури нашого середовища є тривимірними.

Обидві тривимірні фігури створюються шляхом обертання двовимірних фігур. Основними характеристиками 3D-форм є:

• Обличчя
• Краї
• Вершини

Тверда геометрія

Краї

Ребро - це відрізок лінії, який з'єднує одну вершину з іншою. Це допомагає у формуванні контуру 3D-фігур. Це означає, що він з’єднує одну кутову точку з іншою.

Обличчя

Він визначається як плоска поверхня, обмежена ребрами, з яких складаються геометричні фігури. Це 2D фігура для всіх 3D фігур.

Вершини

Вершина - це точка, де ребра суцільної фігури стикаються між собою. Його можна назвати точкою, де стикаються суміжні сторони багатокутника. Вершина - це кут, де стикаються ребра.

Кількість ребер, граней і вершин у різних твердих фігурах наведено в таблиці:

Ось список статей, пов’язаних із плоскою геометрією та геометрією тіла:

1. Візуалізація суцільних фігур
2. Грані, ребра та вершини

Тривимірна геометрія

Тривимірна геометрія вивчає геометрію фігур у тривимірному просторі в декартових площинах. Кожна точка простору задається трьома координатами (x, y, z), які є дійсними числами.

Ось список статей, де можна знайти поглиблені знання про t тривимірна геометрія .

1. Точки, прямі та площини
2. Осі координат і координатні площини в 3D
3. Декартова система координат
4. Декартова площина
5. Координатна геометрія
6. Формула відстані
7. Формула перетину
8. Формула середньої точки
9. Площа трикутника в координатній геометрії
10. Нахил прямої
11. Точково-нахильна форма
12. Форма перетину прямих ліній
13. Стандартна форма прямої
14. Перетини X і Y
15. Напрямні косинуси та відношення напрямків прямої
16. Рівняння лінії в 3D
17. Кут між двома прямими
18. Найкоротша відстань між двома лініями в тривимірному просторі

Формули геометрії

Ось кілька основних геометричних формул:

1. Формули площі

• Прямокутник: площа = довжина × ширина
• Квадрат: площа = сторона × сторона (або сторона²)
• Трикутник: площа = ½ × основа × висота
• Коло: площа = π × радіус²

2. Формули периметра/окружності

• Прямокутник: периметр = 2 × (довжина + ширина)
• Квадрат: периметр = 4 × сторона
• Трикутник: периметр = сторона₁ + сторона₂ + сторона₃
• Коло: окружність = 2 × π × радіус

3. Формули обсягу

• Куб: Об’єм = сторона × сторона × сторона (або сторона³)
• Прямокутна призма: об’єм = довжина × ширина × висота
• Циліндр: об’єм = π × радіус² × висота
• Сфера: об’єм = ⁴⁄₃ × π × радіус³

4. Теорема Піфагора

Для прямокутного трикутника зі сторонами (a), (b) і гіпотенузою (c): (a² + b² = c²).

5. Тригонометричні співвідношення (для прямокутних трикутників) :

• Синус (sin): sin(θ) = протилежне / гіпотенуза
• Косинус (cos): cos(θ) = прилегла/гіпотенуза
• Тангенс (tan): tan(θ) = протилежний / суміжний

Це лише кілька основних формул; геометрія охоплює широкий спектр концепцій, кожна з яких має свій набір формул і принципів.

Детальніше: Формули геометрії

Застосування геометрії в реальному житті

• Уявіть, що ви стоїте перед високим хмарочосом або йдете через чарівний міст. Вражаючі форми та міцність цих конструкцій багато в чому завдячують геометрії, керуючи архітекторами та інженерами у створенні простору, який є не лише безпечним, але й приємним для очей.
• Мистецтво та дизайн – це ігрові майданчики для геометричних досліджень. Художники маніпулюють формами, створюючи приголомшливі візуальні ефекти, тоді як дизайнери використовують геометрію, щоб внести баланс і гармонію в усе, від елегантних веб-сайтів до затишних віталень.
• Наступного разу, коли ви поринете у відеогру чи дива CGI у фільмі, пам’ятайте, що геометрія — це секретне заклинання, що стоїть за цими захоплюючими візуальними ефектами. Це допомагає оживляти персонажів і створювати фантастичні світи, які здаються такими ж відчутними, як і наш власний.
• Мистецтво картографії або картографування перетворює круглу земну кулю на плоску карту за допомогою геометрії, допомагаючи нам переміщатися з точки А в точку Б, чи то вулицями гамірного міста, чи через континенти.
• Неосяжність простору стає трохи зрозумілішою з геометрією. Він розраховує відстані до далеких зірок і планує курси космічних місій, перетворюючи таємниці Всесвіту на розв’язні головоломки.
• У сфері медицини точні розрахунки геометрії є вирішальними для таких технологій, як комп’ютерна томографія та магнітно-резонансна томографія, які пропонують лікарям зазирнути всередину людського тіла, щоб діагностувати та лікувати хвороби з надзвичайною точністю.
• Зручність технології GPS, яка скеровує вас у подорожах або гарантує, що ваші онлайн-замовлення прибудуть до вашого порогу, базується на геометричних принципах, що забезпечує точність і ефективність навігації.
• Від складальних конвеєрів до помічників по дому, роботи покладаються на геометрію, щоб граціозно рухатися та взаємодіяти з навколишнім середовищем, що робить їх незамінними інструментами в сучасному виробництві та щоденною зручністю.
• Наступного разу, коли ви одягаєтеся або милуєтеся ювелірним виробом, зверніть увагу на геометричні принципи, які впливають на дизайн одягу, від симетрії візерунків до структури одягу.
• Спорт – це не лише фізична майстерність; вони також стосуються стратегії. Спортсмени та тренери використовують геометрію для планування виграшних ходів, будь то ідеальний футбольний гол чи ідеальний поворот у запливі.

Приклади геометрії

Приклад 1: Якщо в рівнобедреному трикутнику рівні кути дорівнюють 50°, знайдіть третій кут.

рішення:

Нехай третій кут дорівнює x

Ми знаємо, що сума трьох кутів трикутника дорівнює 180

⇒ x + 50° + 50° = 180°

⇒ x + 100° = 180°

⇒ x = 180° – 100° = 80°

Отже, третій кут дорівнює 80°

приклад 2: Якщо в паралелограмі один із кутів дорівнює 70°, знайдіть решту всіх кутів.

в порядку

рішення:

Ми знаємо, що сума суміжних кутів паралелограма дорівнює 180°. Нехай кут, прилеглий до 70°, дорівнює x

⇒ 70° + x = 180°

⇒ x = 180° – 70° = 110°

Ми також знаємо, що протилежні кути паралелограма рівні. Отже, кут проти 70° дорівнюватиме 70°, а кут проти 110° дорівнюватиме 110°.

приклад 3: Якщо пряма довжиною 3 см перпендикулярна до хорди кола 8 см, то знайдіть радіус кола.

рішення:

Ми знаємо, що перпендикуляр із центру до хорди ділить хорду навпіл. Отже, лінія, що йде від центру, торкатиметься середини хорди так, що довжина лінії з обох боків дорівнює 4 см. Тепер перпендикуляр із центру, половина хорди та радіус утворять прямокутний трикутник, де радіус буде гіпотенузою трикутника. Отже, радіус кола буде задано за допомогою теореми Піфагора,

r = √3²+ 4²= √25 = 5 см

Приклад 4: Знайдіть площу трикутника, основа якого дорівнює 24 см, а висота 12 см.

рішення:

Площа трикутника дорівнює 1/2 ⨯ основи ⨯ висоти

Тут основа = 24 см, висота = 12 см

Отже, площа трикутника дорівнює 1/2 ⨯ 24 ⨯ 12 = 144 см²

Приклад 5: Знайдіть площу та довжину кола, радіус якого дорівнює 7 см.

рішення:

Враховуючи, що радіус = 7 см

Довжина кола = 2πr = 2 ⨯ 22/7 ⨯ 7 = 44 см

Площа кола = πr²= 22/7 ⨯ 7 ⨯ 7 = 154 см²

Люди також читають:

• Трикутники в геометрії
• Геометрія та координати
• Застосування геометрії: використання в реальному житті

Тренувальні завдання з геометрії

1. Знайдіть площу прямокутника, довжина якого дорівнює 8 см, а ширина 5 см.

2. Паралелограм має сторони 7 см і 10 см. Обчисліть його периметр.

3. Чотирикутник має три кути, які дорівнюють 85°, 90° і 95°. Знайдіть міру четвертого кута.

4. Обчисліть довжину діагоналі квадрата зі стороною 6 см.

5. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 10 см і 24 см.

6. Визначте міру одного зовнішнього кута правильного шестикутника.

7. Обчисліть об’єм циліндра з радіусом 3 см і висотою 7 см.

Що таке геометрія – поширені запитання

Що таке геометрія в математиці?

Геометрія це розділ математики, який вивчає форму, розмір, кути та розміри об’єктів у нашому повсякденному житті.

Які є розділи геометрії?

Геометрію можна розділити на різні частини:

• Алгебраїчна геометрія
• Дискретна геометрія
• Диференціальна геометрія
• Евклідова геометрія
• Неевклідова геометрія (еліптична геометрія та гіперболічна геометрія)
• Опукла геометрія
• Топологія

Чому геометрія важлива?

Геометрія необхідна в нашому повсякденному житті, щоб зрозуміти різноманітні форми та визначити їх кількісно за допомогою площі та об’єму.

java bean

Що таке основи геометрії?

Основи геометрії — це правильне розуміння точок, прямих і площин. Потім це допомагає побудувати всі інші концепції геометрії, які базуються на цих основних концепціях.

Що таке евклідова геометрія?

У евклідовій геометрії ми вивчаємо площини та тверді фігури на основі аксіом і теорем, даних Евклідом.

Яка різниця між евклідовою та неевклідовою геометрією?

Евклідова геометрія — це вивчення геометрії плоских форм на площині, тоді як неевклідова геометрія — це вивчення геометрії кривих поверхонь.

Які 2 типи геометрії?

Плоска геометрія та суцільна геометрія — це 2 типи геометрії. Плоска геометрія — це 2D-фігури, тоді як суцільна геометрія — це 3D-фігури.

Що таке основи геометрії?

Основи геометрії - це розуміння точок, ліній, відрізків і типів геометрії.

Які існують 8 типів геометрії?

1. Евклідова геометрія: вивчає плоскі та тверді фігури за допомогою аксіом і теорем.
2. Диференціальна геометрія: розширює принципи обчислення, важливі у фізиці для розуміння кривих і просторів.
3. Алгебраїчна геометрія: фокусується на кривих і поверхнях, використовуючи лінійні та поліноміальні алгебраїчні рівняння.
4. Дискретна геометрія: аналізує взаємне розташування основних геометричних об’єктів.
5. Аналітична геометрія: вивчає геометричні фігури та конструкції з використанням систем координат.
6. Риманова геометрія: охоплює неевклідову геометрію, пропонуючи різноманітні геометричні перспективи.
7. Комплексна геометрія: досліджує геометричні структури на основі комплексної площини.
8. Обчислювальна геометрія: вивчає властивості явно визначених алгебраїчних різновидів, життєво важливих в обчислювальній математиці та інформатиці.

Який найпоширеніший тип геометрії?

Евклідова геометрія, яку зазвичай викладають у середніх школах і беруть участь у передвузівських математичних олімпіадах, є основним типом геометрії. Також називається класичною геометрією, вона зосереджена на властивостях плоских двовимірних форм і досліджує взаємозв’язки між точками, лініями та кутами на площині.

Для чого переважно використовується геометрія?

Геометрія використовується в багатьох галузях, зокрема: мистецтво, архітектура, інженерія, робототехніка, астрономія, скульптури, космос, природа, спорт, машини, автомобілі.