Формула середини ((x ₁ + х ₂ )/2 і ₁ + і ₂ )/2). Координати двох точок дорівнюють (x₁, і₁) і (x₂, і₂) відповідно, а середина – це точка, що лежить посередині між цими двома точками.

Середня точка є основоположним поняттям у координатній геометрії. Він відіграє вирішальну роль у знаходженні середини відрізка. У координатній геометрії є випадки, коли нам потрібно знати середину двох заданих точок або середину відрізка лінії. У цьому випадку ми використовуємо формулу середини, оскільки це простий і ефективний спосіб обчислити середину будь-якого даного відрізка, незалежно від його довжини чи положення на координатній площині.

Ми детально розглянули формулу серединної точки, її виведення за допомогою подібності трикутників. Разом з цим ми підготували розв’язані приклади формули середньої точки.

Визначення середньої точки

Точка, яка точно розділяє пряму на дві рівні половини, є серединою прямої. Іншими словами, відношення обох половин лінії, в якій її розділяє середина, дорівнює 1:1.

Середня точка лінії

Формула середини лінії

Для відрізка AB у декартовій системі координат, де координата осі x точки A дорівнює x₁а координата осі y точки A дорівнює y₁і аналогічно, координата осі x точки B дорівнює x₂а координата осі y точки B дорівнює y_2,середина лінії буде задана (x_м, і_м).

Формула для середньої точки (x_м, і_м) є:

Формула середньої точки

Виведення формули середньої точки

Нехай P(x₁,і₁) і Q(x₂,і₂) два кінці даної прямої в координатній площині, а R(x,y) — точка на цій прямій, яка ділить PQ у відношенні m₁:м₂такий як

PR/RQ = m₁/м₂. . .(1)

Виведення формули середньої точки

Проведіть прямі лінії PM, QN і RL, перпендикулярні осі x і через R, проведіть пряму, паралельну осі x, щоб зустріти MP у S і NQ у T.

Отже, з малюнка можна сказати:

SR = ML = OL – OM = x – x₁. . . (2)

хост linux

RT = LN = ON – Ol = x₂– x . . . (3)

PS = MS – MP = LR – MP = y – y₁. . . (4)

TQ = NQ – NT = NQ – LR = y₂- і . . . (5)

Тепер трикутник ∆ SPR схожий на трикутник ∆TQR .

тому

SR/RT = PR/RQ

Використовуючи рівняння 2, 3 і 1, ми знаємо:

х – х₁/ х₂– x = m₁/ м₂

⇒ м₂х – м₂x₁= m₁x₂– м₁x

⇒ м₁x + m₂x = m₁x₂+ м₂x₁

⇒ (м₁+ м₂)x = m₁x₂+ м₂x₁

⇒ x = (m₁x₂+ м₂x₁) / (м₁+ м₂)

Тепер трикутник ∆ SPR подібний до трикутника ∆ TQR,

тому

PS/TQ = PR/RQ

Використовуючи рівняння 4, 5 і 1, ми знаємо:

і – і₁/ і₂– y = m₁/ м₂

⇒ м₂у – м₂і₁= m₁і₂– м₁і

⇒ м₁y + m₂y = m₁і₂+ м₂і₁

⇒ (м₁+ м₂)y = m₁і₂+ м₂і₁

⇒ y = (m₁і₂+ м₂і₁) / (м₁+ м₂)

Отже, координати R(x,y) є:

R(x, y) = (m ₁ x ₂ + м ₂ x ₁ ) / (м ₁ + м ₂ ), (м ₁ і ₂ + м ₂ і ₁ ) / (м ₁ + м ₂ )

г шльопанець

Оскільки нам потрібно було обчислити середню точку, ми зберігаємо значення обох m₁і м₂так само, тобто

Для середньої точки ми знаємо за визначенням середньої точки, m₁= m₂= 1.

(x, y) = ((1.x₂+ 1.x₁) / (1 + 1), (1.р₂+ 1.р₁) / (1 + 1))

х, у = (х ₂ + х ₁ ) / 2 а ₂ + і ₁ ) / 2

Як знайти середину?

Щоб знайти координати середини будь-якого даного відрізка, ми можемо використати формулу середини, якщо дано кінцеві точки відрізка. Розглянемо наступний приклад для того ж.

Приклад: знайдіть координати середини відрізка, кінцеві точки якого дорівнюють (5, 6) і (-3, 4).

рішення:

Як відомо, середина відрізка визначається формулою:

Середня точка = ((x₁+x₂)/2 і₁+y₂)/2)

java коментарі

де (x₁, і₁) і (x₂, і₂) — координати кінців відрізка.

Середня точка = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)

⇒ Середня точка = (2/2, 10/2)

⇒ Середня точка = (1, 5)

Отже, координати середини відрізка дорівнюють (1, 5).

Пов'язана формула

Існують формули, подібні до формули середини, які є такими:

• Формула розділу
• Формула центроїда

Формула розділу

Формула розділу використовується для знаходження координати точки, яка ділить даний відрізок у потрібному співвідношенні. Припустимо, що кінцевими точками відрізка є A і B з координатами (х ₁ , і ₁ ) і (х ₂ , і ₂ ) , а P — точка, яка розділяє відрізок, що сполучає пряму AB, у m:n. Тоді координата P визначається як:

P(x, y) = [(mx ₂ + nx ₁ )/(m+n) , (мій ₂ + the ₁ )/(m+n)]

Формула центроїда

Формула центроїда використовується для знаходження центральної точки багатокутників, а математично для трикутників і чотирикутників дається так:

Формула центроїда трикутника

Координати центроїда трикутника з вершинами (х₁, і₁), (x₂, і₂) і (x₃, і₃) є:

C(x, y) = ((x ₁ + х ₂ + х ₃ )/3, (і ₁ + і ₂ + і ₃ )/3)

Центроїд трикутника

Центроїд формули чотирикутника

Координати центроїда чотирикутника з вершинами (x₁, і₁), (x₂, і₂), (x₃, і₃) і (x₄, і₄) є:

C(x, y) = ((x ₁ + х ₂ + х ₃ + х ₄ )/4, (і ₁ + і ₂ + і ₃ + і ₄ )/4)

Центроїд чотирикутника

Вирішені питання по формулі середини

Запитання 1: Яка середина відрізка AB, де точка A знаходиться в (6,8), а точка B в (3,1)?

рішення:

Нехай середня точка буде M(x_м, і_м),

x_м= (x₁+ х₂) / 2

x₁= 6, х₂= 3

Таким чином, х_м= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5

і_м= (і₁+ і₂) / 2

і₁= 8 і₂= 1

Таким чином, у_м= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5

Отже, середина прямої AB дорівнює (4,5, 4,5).

Запитання 2: яка середина відрізка AB, де точка A знаходиться на (-6,4), а точка B на (4,2)?

рішення:

Нехай середня точка буде M(x_м, і_м),

x₁= -6, х₂= 4 і₁= 4 і₂= 2

(х_м, і_м) = ((x₁+ х₂) / 2 а₁+ і₂) / 2)

(х_м, і_м) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)

(х_м, і_м) = ((-2)/2, (6)/2)

(х_м, і_м) = (-1, 3)

кислотні властивості в dbms

Отже, середина прямої AB дорівнює (-1, 3).

Запитання 3: Знайдіть значення p так, щоб (–2, 2,5) було серединою між (p, 2) і (–1, 3).

рішення:

Нехай середня точка буде M(x_м, і_м) = (-2, 2,5) де,

x₁= -1, х_м= -2

Y-координата кінцевої точки вже відома як 2, тому нам потрібно знайти лише x-координату

x_м= (x₁+ х₂) / 2

-2 = (-1 + p) / 2

-4 = -1 + p

p = -3

Отже, іншою кінцевою точкою лінії є (-3, 2).

Запитання 4: Якщо координати кінцевих точок відрізка дорівнюють (3, 4) і (7, 8), знайдіть відстань між серединою відрізка та точкою (3, 4).

рішення:

Нехай A(3, 4) і B(7, 8) — кінці даного відрізка, а C — середина відрізка AB.

Потім використовуючи формулу середини,

Координата C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)

Використання формули відстані

Відстань = √{(x₂– х₁)²+ (і₂- і₁)²}

⇒ Відстань = √{(3 – 5)²+ (4 – 6)²}

список c#

⇒ Відстань =√{(-2)²+ (-2)²}

⇒ Відстань =√8 = 2√2

Отже, відстань між серединою відрізка та точкою (3, 4) дорівнює 2√2.

Формула середньої точки – поширені запитання

Що таке формула середини?

Математична формула середньої точки задається таким чином:

Середня точка = ((x ₁ + х ₂ )/2 і ₁ + і ₂ )/2)

Яке значення формули середини?

Формула середньої точки є важливою, оскільки вона дозволяє нам знайти центральну точку будь-якого відрізка в декартовій системі координат.

Які застосування формули середньої точки?

Існує багато випадків використання формули середини, оскільки в геометрії ми можемо використовувати її для розв’язків і властивостей трикутників, багатокутників та інших фігур, у фізиці вона також використовується для знаходження центру мас.

Чи можна використовувати формулу середньої точки для трьох або більше точок?

Ні, формулу середини не можна використовувати для трьох точок, оскільки середина визначається лише для двох точок. Для трьох точок ми можемо використати формулу центроїда, якщо хочемо знайти координату центроїда для трикутника, утвореного заданими трьома точками.

Скільки середин має відрізок?

Відрізок має лише одну середину.