Величина, яка характеризується не тільки величиною, а й напрямом, називається вектором. Швидкість, сила, прискорення, імпульс тощо є векторами.

Вектори можна множити двома способами:

• Скалярний добуток або скалярний добуток
• Векторний добуток або перехресний добуток

Зміст

• Скалярний добуток/скалярний добуток векторів
• Проекція одного вектора на інший вектор
• Властивості скалярного добутку
• Нерівності на основі скалярного добутку
• Перехресний добуток/векторний добуток векторів
• Властивості перехресного добутку
• Перехресний добуток у детермінантній формі
• Крапковий добуток
• Поширені запитання щодо точкових і перехресних добутків на векторах

Скалярний добуток/скалярний добуток векторів

Результуючий скалярний добуток/скалярний добуток двох векторів завжди є скалярною величиною. Розглянемо два вектори a і b . Скалярний добуток обчислюється як добуток величин a, b і косинуса кута між цими векторами.

Скалярний добуток = |a||b| cos α

тут,

• |a| = величина вектора a,
• |b| = величина вектора b , і
• α = кут між векторами.

Вектори a і b з кутом α між ними

Проекція одного вектора на інший вектор

Вектор a можна спроектувати на лінію l, як показано нижче:

CD = проекція вектора a на вектор b

З малюнка вище видно, що ми можемо проектувати один вектор на інший вектор. AC — величина вектора A. На наведеному вище малюнку AD проведено перпендикулярно до прямої l. CD представляє проекцію вектора a на векторі b .

Таким чином, трикутник ACD є прямокутним трикутником, і ми можемо застосувати тригонометричні формули.

Якщо α — міра кута ACD, то

cos α = CD/AC

Або CD = AC cos a

З малюнка видно, що CD є проекцією вектора a на вектор b

Отже, ми можемо зробити висновок, що один вектор можна спроектувати на інший вектор через косинус кута між ними.

Властивості скалярного добутку

• Скалярний добуток двох векторів завжди є дійсним числом (скаляром).
• Скалярний добуток є комутативним, тобто a.b =b.a= |a||b| cos α
• Якщо α дорівнює 90°, то скалярний добуток дорівнює нулю, оскільки cos(90) = 0. Отже, скалярний добуток одиничних векторів у напрямках x, y дорівнює 0.
• Якщо α дорівнює 0°, то скалярний добуток є добутком величин a і b |a||b|.
• Скалярний добуток одиничного вектора на самого себе дорівнює 1.
• Скалярний добуток вектора a на самого себе дорівнює |a|²
• Якщо α дорівнює 180⁰, скалярний добуток для векторів a і b дорівнює -|a||b|
• Скалярний добуток є розподільним над додаванням

a. ( b + в ) = a.b + a.c

• Тоді для будь-яких скалярів k і m

л a. (м b ) = км a.b

• Якщо компонентна форма векторів задана як:

a = а₁х + а₂і + а₃с

b = b₁x + b₂y + b₃с

тоді скалярний добуток задається як

a.b = а₁b₁+ а₂b₂+ а₃b₃

• Скалярний добуток дорівнює нулю в таких випадках:
  • Величина вектора a дорівнює нулю
  • Величина вектора b дорівнює нулю
  • Вектори a і b перпендикулярні один до одного

Нерівності на основі скалярного добутку

Існують різні нерівності, засновані на скалярному добутку векторів, наприклад:

• Нерівність Коші – Шварца
• Нерівність трикутника

Давайте обговоримо їх докладніше наступним чином:

клас проти об'єкта java

Нерівність Коші – Шварца

Відповідно до цього принципу для будь-яких двох векторів a і b , величина скалярного добутку завжди менша або дорівнює добутку величин вектора a та вектора b

|a.b| ≤ |a| |b|

Доказ:

Оскільки a.b = |a| |b| cos α

Ми знаємо, що 0

Отже, робимо висновок, що |a.b| ≤ |a| |b|

Нерівність трикутника

Для будь-яких двох векторів a і b , у нас завжди

| a + b | ≤ | a | + | b |

Нерівність трикутника

Доказ:

| a + b |²=| a + b || a + b |

= a.a + a.b + b.a + б.б

= | a |²+ 2 a.b +| b |²(скалярний добуток є комутативним)

≤ | a |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |а | + | b| )²

Це доводить, що | a + b | ≤ | a | + | b|

як читати файл csv в java

Приклади скалярного добутку векторів

Приклад 1. Розглянемо два вектори такі, що |a|=6 і |b|=3 і α = 60°. Знайдіть їх скалярний добуток.

рішення:

a.b = |a| |b| cos α

Так, a.b = 6.3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

Приклад 2. Доведіть, що вектори a = 3i+j-4k і вектор b = 8i-8j+4k перпендикулярні.

Рішення :

Ми знаємо, що вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

Оскільки скалярний добуток дорівнює нулю, можна зробити висновок, що вектори перпендикулярні один до одного.

Перехресний добуток/векторний добуток векторів

Читачі вже знайомі з тривимірною правою прямокутною системою координат. У цій системі обертання осі x проти годинникової стрілки на позитивну вісь y вказує на те, що правий (стандартний) гвинт рухатиметься в напрямку позитивної осі z, як показано на малюнку.

3D прямокутна система координат

The векторний добуток або перехресний добуток двох векторів a і b з кутом α між ними математично обчислюється як

a × b = |a| |b| без α

Слід зазначити, що перехресний добуток є вектором із заданим напрямком. Результат завжди перпендикулярний як до a, так і до b.

Крім того, якщо задано два вектори,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)іmathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), їх перехресний добуток, позначений a × b, обчислюється як:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

Якщо a і b є паралельними векторами, результуюча має дорівнювати нулю, оскільки sin(0) = 0

Властивості перехресного добутку

• Перехресний добуток генерує векторну величину. Результат завжди перпендикулярний як до a, так і до b.
• Перехресний добуток паралельних векторів/колінеарних векторів дорівнює нулю, оскільки sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

• Перехресний добуток двох взаємно перпендикулярних векторів з одиничною величиною кожен дорівнює одиниці. (Оскільки sin(0)=1)
• Перехресний добуток не є комутативним.

a × b не дорівнює b × a

• Перехресний добуток є розподільним над додаванням

a × ( b + в ) = a × б + a × в

• Якщо k є скаляром, то

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

• Рухаючись за годинниковою стрілкою та беручи перехресний добуток будь-яких двох пар одиничних векторів, ми отримуємо третій, а проти годинникової стрілки ми отримуємо від’ємний результат.

Перехресний добуток за і проти годинникової стрілки

Можна встановити такі результати:

Перехресний добуток у детермінантній формі

Якщо вектор a представлений як a = a1x + a2y + a3z і вектор b представлений як b = b1x + b2y + b3z

що таке автоматичне підключення в java

Потім перехресний добуток a × b можна обчислити за допомогою форми визначника

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Потім, a × b = x(a₂b₃– б₂a₃) + y(a₃b₁– а₁b₃) + z(a₁b₂– а₂b₁)

Якщо a і b — суміжні сторони паралелограма OXYZ, а α — кут між векторами a і b.

Тоді площа паралелограма визначається як | a × b | = |a| |b|sin.a

Вектори a і b як суміжні сторони паралелограма

Приклади з C ross продукт Vectors

Приклад 1. Знайти перехресний добуток двох векторів a і b, якщо їх величини дорівнюють 5 і 10 відповідно. Враховуючи, що кут між ними дорівнює 30°.

рішення:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 перпендикулярно до a і b

Приклад 2. Знайти площу паралелограма, суміжні сторони якого дорівнюють

a = 4i+2j -3k

b= 2 i +j-4k

Рішення :

Площа обчислюється шляхом знаходження перехресного добутку суміжних сторін

a × b = x(a₂b₃– б₂a₃) + y(a₃b₁– а₁b₃) + z(a₁b₂– а₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

Отже, величина площі становитьsqrt{(5^2 +10^2)}

Java string replaceall

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

Крапковий добуток

Деякі загальні відмінності між крапковим і перехресним добутком векторів:

Детальніше,

• Векторна алгебра
• Скаляр і вектор
• Скалярний добуток двох векторів
• Добуток векторів

Поширені запитання щодо точкових і перехресних добутків на векторах

Що геометрично представляє скалярний добуток?

Скалярний добуток двох векторів представляє проекцію одного вектора на інший, масштабовану за їх величинами та косинусом кута між ними.

Як скалярний добуток використовується в геометрії?

Він використовується для знаходження кутів між векторами, визначення ортогональних векторів, обчислення проекцій і вимірювання подібності між векторами.

Що станеться, якщо скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю?

Якщо скалярний добуток дорівнює нулю, це означає, що вектори ортогональні (перпендикулярні) один одному.

Що геометрично представляє перехресний добуток?

Перехресний добуток двох векторів представляє вектор, перпендикулярний до площини, що містить вихідні вектори. Його величина дорівнює площі паралелограма, утвореного векторами.

Як знайти напрямок поперечного добутку?

Використовуйте правило правої руки: направте великий палець правої руки в напрямку першого вектора, вказівний палець у напрямку другого вектора, а середній палець буде вказувати в напрямку поперечного добутку.