Домен і діапазон функції: Домен і діапазон — це вхідні та вихідні значення функції. А функція визначається як відношення між набором вхідних даних та їхніх виходів, де вхідні дані можуть мати лише один вихід, тобто домен може давати певний діапазон. Він зображує зв’язок між незалежною змінною та залежною змінною.

Функція зазвичай позначається як y = f(x), де x — це вхід. Функція — це відношення f від множини X до іншої множини Y, де кожен елемент у X має рівно один вихід у Y, і він представлений як f: X→Y. Тут множина X відома як область визначення функції, а множина Y називається співобластю функції. Кожна функція має домен, кодомен і діапазон, які допомагають визначити функцію.

У цій статті ми дізнаємося про область визначення та діапазон функції, як обчислити область визначення та діапазон функції, область визначення та діапазон аркуша функції, приклади області визначення та діапазону функції, область визначення та діапазон функції графік функції та ін.

Зміст

• Що таке домен і діапазон?
• Інтервальне позначення домену та діапазону
• Співдомен і діапазон
• Область визначення функції
• Як знайти область визначення функції?
• Діапазон функції
• Як знайти діапазон функції?
• Як знайти домен і діапазон
• Приклади домену та діапазону функції
• Квадратична область і діапазон
• Область визначення та область експоненціальних функцій
• Область визначення та область тригонометричних функцій
• Область визначення та область обернених тригонометричних функцій
• Область визначення та діапазон функції абсолютного значення
• Область визначення та діапазон функції квадратного кореня
• Область визначення та область визначення раціональної функції
• Домен і діапазон функції журналу
• Область визначення та діапазон найбільшої цілочисельної функції
• Область визначення та діапазон графіка функції
• Аркуш домену та діапазону функцій
• Домен і діапазон Робочий аркуш PDF
• Практичні задачі області та діапазону
• Вирішені питання щодо домену та діапазону

Що таке домен і діапазон?

Домен a функція визначається як набір усіх можливих значень, для яких функція може бути визначена. Діапазон — це результат, який дає функція для певної області. Співобласть функції – це набір можливих результатів, тоді як діапазон або зображення функції є підмножиною співобласті та є набором зображень елементів у домені. Наприклад, на малюнку нижче f(x) = x³є функцією, доменом якої є множина X, а її співобластю є множина Y, а її діапазоном є {1, 8, 27, 64}.

Домен a Відношення також можна знайти за допомогою тих самих методів. Відношення — це тип функції, у якій один об’єкт у області домену відображається на кілька об’єктів у області діапазону.

Для заданої функції f(x) = x³

• f(x) = {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64)}
• Домен = {1, 2, 3, 4}
• Кодомен = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 23, 27, 64}
• Діапазон = {1, 8, 27, 64}

Інтервальне позначення домену та діапазону

Область визначення та діапазон будь-якої функції можна легко записати в інтервальній нотації. Припустімо, що нам дано будь-яку функцію f(x) = sin x, тоді її область визначення та діапазон записуються так:

• Область визначення f(x) = (-∞, +∞)
• Діапазон f(x) = [-1, 1]

Аналогічно використовуючи інтервальне позначення ми можемо представляти область визначення та діапазон будь-якої функції.

Як написати домен і діапазон

Домен і діапазон будь-якої функції можна легко представити за допомогою інтервальної нотації, як показано вище. Таким чином ми використовуємо дужки для опису набору чисел. Ми використовуємо {}, [] і (), щоб представити домен і діапазон функції.

Співдомен і діапазон

Кодомен — це набір значень, включаючи діапазон функції, і він може мати деякі додаткові значення. Діапазон — це підмножина кодомену. Це пояснюється на прикладі,

Дана функція f(x) = cos x, така що f:R→R, тоді

• Кодомен f(x) = R
• Діапазон R = (-1, 1)

Область визначення функції

Область визначення функції визначається як множина всіх можливих значень, для яких функція може бути визначена. Давайте пройдемося по областям різних функцій.

• Область визначення будь-якої поліноміальної функції, наприклад лінійної функції, квадратичної функції, кубічної функції тощо, є набором усіх дійсних чисел (R).
• Область визначення логарифмічної функції f(x) = log x є x> 0 або (0, ∞).
• Область визначення функції квадратного кореня f(x) = √x — це множина невід’ємних дійсних чисел, яка представлена ​​як [0, ∞).
• Область визначення показникової функції — це множина всіх дійсних чисел (R).
• Раціональна функція визначається тільки при ненульових значеннях її знаменника. Отже, щоб визначити область визначення раціональної функції y = f(x), встановіть знаменник ≠ 0.

Правила знаходження області визначення функції

Різні правила знаходження області визначення функції.

• Область функції поліноміальних функцій (лінійних, квадратичних, кубічних тощо) — R (усі дійсні числа).
• Область визначення функції квадратного кореня √x дорівнює x ≥ 0.
• Область визначення показникової функції R.
• Область визначення логарифмічної функції x> 0.
• Ми знаємо, що область визначення раціональної функції y = f(x), знаменник ≠ 0.

Як знайти область визначення функції?

Щоб знайти область визначення функції, виконайте такі дії:

Крок 1: Спочатку перевірте, чи може задана функція включати всі дійсні числа.

Крок 2: Потім перевірте, чи дана функція має відмінне від нуля значення в знаменнику дробу і невід’ємне дійсне число під знаменником дробу.

крок 3: У деяких випадках область визначення функції піддається певним обмеженням, тобто цими обмеженнями є значення, при яких дана функція не може бути визначена. Наприклад область визначення функції f(x) = 2x + 1 є множиною всіх дійсних чисел (R), але область визначення функції f(x) = 1/ (2x + 1) є множиною всіх дійсних чисел крім -1/2.

крок 4: Іноді інтервал, на якому визначена функція, згадується разом із функцією. Наприклад, f (x) = 2x²+3, -5

Після виконання всіх кроків, розглянутих вище, набір чисел, залишений у нас, вважається областю визначення функції.

Приклад домену

Знайдіть область визначення f(x) = 1/(x ² - 1)

рішення:

враховуючи,

• f(x) = 1/(x²- 1)

Тепер, поклавши x = -1, 1 у f(x)

• f(-1) = 1/{(-1)²– 1} = 1/0 = ∞
• f(1) = 1/{(1)²– 1} = 1/0 = ∞

Таким чином, на -1 і 1 функція f(x) є невизначеною і, крім того, що в усіх точках f(x) визначена. Таким чином, область визначення f(x) дорівнює R – {-1, 1}

Діапазон функції

Діапазон функції це множина всіх виходів функції. Для будь-якої функції f: A→ B набори значень у B є діапазоном функції. якщо f: A→ B є функцією такою, що f(x) = x²і A — це набір усіх цілих чисел, тоді діапазон функції — це набір Range = {1, 4, 9, 16, ….}. Ми повинні зазначити, що діапазон функції є підмножиною Co-Domain функції.

Правила знаходження області визначення функції

Правила знаходження діапазону функції:

• Для лінійної функції діапазон дорівнює R.
• Для квадратичної функції y = a(x – h)²+ k діапазон:
  • y ≥ k, якщо a> 0
  • y ≤ k, якщо a <0
• Для функції квадратного кореня діапазон y ≥ 0.
• Для експоненціальної функції діапазон y> 0.
• Для логарифмічної функції діапазоном є R.

Як знайти діапазон функції?

Діапазон або зображення функції є підмножиною співобласті та являє собою набір зображень елементів в області.

strint до внутр

Щоб знайти діапазон функції, виконайте наступні дії

Розглянемо функцію y = f(x).

Крок 1: Запишіть дану функцію в її загальному вигляді, тобто y = f(x).

Крок 2: Розв’яжіть її відносно x і запишіть отриману функцію у вигляді x = g(y).

крок 3: Тепер областю визначення функції x = g(y) буде діапазон функції y = f(x).

Таким чином, обчислюється діапазон функції.

Приклад діапазону

Знайти область визначення функції f(x) = 1/ (4x − 3).

рішення:

враховуючи,

• f(x) = 1/ (4x − 3)

Нехай функція f(x) = y = 1/ (4x − 3)

y(4x − 3) = 1

4xy – 3y = 1

4xy = 1 + 3y

x = 4y / (1 + 3y)

Тут ми спостерігаємо, що x визначено для всіх значень, крім y для y = −1/3, оскільки для y = -1/3 ми отримуємо невизначене значення x.

Отже, діапазон f(x) = 1/ (4x − 3) дорівнює (−∞, −1/3) IN (1/3, ∞)

Як знайти домен і діапазон

Тепер, щоб обчислити домен і діапазон будь-якої функції, уважно вивчіть наступний приклад:

Для X = {1, 2, 3, 4, 5} і Y = {1, 2, 4, 5, …, 45, 46, 47, 48, 49, 50} і функції, визначеної як f: X → Y , f(x) = x²знайти область визначення та діапазон наступної функції f(x)

Домен = Усі вхідні значення = X

Діапазон = {1, 4, 9, 16, 25} = підмножина Y

Область визначення функції — це вхідне значення, яке ми можемо взяти для функції, а діапазон функції — це набір усіх вихідних значень, які функція отримує. Тепер домен і діапазон функції знайдено за допомогою прикладу, доданого нижче,

Наприклад, якщо нам дано функцію F: X → Y, таку, що F(x) = y + 1 і X = {1, 2, 3, 4, 5} і Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. тут,

• Область визначення F(x) = X = {1, 2, 3, 4, 5}
• Діапазон F(x) = {2, 3, 4, 5, 6}

Y є кодоменом F(x), але не діапазоном.

Домен і асортимент різноманітний види функцій обговорюються в наступних розділах.

Приклади домену та діапазону функції

• Лінійні функції : Заf(x)=2x+3, домен і діапазон є дійсними числами, оскільки немає обмежень на x і f(x).
• Квадратичні функції : Для g(x)=x^2−4, домен – це всі дійсні числа, але діапазон – цеy≥−4оскільки результат не може бути меншим за -4.
• Раціональні функції : Для ℎ(x)=1/x-2​, доменом є x≠2 (усі дійсні числа, крім 2), а діапазоном також є всі дійсні числа, за винятком ℎ(x)=0.

Квадратична область і діапазон

Квадратична функція — це поліноміальна функція зі степенем 2, тобто f(x): ax²+ bx = c = 0 є квадратичною функцією. А область визначення та діапазон квадратичної функції:

Область визначення f(x): множина дійсних чисел = R

Діапазон f(x):

• y ≥ k, якщо a> 0, де k будь-яка константа
• y ≤ k, якщо a <0, де k будь-яка константа

Область визначення та область експоненціальних функцій

The експоненціальна функція визначається як:

f: R → R, f(x) = a ^х

Область визначення показникової функції — це всі дійсні числа, і оскільки експоненціальна функція завжди дає позитивний результат, діапазон — це множина всіх позитивних дійсних чисел.

що таке комп'ютер

• Домен = Р
• Діапазон = Р⁺

Область визначення та область тригонометричних функцій

для тригонометричні функції , область визначення є набором усіх дійсних чисел (за винятком деяких значень у деяких функціях), а діапазон тригонометричних функцій змінюється залежно від різних тригонометричних функцій, так що

• Діапазон функції синус = [-1, 1]
• Діапазон функції косинуса = [-1, 1]
• Діапазон косекансної функції = (−∞,−1]∪[1,+∞)
• Діапазон функції секансу = (−∞,−1]∪[1,+∞)

Діапазон для функцій тангенса та котангенса різний,

• Діапазон функції дотичної = [-∞, ∞]
• Діапазон функції котангенса = [-∞, ∞]

Це можна узагальнити в таблиці нижче:

Область визначення та область обернених тригонометричних функцій

Функція зворотного синуса

Домен: [-1, 1] і діапазон: [- пі /2 , пі /2]

Функція зворотного косинуса

Домен: [-1, 1] і діапазон: [0, пі ]

Функція зворотного тангенс

Домен: (-infty, infty) & Діапазон: (-π/2 ,π/2)

Функція зворотного котангенса

Домен: (-infty, infty) & діапазон: (0 , пі )

Область визначення та діапазон функції абсолютного значення

Абсолютні функції, також звані функцією модуля, — це функції, які визначені для всіх дійсних чисел, але їхній вихід є лише додатними дійсними числами, абсолютна функція дає лише додатний результат.

рядок до jsonobject

Абсолютна функція визначається як:

f: R → R, f(x) = |ax + b|

Таким чином, область визначення та діапазон абсолютного значення функції:

• Домен = Р
• Діапазон = Р⁺

Область визначення та діапазон функції квадратного кореня

Для функції квадратного кореня домен і діапазон обчислюються як:

Припустимо, що функція квадратного кореня є f(x) = √(ax + b)

Ми знаємо, що квадратний корінь із від’ємного числа не визначений, тому область визначення функції квадратного кореня дорівнює,

• Домен = x ≥ -b/a = [-b/a,∞)

Тепер для діапазону функції квадратного кореня ми знаємо, що абсолютний квадратний корінь дає лише додатні значення, тому діапазон складається з додатних дійсних чисел.

• Діапазон = Р⁺

Область визначення та область визначення раціональної функції

А раціональна функція це функція, яка представлена ​​як P(x)/Q(x), де P(x) і Q(x) є поліноміальною функцією, а Q(x) ніколи не дорівнює нулю. областю визначення раціональної функції є значення x, для яких Q(x) ніколи не дорівнює нулю. І діапазон раціональної функції – це значення y, які знайдені з використанням різних значень x, у y = P(x)/Q(x).

Домен і діапазон функції журналу

Функція журналу або Логарифмічна функція є функцією форми, y = ln x, а область визначення nd діапазон функції log дорівнює:

• Область визначення функції Log: (0, ∞)
• Діапазон функції Log: (-∞, +∞)

Область визначення та діапазон найбільшої цілочисельної функції

Функція найбільшого цілого числа також називається ступінчастою функцією, і це функція, яка виводить як найближче ціле число, менше або дорівнює заданому числу.

• Область найбільшої міжчислової функції: R
• Діапазон найбільшої міжчислової функції: Z

Область визначення та діапазон графіка функції

Якщо дано графік будь-якої функції, то знайти область визначення та діапазон дуже легко. Припустімо, що нам дано будь-яку криву, тоді пошук того, є ця крива функцією чи ні, є нашим першочерговим завданням, і це можна знайти за допомогою тест вертикальної лінії . Тоді, якщо криву задано у формі y = f(x), то проекція на графік на вісь x дає область визначення функції, а проекція графіка на вісь y дає діапазон функції .

Аркуш домену та діапазону функцій

1. Розглянемо функцію f ( х )=√( х −2​). Визначте область визначення та діапазон цієї функції.
2. Дано функцію g ( х )=1/( х +3)​, знайдіть його область визначення та діапазон.
3. Для функції ч ( х )=( х ²−4​)/ х −2, визначити область визначення та діапазон.
4. Дослідіть функцію k ( х )=без( х ). Які область визначення та діапазон цієї тригонометричної функції?
5. Дослідіть функцію м ( х )= Це є ^х . Визначте його домен і діапазон.

Домен і діапазон Робочий аркуш PDF

Завантажити

Статті, пов'язані з доменом і діапазоном функції

Графік тригонометричної функції

Зв'язок і функція

Діапазон функцій