Функції в математиці можна розглядати як торгові автомати. Даючи гроші у вигляді вкладу, вони дають трохи банок або печива взамін. Подібним чином функції приймають деякі вхідні числа та дають нам деякі вихідні дані. Можна сказати, що в реальному житті все можна сформулювати і вирішити за допомогою функцій. Від проектування будівель і архітектури до мегахмарочосів, математична модель майже всього в реальному житті потребує функцій, тому не можна уникнути того, що функції мають величезне значення в нашому житті. Домен і діапазон є одним з аспектів, через які можна описати функцію.

Наприклад: Припустімо, що на верхній частині автомата написано, що для покупки можна використовувати лише купюри 20 і 50 рупій. Що робити, якщо хтось використовує купюри в 10 рупій? Машина не дасть результату. Отже, домен представляє, які вхідні дані ми можемо мати у функції. У цьому випадку банкноти 20 і 50 рупій є доменом торгового автомата. Так само неважливо, скільки грошей хтось покладе в автомат, він/вона ніколи не отримає з нього бутерброди. Отже, концепція діапазону вступає в гру, діапазон – це можливі результати, які може дати машина.

особливості серії панда

Діапазон і область визначення функції

Область визначення функції:

Домен — це всі значення, які можуть входити до функції, для яких вона дає дійсний результат. Це набір усіх можливих вхідних даних для функції.

Наприклад: На малюнку нижче f(x) = x². Набір усіх входів називається доменом, а набір усіх виходів вважається діапазоном.

Як знайти область визначення функції?

Область визначення функції повинна містити всі дійсні числа, крім точок, де знаменник стає нулем, а доданки під квадратним коренем стають від’ємними. Щоб знайти область визначення, спробуйте знайти точки або вхідні значення, над якими функція не визначена.

Питання 1: Знайдіть домен frac{1}{1-x}

відповідь:

Ця функція може давати невизначений вихід, коли x = 1. Отже, домен є R – {1} .

Питання 2: Знайдіть домен такої функції:

frac{x^2}{(x-3)(x-5)}

Відповідь :

Важливо не робити функцію нескінченною або невизначеною, тому нам потрібно побачити, які значення домену можуть зробити функцію невизначеною або нескінченною.

Дивлячись на знаменник, стає зрозуміло, що значення 3 і 5 перетворюють знаменник на 0, отже, роблячи функцію нескінченною, що є небажаним.

Тому значення x=3 і x=5 не можна розмістити тут.

Домен буде R – {3,5}.

Запитання 3: Знайдіть значення домену, для яких функції Y = (2x ² -1) і Z= (1-3x) рівні.

Відповідь :

Прирівнювання двох функцій:

2 х²– 1 = 1 – 3 х

2x²+ 3x – 2 = 0

2x²+ 4x – x – 2 = 0

java значення enum

2x (x + 2) – 1 (x+2)= 0

(2x – 1) (x + 2) = 0

х = 1/2, -2.

Таким чином, значення домену є {1/2, -2}.

Діапазон функції

Діапазон функції — це набір усіх її можливих виходів.

Приклад: розглянемо функцію ƒ: A⇢A, де A = {1,2,3,4}.

Елементи множини Domain називаються прообразами, а елементи множини Co-Domain, які відображаються на прообрази, називаються зображеннями. Діапазон функції — це набір усіх зображень елементів в області визначення. У цьому прикладі діапазон функції становить {2,3}.

Як знайти область визначення функції?

Діапазон — це розкид значень результату функції. Якщо ми можемо обчислити максимальне та мінімальне значення функції, ми можемо отримати уявлення про діапазон функції.

Запитання 1: Знайдіть діапазон. f(x) = sqrt{x – 1}

відповідь:

Тепер, оскільки функція є квадратним коренем, вона ніколи не може видавати від’ємні значення на виході. Таким чином, мінімальне значення може бути лише 0 при x = 1. Максимальне значення може досягати нескінченності, оскільки ми продовжуємо збільшувати x.

Отже, діапазон функції [0,∞).

Питання 2: Область визначення функції ƒ, визначена f(x) = frac{1}{sqrtx} є?

відповідь:

Дано f(x) = frac{1}{sqrtx – } .

Вибираючи набір доменів, необхідно переконатися в двох речах:

• Знаменник ніколи не дорівнює нулю.
• Член у квадратному корені не стає від’ємним.

Давайте розгорнемо те, що написано всередині терміна, в межах квадратного кореня.

sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases}

мережі та Інтернету

У цьому випадку ми не можемо поставити жодне зі значень x ≥ 0 або x <0.

Отже, f не визначено для жодного x ∈ R. Отже, область є порожньою множиною.

Область визначення та область квадратичних функцій

Квадратичні функції — це функції виду f(x) = ax²+ bx + c, де a, b і c константи, а a ≠ 0. Графік квадратичної функції має форму параболи. В основному це вигнута форма, що відкривається вгору або вниз.

Давайте розглянемо, як побудувати графіки квадратичних функцій,

Отже, у нашій квадратичній функції

• якщо a> 0, то парабола відкривається вгору.
• якщо a <0, парабола відкривається вниз.

Тепер вершина є найвищою або найнижчою точкою нашої кривої залежно від графіка квадратичної функції. Знайти вершину графіка загального квадратичного виразу.

У стандартній квадратичній формі вершина задана як(frac{-b}{2a}, f(frac{-b}{2a})) Спочатку потрібно знайти x-значення вершини, а потім просто підключити його до функції, щоб отримати y-значення.

Примітка: Кожна крива симетрична відносно своєї вертикальної осі.

Давайте розглянемо кілька прикладів,

Запитання: побудуйте графік f(x) = 2x ² + 4x + 2.

відповідь:

Порівняння цього рівняння із загальним рівнянням квадратної функції. a = 2, b = -4 і c = 2.

Оскільки a> 0, то ця парабола розкриється вгору.

• Вершина x-значення =frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1
• Вершина y-значення = 2(-1)²+ 4(-1) + 2 = 0

Отже, вершина знаходиться в (-1,0). Оскільки парабола відкривається вгору, це має бути мінімальне значення функції.

Точка, де графік перерізає вісь y, є (0,2).

Діапазон і область визначення квадратичних функцій можна легко знайти, побудувавши графік. Не завжди потрібно будувати повний графік, для діапазону повинні бути відомі лише напрямок параболи (вгору чи вниз) і значення параболи у вершині. Значення у вершині завжди мінімальне або максимальне залежно від напрямку параболи. Область визначення таких функцій – це завжди цілі дійсні числа, оскільки вони визначені всюди, тобто; немає значення вхідних даних, через яке вони могли б видати undefined як вихідні дані.

Давайте розглянемо інший приклад щодо області визначення та діапазону параболи.

Питання: Побудуйте графік і знайдіть область визначення та діапазон заданої функції, f(x) = -x ² + 4.

відповідь:

рядок до об’єкта json

Оскільки a = -1. Парабола відкриватиметься вниз, тобто; мінімального значення не буде, воно розтягнеться до нескінченності. Але у вершині буде максимальне значення.

Щоб знайти положення вершини, можна використати попередню формулу. Вершина знаходиться в позиції (0,4).

Значення у вершині (0,4) = (0)²+ 4 = 4.

Таким чином, максимальне значення дорівнює 4, а мінімальне значення — від’ємне або нескінченне.

Область визначення функції – (-∞, 4] і область визначення є Р .