Визначник матриці 4×4: Детермінант матриці — фундаментальне поняття лінійної алгебри, необхідне для отримання єдиного скалярного значення з матриці. 4×4 — це квадратна матриця з 4 рядками та 4 стовпцями, детермінант якої можна знайти за формулою, яку ми обговоримо.

Ця стаття буде досліджувати визначення матриці 4 × 4 і керівництво через покроковий процес обчислення визначника матриці 4 × 4. Крім того, він досліджує практичне застосування цієї математичної операції.

Зміст

• Що таке визначник матриці?
• Визначник матриці 4×4
• Властивості матриці 4×4
• Визначник формули матриці 4 × 4
• Як знайти визначник матриці 4 × 4?
• Визначник прикладів матриці 4×4
• Визначник практичних запитань матриці 4×4

Що таке визначник матриці?

The визначник матриці це скалярне значення, яке можна обчислити з елементів a квадратна матриця . Він надає важливу інформацію про матрицю, наприклад, чи є вона оборотною, і коефіцієнт масштабування лінійних перетворень, представлених матрицею.

Різними методами, такими як кофактор розширення або скорочення рядків, можна використовувати для знаходження визначника матриці залежно від розміру та структури матриці. Після обчислення визначник позначається символом det або вертикальними смужками, що охоплюють матрицю.

Визначник матриці 4×4

Матриця 4×4 — це прямокутний масив чисел, розташованих у чотирьох рядках і чотирьох стовпцях. Кожен елемент у матриці ідентифікується його позицією рядка та стовпця. Загальний вигляд матриці 4×4 виглядає так:

egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}

Де_ijпредставляє елемент, розташований в i^тисрядок і j^тисстовпець матриці.

Матриці 4×4 зазвичай зустрічаються в різних областях, таких як комп’ютерна графіка, фізика, інженерія та математика. Вони використовуються для представлення перетворень, розв’язування систем лінійних рівнянь і виконання операцій у лінійній алгебрі.

Властивості матриці 4×4

Ось деякі властивості матриці 4×4, пояснені спрощено:

• Квадратна матриця: Матриця 4×4 має однакову кількість рядків і стовпців, що робить її квадратною матрицею.
• Визначник: Визначник матриці 4×4 можна обчислити за допомогою таких методів, як розширення кофактора або скорочення рядків. Він надає інформацію про оборотність матриці та коефіцієнт масштабування для лінійних перетворень.
• Зворотний: Матриця 4×4 є оборотний якщо його визначник відмінний від нуля. Обернена до матриці 4×4 дозволяє розв’язувати системи лінійних рівнянь і скасовувати перетворення, представлені матрицею.
• Транспонувати: Транспонування матриці 4×4 виходить шляхом перестановки її рядків і стовпців. Це може бути корисним у певних обчисленнях і перетвореннях.
• Власні значення та власні вектори: Матриці 4×4 можна аналізувати, щоб знайти їх власні значення та власні вектори , які представляють властивості матриці при лінійних перетвореннях.
• Симетрія: Залежно від конкретної матриці вона може проявляти такі властивості симетрії, як бути симетричною, кососиметричною або не бути жодною.
• Матричні операції: Різні операції, такі як додавання, віднімання, множення та скалярне множення, можна виконувати з матрицями 4 × 4, дотримуючись певних правил і властивостей.

Читайте детально: Властивості визначників

Визначник формули матриці 4 × 4

Визначник будь-якої матриці 4 × 4, тобтоegin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix} , можна розрахувати за такою формулою:

it(A) = a _{одинадцять} · воно (А _{одинадцять} ) – а ₁₂ · воно (А ₁₂ ) + а ₁₃ · воно (А ₁₃ ) – а ₁₄ · воно (А ₁₄ )

Де_ijпозначає підматрицю видаленням i^тисрядок і j^тисколонка.

Як знайти визначник матриці 4 × 4?

Щоб знайти визначник матриці 4 × 4, ви можете використовувати різні методи, такі як розширення за допомогою мінорів, скорочення рядків або застосування певних властивостей.

Одним із поширених методів є використання розгортання за допоміжними елементами, коли ви розгортаєте вздовж рядка чи стовпця шляхом множення кожного елемента на його співмножник і підсумовування результатів. Цей процес триває рекурсивно, доки ви не досягнете підматриці 2×2, для якої ви можете безпосередньо обчислити визначник. Щоб зрозуміти, як знайти визначник матриці 4×4, розглянемо приклад.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

Крок 1: Розгорніть перший рядок:

it(A) = 2 · it(A _{одинадцять} ) – 1 · it(A ₁₂ ) + 3 · it(A ₁₃ ) – 4 · it(A ₁₄ )

функція python chr

Де_ijпозначає підматрицю, отриману видаленням i-го рядка та j-го стовпця.

Крок 2: обчисліть визначник кожної підматриці 3×3.

Для_{одинадцять}

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 1 2 & 0 & 5 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |А_{одинадцять}| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]

⇒ |А_{одинадцять}| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]

⇒ |А_{одинадцять}| = 10 – 2(-13) + 4

⇒ |А_{одинадцять}| = 10 + 26 + 4 = 40

Для₁₂

A_{12} = egin{bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & 0 & 5 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |А₁₂| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]

⇒ |А₁₂| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]

⇒ |А₁₂| = 0 – 2(8) + 6

⇒ |А₁₂| = 0 – 16+ 6= 10

Для₁₃

A_{13} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 1 3 & 2 & 5 -1 & 3 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |А₁₃| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |А₁₃| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |А₁₃| = 0 – (-1)(8) + 2(11)

⇒ |А₁₃| = 8 + 22 = 30

Для₁₄

A_{14} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 2 3 & 2 & 0 -1 & 3 & 2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |А₁₄| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |А₁₄| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |А₁₄| = 0 – (-1)(6) + 2(11)

⇒ |А₁₄| = 6 + 22 = 28

Крок 3: Підставте детермінанти підматриць 3 × 3 у формулу розширення:

(А) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28

Крок 4. Обчисліть остаточний визначник:

it(A) = 80 – 10 + 90 – 112

it(A) = 48

Отже, визначник заданої матриці 4×4 дорівнює 48.

Також перевірте

• Визначник матриці 2×2
• Визначник матриці 3×3

Визначник прикладів матриці 4×4

приклад 1: A =egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 4 & -1 & 2 & 0 -3 & 2 & 1 & 5 1 & 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

рішення:

Спочатку Розгорнути вздовж першого рядка:

ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14})

Тепер обчисліть визначник кожної підматриці 3×3.

Для _{одинадцять} ):

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight)

= (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))

= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))

= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)

= -13 – 12

= -25

Для ₁₂ ):

A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight)

= (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2 ) -(1)(1))

= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))

= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)

= -14 – 0 – 21

= -35

Для ₁₃ ):

A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0 ) )-(2)(1))

= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))

виконати цикл while у java

= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)

= 12 + 14 – 6

= 20

Для ₁₄ ):

A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))

= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))

= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)

= -8 – 5 + 0

= -13

Тепер підставте детермінанти підматриць 3×3 у формулу розкладання:

det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)

= -50 + 35 + 0 + 39

= -50 + 35 + 39

= 24

Отже, визначник матриці (A) дорівнює 24.

приклад 2: Обчислити визначник матриціA = egin{bmatrix} 2 & 1 & -3 & 4 -1 & 0 & 2 & 5 3 & 2 & 1 & 0 4 & -2 & 3 & 1 end{bmatrix}

рішення:

Щоб знайти визначник матриці ( A ), ми використаємо метод розкладання за мінорами вздовж першого рядка:

ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix}

Тепер давайте обчислимо детермінанти підматриць 3×3:

ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2)))

баш еліф

= 2 · (0 – 4 + 30) = 52

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4))

= -1 · (1 – 6 + 45) = 60

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (6 – 0 – 50) = 44

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (8 – 0 + 0) = -8

Тепер підставте ці визначники назад у формулу розширення:

it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120

Отже, визначник матриці ( A ) дорівнює det(A) = -120.

приклад 3: Знайти визначник матриці B =egin{bmatrix} -2 & 3 & 1 & 0 4 & 1 & -3 & 2 0 & -1 & 2 & 5 3 & 2 & 0 & -4 end{bmatrix}

рішення:

Щоб знайти визначник матриці ( B ), ми скористаємося методом розкладання мінорами вздовж першого рядка:

ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix}

Тепер давайте обчислимо детермінанти підматриць 3×3:

ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2))

= -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))

= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3))

= 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))

= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3)

= -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)

= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3

= 24 + 6 + 6

= 36

Тепер підставте ці визначники назад у формулу розширення:

det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ будь-що

= 8 + 9 – 36 + 0

= -19

Отже, визначник матриці ( B ) дорівнює det(B) = -19

Визначник практичних запитань матриці 4×4

Q1: Обчисліть визначник такої матриці 4×4:A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 2 & 0 3 & -2 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & -1 end{bmatrix}

Q2: Знайти визначник матриці:B = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & 4 & 5 end{bmatrix}

Q3: Обчисліть визначник такої матриці 4×4:C = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 3 & 2 & -1 & 0 0 & -3 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix}

Q4: Визначити визначник матриці:D = egin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 2 0 & 2 & 1 & -3 2 & 0 & -1 & 4 end{bmatrix}

Q5: Знайти визначник матриці: E = egin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 3 & -2 0 & 3 & -1 & 1 end{bmatrix}

Поширені запитання щодо визначника матриці 4×4

Як знайти визначник матриці 4×4?

Щоб знайти визначник матриці 4 × 4, ви можете використовувати різні методи, такі як розкладання кофакторів або методи скорочення рядків.

Що є визначником одиничної матриці 4×4?

Визначник одиничної матриці 4×4 дорівнює 1, оскільки це окремий випадок, коли всі діагональні елементи дорівнюють 1, а решта – 0.

Як знайти визначник матриці 4×4 за допомогою розкладання на кофактори?

Визначення визначника матриці 4 × 4 за допомогою розширення кофактора передбачає розбиття її на менші матриці 3 × 3, застосування формули кофактора та підсумовування продуктів.

Яка формула визначника?

Формула для визначника передбачає підсумовування добутків елементів та їх співмножників у кожному рядку чи стовпчику з урахуванням їх знаків.

Чи може визначник бути негативним?

Так, визначники можуть бути негативними, позитивними або нульовими, залежно від конкретної матриці та її властивостей.

Чи може матриця 4×4 мати обернену?

Матриця 4×4 може мати обернену матрицю, якщо її визначник відмінний від нуля; інакше він є одниною і не має зворотного.

Як показати, що матриця 4×4 оборотна?

Щоб показати, що матриця 4×4 оборотна, підтвердьте, що її визначник відмінний від нуля, що вказує на існування зворотної матриці, і використовуйте додаткові критерії, як-от скорочення рядка, щоб перевірити оборотність.