ВИЗНАЧНИК МАТРИЦІ 3×3

Детермінант — це фундаментальне поняття лінійної алгебри, яке використовується для знаходження одного скалярного значення для даної матриці. У цій статті пояснюється, що таке матриця 3 × 3 і як крок за кроком обчислити визначник матриці 3 × 3, а також її застосування. Незалежно від того, чи ви студент, який вивчає лінійну алгебру, чи ентузіаст, який шукає глибшого розуміння матричних операцій, розуміння детермінанта матриці 3 × 3 є цінним навиком, який потрібно отримати.

Що таке визначник матриці?

Визначник матриці це одне число, обчислене з квадратної матриці. У галузі лінійної алгебри визначники знаходять за допомогою значень у квадратній матриці. Це число діє як коефіцієнт масштабування, впливаючи на те, як матриця перетворюється. Визначники є цінними для розв’язування систем лінійних рівнянь, знаходження оберненого до матриці та різноманітних операцій числення.

Що таке матриця 3 × 3?

Матриця 3 × 3 – це a матриця в якій кількість рядків і стовпців дорівнює 3. Оскільки кількість рядків і стовпців дорівнює, отже, 3 × 3 є квадратною матрицею порядку 3 × 3. Матриця схожа на таблицю з чисел, організованих у рядки та стовпці. Він використовується для зберігання та роботи з даними в математиці та інших галузях. Тоді як матриця 3 × 3 — це певний тип матриці, яка складається з трьох рядків і трьох стовпців. Його можна представити у вигляді:

Матриця 3 × 3

Властивості матриці 3 × 3

Як і інші матриці, матриці 3 × 3 також мають деякі важливі властивості.

Квадратна матриця : Матриця 3 × 3 має три рядки та три стовпці, що робить її квадратною матрицею.

Визначник: Матриця 3 × 3 має визначник, числове значення, вирішальне для розв’язування рівнянь і знаходження обернених.

Матричне множення: Ви можете помножити матрицю 3 × 3 на іншу матрицю, якщо кількість стовпців у першій матриці збігається з кількістю рядків у другій.

Зворотний: Матриця 3 × 3 може мати обернену матрицю, якщо її визначник відмінний від нуля. Обернена матриця при множенні на вихідну матрицю дає одиничну матрицю.

Визначник формули матриці 3 × 3

Існують різні методи обчислення визначника матриці. Найбільш поширеним підходом є розбиття даної матриці 3×3 на менші 2×2 детермінанти. Це спрощує процес знаходження визначника і широко використовується в лінійній алгебрі.

Візьмемо квадратну матрицю 3 × 3, яка записується так:

Щоб обчислити визначник матриці A, тобто |A|.

Розгорніть матрицю вздовж елементів першого рядка.

тому

Як знайти визначник матриці 3 × 3?

Давайте розберемося з обчисленням матриці 3 × 3 на прикладі. Для наведеної нижче матриці 3 × 3.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Крок 1: Виберіть довідковий рядок або стовпець

Виберіть рядок і стовпець для початку, припустімо, що в цьому прикладі ми беремо перший елемент (2) як еталон для обчислення визначника матриці 3 × 3.

Отже, розгорнувши вздовж рядка R₁

видалити

Крок 2: Закресліть рядок і стовпець

Видаліть вибраний рядок і стовпець, щоб спростити їх у матриці 2 × 2.

Матриця 2×2

Крок 3: Знайдіть визначник матриці 2 × 2

Знайдіть визначник матриці 2 × 2 за формулою

Визначник = (a × d) – (b × c)

Перехресне множення

як читати файл json

Тут a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

помістивши ці значення у наведену вище формулу визначника, отримаємо

Визначник = (0 × 2) – (1 × -1)

Визначник = 0- (-1)

Визначник = 0+1

∴ Визначник матриці 2 × 2 = 1

Крок 4: Помножте на вибраний елемент

Помножте визначник матриці 2 × 2 на вибраний елемент із еталонного рядка (який у цьому випадку дорівнює 2, 1 і 3):

перший елемент = 2 × 1 = 2

Крок 5: повторіть цей процес для другого елемента у вибраному еталонному рядку

Для другого елемента

Знайдіть визначник для другого елемента 1, помістивши значення матриці 2×2 у формулу

Визначник = (a × d) – (b × c)

Тут a = 4, b = 1, c = 2, d = 2

Визначник = (4 × 2) – (1 × 2)

Визначник = 8 – 2

Визначник = 6

Тепер помножте визначник матриці 2 × 2 на вибраний елемент із контрольного рядка (який у цьому випадку дорівнює 1):

другий елемент = 1 × 6 = 6

Крок 6: повторіть цей процес для третього елемента у вибраному еталонному рядку

Для третього елемента

Знайдіть визначник для третього елемента 3, помістивши значення матриці 2×2 у формулу

Визначник = (a × d) – (b × c)

Тут a = 4, b = 0, c = 2, d = -1

Визначник = (4 × -1) – (0 × 2)

Визначник = -4 – 0

Визначник = -4

Тепер помножте визначник матриці 2×2 на вибраний елемент із контрольного рядка (який у цьому випадку дорівнює 3):

другий елемент = 3 × (-4) = -12

Крок 7: Використання формули

Складіть усі результати кроків 4, 5 і 6

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 є визначником матриці 3 × 3.

Застосування визначника матриці 3 × 3

За допомогою визначника матриці можна знайти обернене рівняння та розв’язати систему лінійних рівнянь. Отже, ми навчимося знаходити обернену матрицю 3 × 3, а також розв’язувати систему лінійних рівнянь за допомогою правила Крамера, яке передбачає використання визначника матриці 3 × 3.

Матриця, обернена 3 × 3

Формула для знаходження оберненої до квадратної матриці A така:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Де,

А-1 є обернена до матриці A .
Det(A) представляє визначник матриці A.
adj(A) позначає ад’югат матриці A

Простіше кажучи, ви можете виконати такі кроки, щоб знайти обернену матрицю:

Крок 1. Обчисліть визначник матриці А.

Крок 2. Знайдіть ад’югат матриці A.

Крок 3. Помножте кожен елемент у ад’югаті на 1/det(A).

Ця формула використовується для квадратних матриць (матриць з однаковою кількістю рядків і стовпців) і передбачає, що визначник відмінний від нуля, що є необхідною умовою для того, щоб матриця мала обернену.

Правило Крамера

Правило Крамера містить формулу для розв’язування системи лінійних рівнянь за допомогою визначників. Для системи лінійних рівнянь з n змінними задаються у вигляді

AX=B

Де,

A = Коефіцієнт квадратної матриці
X = матриця-стовпець зі змінними
B = матриця-стовпець із константами

Розглянемо наступну систему лінійних рівнянь

a₁x + b₁y + c₁z + . . . = d₁

a₂x + b₂y + c₂z + . . . = d₂

. . .

a_пx + b_пy + c_пz + . . . = d_п

Змінні x, y, z, … визначаються за такими формулами:

х = D_х/D
y = D_і/D
z = D_с/D

Де:

D – визначник матриці коефіцієнтів.
Д_хє визначником матриці, отриманої шляхом заміни коефіцієнтів x на константи в правій частині.
Д_і– визначник матриці, отриманий заміною коефіцієнтів при y
Д_с– визначник матриці, отриманий заміною коефіцієнтів при z

Правило Крамера застосовне, коли визначник матриці коефіцієнтів D відмінний від нуля. Якщо D = 0, не можна застосувати правило, яке вказує або на відсутність розв’язку, або на нескінченну кількість розв’язків залежно від конкретного випадку.

Також перевірте

Типи матриць
Система лінійних рівнянь із трьома змінними
Матричні операції

Визначник розв’язаних прикладів матриці 3 × 3

Приклад 1: Знайдіть визначник матриці A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Визначник A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Визначник A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Визначник A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Визначник A = (-44) +15 – 4

⇒ Визначник A =-44+11

∴ Визначник A, тобто |A| = (-33)

Приклад 2: Знайти визначник матриці B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Детермінант B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Визначник B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Визначник B = 1(6) – 0 – 12
діаграма моделі e-r

⇒ Визначник B =6-12

⇒ Визначник B = (-6)

∴ Визначник B, тобто |B| = 6

Приклад 3: Знайдіть визначник матриці C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Визначник матриці C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Визначник C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Визначник C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Визначник C = 24 + 10 -8

⇒ Визначник C = 26

∴ Визначник C, тобто |C| = 26

Приклад 4: Розв’яжіть задану систему рівнянь за правилом Крамера

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

рішення:

Крок 1: Спочатку знайдіть визначник Д матриці коефіцієнтів.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Розв’язуючи цей визначник Д

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

Крок 2: Тепер знайдіть визначники D_х,Д_іі Д_с

Для Д_х, ми замінюємо коефіцієнти x на константи в правій частині:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Для Д_і, ми замінюємо коефіцієнти y на константи:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Для Д_с, замінимо коефіцієнти z на константи:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Про розв'язування визначника D_х

Д_х= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ Д_х= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ Д_х= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ Д_х= -49 + 42 + 28

Таким чином, Д_х= 21

Про розв'язування визначника D_і

Д_і= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ Д_і= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ Д_і= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ Д_і= -68 + 14 + 24

⇒ Д_і= -30

Про розв'язування визначника D_с

Д_с= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ Д_с= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ Д_с= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ Д_с= 20 – 6 – 98

⇒ Д_с= -84

крок 3: Тепер виставляємо значення D, D_х, Д_іі Д_су формулі правила Кармера, щоб знайти значення x, y і z.

х = D_х/D = 21/(-19)

y = D_і/D = (-30)/(-19)

z = D_с/D = (-84)/(-19)

Практичні запитання щодо визначника матриці 3 × 3

Q1. Обчислити визначник одиничної матриці:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Знайти визначник матриці:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Визначити визначник матриці:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Обчислити визначник матриці:

привіт світ з java

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Q5. Знайти визначник матриці:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Q6. Визначити визначник матриці:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}