Формули похідних в обчисленні є одним із важливих інструментів обчислення, оскільки формули похідних широко використовуються для легкого знаходження похідних різних функцій, а також допомагають нам досліджувати різні галузі математики, техніки тощо.

Ця стаття досліджує всі формули похідних включає загальну формулу похідної, формули похідної для логарифмічних і експоненціальних функцій, формули похідної для тригонометричних співвідношень, формули похідної для обернених тригонометричних співвідношень і формули похідної для гіперболічних функцій. Формула похідної важлива для учнів 12 класу під час складання іспитів. Ми також розв’яжемо кілька прикладів похідних за допомогою різних формул похідних. Давайте докладніше розглянемо тему формули похідної.

Зміст

• Що таке похідна?
• Що таке формули похідних?
• Основні формули похідних – правила похідних у обчисленні
• Список формул похідних
• Деякі інші формули похідних
• Як знайти похідні?
• Застосування формули похідної

Що таке похідна?

The похідні представляють швидкість функції по відношенню до будь-якої змінної. Похідна функції f(x) позначається як f'(x) або (d/dx) [f(x)]. Процес знаходження похідних називається диференціюванням.

Найбільш фундаментальною формулою похідної є визначення похідної, яка визначається як:

f'(x) = lim _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Існують різні формули похідних, включаючи загальні формули похідних, формули похідних для тригонометричних функцій і формули похідних для обернених тригонометричних функцій тощо.

Читайте детально: Обчислення в математиці

Що таке формули похідних?

Формули похідної — це ті математичні вирази, які допомагають нам обчислити похідну певної функції відносно її незалежної змінної. Простіше кажучи, формули, які допомагають знаходити похідні, називаються формулами похідних. Існує кілька формул похідних для різних функцій.

Приклади формули похідної

Деякі приклади формул для похідних наведено нижче:

• Правило потужності: Якщо f(x) = x^п, де n є константою, тоді похідна визначається як:

f'(x) = nx ^n-1

• Постійне правило: Якщо f(x) = c, де c — константа, то похідна дорівнює нулю:

f'(x) = 0

• Експоненціальні функції: Якщо f(x) = e^х, потім:

f'(x) = e ^х

Давайте структуровано обговоримо всі формули, пов’язані з похідною.

Основні формули похідних – правила похідних у обчисленні

Деякі з найпростіших формул для знаходження похідної:

• Правило постійності
• Правило потужності
• Правило різниці сум
• Правило продукту
• Правило частки
• Правило ланцюжка

Розглянемо ці правила докладніше:

Правило константи для похідних

Правило константи для похідних визначається так:

(d/dx) константа = 0

Правило ступеня для похідних

Правило ступеня для похідних визначається так:

(d/dx) х ^п = nx ^n-1

Правило різниці сум для похідних

Правило суми та різниці для похідних визначається так:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Правило продукту для похідних інструментів

Правило добутку для похідних задається так:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Правило частки для похідних

Правило частки для похідних визначається так:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Правило ланцюга для похідних

Правило ланцюга для похідної визначається так:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Список формул похідних

Нижче наведено формули похідних для різних функцій:

Формули експоненційної та логарифмічної похідної

Формули похідної для експоненціальної та логарифмічної функцій наведено нижче:

• (d/dx) e^х= і^х
• (d/dx) а^х= а^хв a
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) журнал_ax= (1/x lna)

Детальніше,

• Логарифми
• Похідна експоненціальних функцій

Формули тригонометричних похідних

Нижче наведено формули похідних для тригонометричних функцій:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = сек²х
• (d/dx) cot x = -cosec²х
• (d/dx) sec x = sec x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

Дізнайтеся більше про Похідна тригонометричних функцій .

Формула похідної обернених тригонометричних функцій

Формули похідних для обернених тригонометричних функцій наведено нижче:

• (d/dx) без^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) так^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) дитяче ліжечко^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) сек^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) cosec^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

Читати далі, Похідна зворотних тригонометричних функцій .

Похідна гіперболічних функцій

Нижче наведено формули похідних для тригонометричних функцій:

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = сама²х
• (d/dx) coth x = -cosech²х
• (d/dx) self x = -self x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Деякі інші формули похідних

Існують деякі інші функції, такі як неявні функції, параметричні функції та похідні вищого порядку, формули похідних яких наведено нижче:

Формула неявної похідної

Спосіб знаходження похідної неявної функції називається неявним диференціюванням. Розглянемо приклад, щоб зрозуміти метод неявного знаходження похідних.

Приклад: знайти похідну від xy = 2

рішення:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Із заданого рівняння y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

Дізнайтеся більше про Неявна диференціація .

Формула параметричної похідної

Якщо функція y(x) виражена в термінах третьої змінної t, а x і y можуть бути представлені в x = f(t) і y = g(t), тоді цей тип функції називається параметричною функцією.

Якщо y є функцією x, а x = f(t) і y = g(t) є двома диференційованими функціями параметра t, тоді похідна параметричної функції визначається як:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), так що (dx/dt) ≠ 0

Докладніше про Параметрична диференціація .

Формула похідної вищого порядку

Знаходження похідної функції більш ніж один раз дає похідну функції вищого порядку.

п ^тис Похідна = d ^п y/(dx) ^п

Докладніше про Похідна вищого порядку .

Як знайти похідні?

Щоб знайти похідні функції, виконайте такі дії:

• Спочатку перевірте тип функції, чи є вона алгебраїчною, тригонометричною тощо.
• Після знаходження типу застосуйте до функції відповідні формули похідної.
• Отримане значення дає похідну функції за допомогою формули похідних.

Застосування формули похідної

Існує багато застосувань формул похідних. Деякі з цих програм наведено нижче:

• Похідні використовуються для визначення швидкості зміни будь-якої величини.
• Його можна використовувати для знаходження максимумів і мінімумів.
• Використовується в зростаючих і спадних функціях.

Люди також переглядають:

• Формули диференціювання
• Формула диференціювання та інтегрування
• Логарифмічне диференціювання

Розв’язані приклади на формулу похідної

Приклад 1: Знайдіть похідну x ⁵ .

рішення:

Нехай y = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y’ = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

Приклад 2: Знайдіть похідну log ₂ х.

рішення:

Нехай y = log₂х

⇒ y’ = (d/dx) [log₂x]

⇒ y’ = 1/ [x ln2]

Приклад 3: Знайти похідну функції f(x) = 8 . 6 ^х

рішення:

f(x) = 8 . 6^х

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^х]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^х]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Приклад 4: Знайти похідну функції f(x) = 3sinx + 2x

рішення:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Приклад 5: Знайти похідну функції f(x) = 5cos ^-1 x + e ^х

рішення:

f(x) = 5cos^-1x + e^х

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^х]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^х]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^х]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + і^х

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + і^х

Практичні завдання на формулу похідної

Проблема 1: Оцініть: (d/dx) [x⁴].

Проблема 2: Знайдіть похідну y = 5cos x.

Проблема 3: Знайдіть похідну y = cosec x + cot x.

Проблема 4: Знайдіть похідну f(x) = 4^х+ колода₃х + отже^-1х.

Проблема 5: Оцініть: (d/dx) [40].

Проблема 6: Знайдіть похідну f(x) = x⁵+ 5x³+ 1 .

Поширені запитання про формулу похідної

Що таке похідна?

Значення, яке представляє швидкість зміни функції відносно будь-якої змінної, називається похідною.

Як представлені похідні інструменти?

Похідні представлені як (d/dx) або, якщо f(x) є функцією, тоді похідна від f(x) представлена ​​як f'(x).

Як обчислюється похідна від константи?

Похідна константи завжди дорівнює нулю. У математичній нотації, якщо «C» є константою, то dC/dx = 0.

Напишіть загальну формулу похідної x^п.

Загальна формула для похідної x^п= nx^n-1.

Як обчислити похідні функції?

Щоб обчислити похідні функції, ми можемо застосувати формулу похідних відповідно до заданої функції.

Яка формула для похідної логарифмічної функції?

Похідна функції натурального логарифма ln(x) дорівнює 1/x. У математичній нотації, якщо y = ln(x), то dy/dx = 1/x.

Яка формула використовується для знаходження похідної показникової функції?

Похідна показникової функції y = a^х(де «a» — константа), визначається за формулою dy/dx = a^х× ln(a).

Що таке похідні вищого порядку?

Похідні вищого порядку — це похідні функції, взяті більше одного разу. Друга похідна є похідною першої, третя — другої і т.д.

Що таке формула похідної для e^х?

Похідна функції f(x) = e^х(де «e» — число Ейлера, приблизно 2,71828) це просто f'(x) = e^х.

Напишіть формулу похідної для u/v.

Похідна частки двох функцій u(x) і v(x) визначається за правилом частки:

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

шрифт gimp

Що таке формула похідної для 1/x?

Похідна функції f(x) = 1/x визначається як:

f'(x) = -1/x ²