logo

Булева алгебра

Булева алгебра — це тип алгебри, створений за допомогою роботи з двійковою системою. У 1854 році Джордж Буль, англійський математик, запропонував цю алгебру. Це варіант пропозиційної логіки Арістотеля, який використовує символи 0 і 1, або Істинно і Хибно. Булева алгебра має справу з бінарними змінними та логічними операціями.

Булева алгебра є фундаментальною у розробці цифрових електронних систем, оскільки всі вони використовують концепцію Булева алгебра для виконання команд. Окрім цифрової електроніки, ця алгебра також знаходить своє застосування в теорії множин, статистиці та інших розділах математики.



У цій статті ми детально дізнаємося про основні логічні операції, логічні вирази, таблиці істинності, логічні закони та інші.

Зміст

Операції булевої алгебри

Існують різні операції, які використовуються в булевій алгебрі, але основні операції, які складають основу булевої алгебри, є.



  • Заперечення або НЕ операція
  • Сполучник або Операція І
  • диз'юнкція або операція АБО


Булева алгебра-операції

Вираз булевої алгебри




перевірити: Основи булевої алгебри в цифровій електроніці

Ці операції мають власні символи та пріоритет, і таблиця, додана нижче, показує символ і пріоритет цих операторів.

Оператор

символ

Пріоритет

slf4j проти log4j

НІ

«(або) ⇁

Перший

І

. (або) ∧

друге

АБО

+ (або) ∨

По-третє

Ми можемо легко визначити ці операції за допомогою двох логічних змінних.

Давайте візьмемо дві логічні змінні A і B, які можуть мати будь-яке з двох значень 0 або 1, тобто вони можуть бути або ВИМКНЕНО, або УВІМКНЕНО. Тоді ці операції пояснюються так:

Операція заперечення або НЕ

Використовуючи НІ змінює значення логічної змінної з 0 на 1 або навпаки. Це можна розуміти так:

  • Якщо A = 1, то використовуючи операцію NOT, ми маємо (A)’ = 0
  • Якщо A = 0, то використовуючи операцію NOT, ми маємо (A)’ = 1
  • Ми також представляємо операцію заперечення як ~A, тобто якщо A = 1, ~A = 0

перевірити: Властивості булевої алгебри

Сполучення або операція І

Використовуючи І операція задовольняє умову, якщо обидва значення окремих змінних істинні, а якщо будь-яке зі значень хибне, тоді ця операція дає негативний результат. Це можна розуміти як

  • Якщо A = True, B = True, тоді A . B = Правда
  • Якщо A = True, B = False або A = false, B = True, тоді A . B = невірно
  • Якщо A = False, B = False, тоді A . B = невірно

перевірити: Булеві алгебраїчні теореми

Операція диз'юнкції (АБО).

Використовуючи АБО Операція задовольняє умову, якщо будь-яке значення окремих змінних є істинним, вона дає негативний результат, лише якщо обидва значення є хибними. Це можна розуміти як

  • Якщо A = True, B = True, то A + B = True
  • Якщо A = True, B = False або A = false, B = True, тоді A + B = True
  • Якщо A = False, B = False, тоді A + B = False

Таблиця булевої алгебри

Нижче наведено вираз для булевої алгебри

ОпераціясимволВизначення
І Операція ⋅ або ∧Повертає true, лише якщо обидва вхідні дані є true.
Операція АБО + або ∨Повертає true, якщо принаймні один введений параметр є true.
НЕ Операція ¬ або ~Змінює введення.
Операція XOR Повертає true, якщо рівно один введений параметр є true.
Операція NAND Повертає false, лише якщо обидва введення є істинними.
Операція NOR Повертає false, якщо принаймні один вхід є істинним.
Операція XNOR Повертає true, якщо обидва вхідні дані рівні.

Логічний вираз і змінні

Логічний вираз — це вираз, який створює логічне значення під час обчислення, тобто створює або істинне значення, або хибне значення. Тоді як логічні змінні - це змінні, які зберігають логічні числа.

P + Q = R – це логічна фраза, у якій P, Q і R є логічними змінними, які можуть зберігати лише два значення: 0 і 1. 0 і 1 є синонімами для false і True і іноді використовуються в булевій алгебрі ми також використовуємо Yes замість True і No замість False.

Таким чином, ми можемо сказати, що оператори, які використовують булеві змінні та оперують логічними операціями, є булевими виразами. Деякі приклади булевих виразів:

  • A + B = Правда
  • A.B = Правда
  • (A)’ = невірно

перевірити: Аксіоми булевої алгебри

Терміни булевої алгебри

Існують різні термінології, пов’язані з булевою алгеброю, які використовуються для пояснення різних параметрів Булева алгебра . Це включає,

  • Булева алгебра
  • Логічні змінні
  • Булева функція
  • Буквальний
  • Доповнюють
  • Таблиця істинності

Тепер ми обговоримо важливу термінологію булевої алгебри в статті нижче,

Булева алгебра

Розділ алгебри, який має справу з бінарними або логічними операціями, називається булевою алгеброю. Він був представлений Джорджем Булем у середині 19 століття. Він використовується для аналізу логічних функцій у двійкових змінних і керування ними. Він широко використовується в різних сферах, таких як цифровий логічний дизайн, інформатика та телекомунікації.

Логічні змінні

Змінні, які використовуються в булевій алгебрі та зберігають логічне значення 0 і 1, називаються булевими змінними. Вони використовуються для зберігання істинних чи хибних значень. Логічні змінні є фундаментальними для представлення логічних станів або пропозицій у булевих виразах і функціях.

Булева функція

Функція булевої алгебри, утворена використанням булевих змінних і логічних операторів, називається булевою функцією. Він формується шляхом поєднання логічних змінних і логічних виразів, таких як І, АБО та НІ. Він використовується для моделювання логічних зв’язків, умов або операцій.

Буквальний

Змінна або доповнення до змінної в булевій алгебрі називається літералом. Літерали є основними будівельними блоками булевих виразів і функцій. Вони представляють операнди в логічних операціях.

Доповнюють

Обернений до булевої змінної називається доповненням до змінної. Доповнення до 0 дорівнює 1, а доповнення до 1 дорівнює 0. Його позначають ‘ або (¬) над змінною. Доповнення використовуються для представлення логічних заперечень у булевих виразах і функціях.

Таблиця істинності

Таблиця, що містить усі можливі значення логічних змінних і комбінацію змінної разом із заданою операцією, називається таблицею істинності. Кількість рядків у таблиці істинності залежить від загальної кількості булевих змінних, які використовуються в цій функції. Він визначається за допомогою формули

Кількість рядків у таблиці істинності = 2 п

де n – кількість використаних булевих змінних.

перевірити:

  • Теорія множин
  • Статистика

Таблиці істинності в булевій алгебрі

Таблиця істинності представляє всі комбінації вхідних і вихідних значень у вигляді таблиці. У ньому показані всі можливості входу та виходу, і тому назва таблиці істинності. У логічних задачах таблиці істинності зазвичай використовуються для представлення різних випадків. T або 1 позначає «Істинно», а F або 0 позначає «Хибне» в таблиці істинності.

Приклад: намалюйте таблицю істинності умов A + B і A.B, де A і b є логічними змінними.

рішення:

Необхідна таблиця істинності:

АБ

X = A + B

Y = A.B
ТТ

Т

Т
ТФ

Т

Ф
ФТ

Т

стеки Java
Ф
ФФ

Ф

Ф

Правила булевої алгебри

У булевій алгебрі існують різні фундаментальні правила для логічного вираження.

  • Двійкове подання: У булевій алгебрі змінні можуть мати лише два значення: 0 або 1, де 0 означає низький, а 1 — високий. Ці змінні представляють логічні стани системи.
  • Представлення доповнення: Доповнення змінних представлено (¬) або (‘) над змінною. Це вказує на логічне заперечення або інверсію значення змінної. Отже, доповнення змінної A можна представити за допомогоюoverline{A}, якщо значення A=0, то його доповнення дорівнює 1.
  • Операція АБО: Операція АБО представлена ​​знаком (+) між змінними. Операція АБО повертає істину, якщо принаймні один із операндів істинний. Для прикладу візьмемо три змінні A, B, C. Операцію АБО можна представити як A+B+C.
  • І операція: Операція І позначається (.) між змінними. Операція І повертає істину, лише якщо всі операнди істинні. Для прикладу візьмемо три змінні A, B, C. Операція AND може бути представлена ​​A.B.C або ABC.

Закони для булевої алгебри

Основні закони булевої алгебри додано в таблицю, додану нижче,

Законформа АБОІ форма
Закон про тотожність P + 0 = PP.1 = P
Ідемпотентний закон P + P = PП.П = П
Комутативний закон P + Q = Q + PP.Q = Q.P
Асоціативний закон P + (Q + R) = (P + Q) + RP.(Q.R) = (P.Q).R
Закон розподілу P + QR = (P + Q).(P + R)P.(Q + R) = P.Q + P.R
Закон інверсії (А’)’ = А(А’)’ = А
Із закону Моргана (P + Q)’ = (P)’.(Q)’(P.Q)' = (P)' + (Q)'

Давайте ознайомимося з цими законами докладніше.

переваги електрики

Закон про тотожність

У булевій алгебрі ми маємо елементи тотожності як для операцій І(.), так і АБО(+). Закон тотожності стверджує, що в булевій алгебрі ми маємо такі змінні, що оперуючи операціями І та АБО, ми отримуємо той самий результат, тобто.

  • А + 0 = А
  • A.1 = A

Комутативний закон

Бінарні змінні в булевій алгебрі дотримуються комутативного закону. Цей закон стверджує, що робота з булевими змінними A і B подібна до роботи з булевими змінними B і A. Тобто,

  • A. B = B. A
  • A + B = B + A

Асоціативний закон

Асоціативний закон стверджує, що порядок виконання булевих операторів нелогічний, оскільки їх результат завжди однаковий. Це можна розуміти як

  • ( A . B ) . C = A . ( B . C )
  • (A + B) + C = A + (B + C)

Закон розподілу

Логічні змінні також дотримуються закону розподілу, а вираз для закону розподілу подається як:

  • А . ( B + C) = (A . B) + (A . C)

Закон інверсії

Закон інверсії — унікальний закон булевої алгебри, який стверджує, що доповненням до доповнення будь-якого числа є саме число.

  • (А’)’ = А

Крім цих інших законів, згадані нижче:

І Закон

І закон булевої алгебри використовує оператор І, а закон І такий:

  • А . 0 = 0
  • А . 1 = А
  • А . А = А

АБО Закон

Закон АБО булевої алгебри використовує оператор АБО, а закон АБО такий:

  • А + 0 = А
  • А + 1 = 1
  • А + А = А

Також називають закони де Моргана З теореми Моргана . Вони є найважливішими законами в Булева алгебра і вони додані нижче під заголовком Теорема булевої алгебри

Теореми булевої алгебри

У булевій алгебрі є дві основні теореми, які мають велике значення, а саме перші закони Де Моргана та другі закони Де Моргана. Їх також називають теоремами Де Моргана. Тепер давайте детально дізнаємося про обидва.

Перші закони де Моргана

(P.Q)' = (P)' + (Q)'

Таблиця істинності для того ж наведена нижче:

ПQ(P)'(Q)'(P.Q)'(P)’ + (Q)’
ТТФФФФ
ТФФТТТ
ФТТФТТ
ФФТТТТ

Ми можемо чітко бачити, що значення істинності для (P.Q)’ дорівнюють значенням істинності для (P)’ + (Q)’, що відповідають тому самому входу. Отже, перший закон Де Моргана вірний.

З Других законів Моргана

Заява: Доповнення до суми (АБО) двох булевих змінних (або виразів) дорівнює добутку (І) доповнення кожної булевої змінної (або виразу).

(P + Q)’ = (P)’.(Q)’

Доказ:

Таблиця істинності для того ж наведена нижче:

ПQ(P)'(Q)'(P + Q)'(P)’.(Q)’
ТТФФФФ
ТФФТФФ
ФТТФФФ
ФФТТТТ

Ми можемо чітко бачити, що значення істинності для (P + Q)’ дорівнюють значенням істинності для (P)’.(Q)’, що відповідає тому самому входу. Отже, другий закон Де Моргана вірний.

Детальніше,

Розв’язані приклади з булевої алгебри

Намалюйте таблицю істинності для P + P.Q = P

рішення:

Таблиця істинності для P + P.Q = P

П Q P.Q P + P.Q
ТТТТ
ТФФТ
ФТФФ
ФФФФ

У таблиці істинності ми бачимо, що істинні значення для P + P.Q точно такі ж, як і для P.

Намалюйте таблицю істинності для P.Q + P + Q

рішення:

Таблиця істинності для P.Q + P + Q

П Q P.Q P.Q + P + Q
ТТТТ
ТФФТ
ФТФТ
ФФФФ

Розв'язати extbf{(overline{A} + B cdot C)}

рішення:

Використання закону Де Моргана

overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C)

Використання закону розподілу

mysql вставити в

overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Отже, спрощений вираз для заданого рівнянняoverline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Висновок

Булева алгебра служить основою для представлення логічних виразів і керування ними за допомогою двійкових змінних і логічних операторів. Він відіграє вирішальну роль у різних сферах, таких як проектування цифрової логіки, комп’ютерне програмування та аналіз схем. Забезпечуючи систематичний спосіб опису та аналізу логічних зв’язків, Булева алгебра дозволяє розробляти складні системи та алгоритми. Його принципи та операції, включаючи AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR та XNOR, утворюють будівельні блоки для розробки логічних схем, написання ефективного коду та вирішення логічних задач.

Булева алгебра - поширені запитання

Що таке булева алгебра?

Булева алгебра також називається Логічна алгебра це розділ математики, який має справу з булевими змінними, такими як 0 і 1.

Що таке основні логічні оператори?

Є три основні логічні оператори, які:

  • І (сполучення)
  • АБО (диз'юнкція)
  • НЕ (заперечення)

Як мінімізувати булеву функцію?

Існує кілька методів мінімізації булевих функцій, зокрема:

  • Алгебраїчне спрощення:
  • Карти Карно (K-Maps):
  • Алгоритм Куайна-МакКласкі:
  • Метод таблиці:
  • Умови «Недогляд»:

Які застосування булевої алгебри?

Булева алгебра має різноманітне застосування. Він використовується для спрощення логічних схем, які є основою сучасних технологій.

Що означає 0 у булевій алгебрі?

0 дюймів Булева алгебра представляє умову False або умову вимкнення.

Що означає 1 у булевій алгебрі?

1 в Булева алгебра представляє умову True або умову Switch On.

Що таке закони булевої алгебри?

Закони булевої алгебри — це правила для роботи з логічними виразами з бінарними змінними, забезпечення узгодженості та спрощення таких операцій, як додавання, множення та доповнення, що має вирішальне значення в таких галузях, як цифрова електроніка та інформатика.

Які 5 законів булевої алгебри?

Булева алгебра керується п'ятьма основними законами, які служать основою для маніпулювання логічними виразами:

1. Закон тотожності для І

2. Закон тотожності для ОР

3. Закон доповнення для І

4. Закон доповнення для ОР

5. Ідемпотентний закон

Які 3 закони булевої логіки?

Три основні закони булевої логіки:

  • Закон про тотожність (додавання нуля або множення на одиницю залишає змінну незмінною)
  • Закон про панування (додавання змінної до її доповнення призводить до 1, а множення її на її доповнення призводить до 0)
  • Комутативний закон (порядок змінних можна змінити при додаванні або множенні без зміни результату).

Що таке теорема Де Моргана?

Теорема де Моргана стверджує, що t доповнення логічної операції І еквівалентно операції АБО доповнень окремих термінів, і навпаки. Це фундаментальний принцип булевої алгебри, який використовується для спрощення логічних виразів і оптимізації логічних схем.