Тригонометрія — важлива галузь математики, яка вивчає співвідношення між кутами та довжинами сторін прямокутного трикутника. Шість тригонометричних співвідношень або функцій — це синус, косинус, тангенс, косеканс і секанс, а тригонометричне відношення — це відношення між сторонами прямокутного трикутника. Функції синус, косинус і тангенс є трьома важливими тригонометричними функціями, оскільки інші три, тобто косеканс, секанс і котангенс, є функціями, зворотними функціям синуса, косинуса і тангенса відповідно.

• sin θ = протилежна сторона/гіпотенуза
• cos θ = прилегла сторона/гіпотенуза
• tan θ = протилежна сторона/прилегла сторона
• cosec θ = гіпотенуза/протилежна сторона
• сек θ = Гіпотенуза/прилегла сторона
• ліжечко θ = сусідня сторона/протилежна сторона

Функція тангенса — одна з 6 тригонометричних функцій, які використовуються в формули тригонометрії .

Зміст

• Формула дотичної
• Деякі основні формули дотичної
• Функція тангенса в термінах функції синуса
• Функція тангенса в термінах функції косинуса
• Функція тангенс через котангенс
• Функція тангенс в термінах косекансної функції
• Функція тангенс в термінах функції січної

Формула дотичної

Тангенс кута в прямокутному трикутнику - це відношення довжини протилежної сторони до довжини сторони, прилеглої до даного кута. Ми запишемо функцію тангенса як tan. Розглянемо прямокутний трикутник XYZ, один із гострих кутів якого дорівнює θ. Протилежною стороною є сторона, протилежна куту θ, а прилеглою стороною є сторона, яка прилягає до кута θ.

Тепер формула тангенса для даного кута θ є,

tan θ = протилежна сторона/прилегла сторона

Деякі основні формули дотичної

Функція тангенса в квадрантах

Функція тангенса додатна в першому і третьому квадрантах і від’ємна в другому і четвертому квадрантах.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^вулквадрант)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^ndквадрант)
• tan (π + θ) = tan θ (3^rdквадрант)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^тисквадрант)

Функція тангенс як від’ємна функція

Функція тангенса є від’ємною функцією, оскільки тангенс від’ємного кута є від’ємним значенням дотичного додатного кута.

tan (-θ) = – tan θ

Функція тангенса в термінах функції синуса та косинуса

Функцію тангенсу через функції синуса та косинуса можна записати як

tan θ = sin θ/cos θ

Ми знаємо, що tan θ = протилежна сторона/прилегла сторона

Тепер розділіть чисельник і знаменник на гіпотенузу

tan θ = (протилежна сторона/гіпотенуза)/(прилегла сторона/гіпотенуза)

Ми знаємо, що sin θ = протилежна сторона/гіпотенуза

cos θ = прилегла сторона/гіпотенуза

Отже, tan θ = sin θ/cos θ

Функція тангенса в термінах функції синуса

Функцію тангенса в термінах функції синуса можна записати як

tan θ = sin θ/(√1 – sin ² я)

ми це знаємо,

tan θ = sin θ/cos θ

fizzbuzz java

З тотожностей Піфагора ми маємо,

без²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²i

cos θ = √(1 – sin²я)

Отже, tan θ = sin θ/(√1 – sin²я)

Функція тангенса в термінах функції косинуса

Функцію тангенса в термінах функції косинуса можна записати як

tan θ = (√1 -cos ² i)/cos i

ми це знаємо,

tan θ = sin θ/cos θ

З тотожностей Піфагора ми маємо,

без²θ + cos²θ = 1

без²θ = 1 – cos²i

sin θ = √(1 – cos²я)

Отже, tan θ = (√1 – cos²i)/cos i

Функція тангенс через котангенс

Функцію тангенса в термінах функції котангенса можна записати як

tan θ = 1/cot θ

або

tan θ = cot (90° – θ) (або) cot (π/2 – θ)

Функція тангенс в термінах косекансної функції

Дотичну функцію через косеканс можна записати як

tan θ = 1/√(cosec ² я – 1)

З тотожностей Піфагора ми маємо,

cosec²θ – ліжечко²θ = 1

ліжечко²θ = cosec²я – 1

cot θ = √(cosec²я – 1)

ми це знаємо,

tan θ = 1/cot θ

Отже, tan θ = 1/√(cosec²я – 1)

Функція дотичної в термінах функції сікуючої

Дотичну функцію через січну можна записати як

tan θ = √сек ² я – 1

З тотожностей Піфагора ми маємо,

сек²θ – отже²θ = 1

tan θ = сек²я – 1

Отже, tan θ = √(сек²я – 1)

Функція тангенса в термінах подвійного кута

Функція тангенса для подвійного кута:

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² я)

Функція тангенса в термінах потрійного кута

Функція тангенса для потрійного кута:

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 тан ² я)

Функція тангенса в термінах півкута

Функція тангенса для півкута:

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Функція тангенса в термінах додавання та віднімання двох кутів

Формули суми та різниці для функції дотичної:

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Таблиця тригонометричного співвідношення

Розв’язаний приклад дотичних формул

Приклад 1: Знайдіть значення tan θ, якщо sin θ = 2/5 і θ є кутом першого квадранта.

рішення:

враховуючи,

• sin θ = 2/5

З тотожностей Піфагора, які ми маємо,

без²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Оскільки θ є кутом першого квадранта, cos θ додатний.

cos θ = √21/5

ми це знаємо,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21 /21

Отже, значення tan θ, коли sin θ = 2/5 і θ знаходиться в першому квадранті, дорівнює (2√21) /(21)

Приклад 2: Знайдіть значення tan x, якщо sec x = 13/12 і x є кутом четвертого квадранта.

рішення:

Дано, сек х = 13/12

З тотожностей Піфагора ми маємо,

сек²х – отже²х = 1

так²х = сек²x – 1= (13/12)²- 1

так²х = (169/144) – 1= 25/144

tan x = ± 5/12

Оскільки x є кутом четвертого квадранта, tan x є від’ємним.

tan x = – 5/12

Отже, tan x = – 5/12

Приклад 3: якщо tan X = 2/3 і tan Y = 1/2, то яке значення tan (X + Y)?

рішення:

враховуючи,

tan X = 2/3 і tan Y = 1/2

ми це знаємо,

tan (X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 – tan X tan Y)

tan (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Отже, tan(X + Y) = 7/4

Приклад 4. Обчисліть функцію тангенса, якщо прилегла та протилежна сторони прямокутного трикутника дорівнюють 4 см і 7 ​​см відповідно.

рішення:

враховуючи,

Прилегла сторона = 4 см

Протилежна сторона = 7 см

ми це знаємо,

tan θ = протилежна сторона/прилегла сторона

tan θ = 7/4 = 1,75

Отже, tan θ = 1,75

Приклад 5: Людина дивиться на вежу з годинником під кутом 60° до вершини вежі, висота якої 100 м. Яка відстань між людиною та підніжжям вежі?

рішення:

враховуючи,

Висота вежі = 100 м і θ = 60°

Нехай відстань між людиною та підніжжям вежі = d

dateformat.format java

Ми маємо,

tan θ = протилежна сторона/прилегла сторона

tan 60° = 100/д

√3 = 100/d [Оскільки 60° = √3]

d = 100/√3

Отже, відстань між людиною та підніжжям вежі дорівнює 100/√3

Приклад 6: Знайдіть значення tan θ, якщо sin θ = 7/25 і sec θ = 25/24.

рішення:

враховуючи,

sin θ = 7/25

сек θ = 25/24

ми це знаємо,

сек θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Ми маємо,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Отже, tan θ = 7/24

Приклад 7: Знайдіть значення tan θ, якщо cosec θ = 5/3, а θ є кутом першого квадранта.

рішення:

Дано cosec θ = 5/3

З тотожностей Піфагора ми маємо,

колекції на java

cosec²θ – ліжечко²θ = 1

ліжечко²θ = cosec²я – 1

ліжечко θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

cot θ = ±√16/9 = ± 4/3

Оскільки θ є кутом першого квадранта, і котангенс, і тангенс є додатними.

ліжечко θ = 4/3

ми це знаємо,

ліжечко θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tanθ

tan θ = 3/4

Отже, tan θ = 3/4

Приклад 8: Знайдіть tan 3θ, якщо sin θ = 3/7 і θ є кутом першого квадранта.

рішення:

Дано sin θ = 12/13

З тотожностей Піфагора, які ми маємо,

без²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Оскільки θ є кутом першого квадранта, cos θ додатний.

cos θ = 5/13

ми це знаємо,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Отже, tan θ = 12/5

Тепер ми це знаємо,

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)