Формули Sin Cos у тригонометрії: Тригонометрія, як випливає з її назви, є наукою про трикутники. Це важлива галузь математики, яка вивчає зв’язок між довжинами сторін і кутами прямокутного трикутника, а також допомагає визначати відсутні довжини сторін або кути трикутника. Існує шість тригонометричних співвідношень або функцій: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс і котангенс, де косеканс, секанс і котангенс є зворотними функціями трьох інших функцій, тобто синуса, косинуса і тангенса відповідно.

Тригонометричне співвідношення визначається як відношення довжин сторін прямокутного трикутника. Тригонометрія використовується в різних сферах нашого повсякденного життя. Це допомагає визначити висоту пагорбів або будівель. Він також використовується в таких галузях, як кримінологія, будівництво, фізика, археологія, морське машинобудування тощо.

У цій статті ми розглянемо все тригонометричні формули, переважно sin і cos формули з їхніми прикладами, а також список усіх формул у тригонометрії.

Зміст

• Формули в тригонометрії
• Формула синуса
• Формула косинуса
• Деякі основні формули Sin Cos
• Таблиця формул Sin Cos
• Список формул Sin Cos
• Приклади формул Sin Cos
• Практичні завдання на формули Sin Cos у тригонометрії з прикладами

Формули в тригонометрії

Розглянемо прямокутний трикутник XYZ, де ∠Y = 90°. Нехай кут при вершині Z дорівнює θ. Сторона, прилегла до θ, називається прилеглою стороною, а сторона, протилежна θ, називається протилежною стороною. Гіпотенуза - це сторона, протилежна прямому куту, або найдовша сторона прямого кута.

• sin θ = протилежна сторона/гіпотенуза
• cos θ = прилегла сторона/гіпотенуза
• tan θ = протилежна сторона/прилегла сторона
• cosec θ = 1/sin θ = гіпотенуза/протилежна сторона
• сек θ = 1/ cos θ = Гіпотенуза/прилегла сторона
• ліжечко θ = 1/ tan θ = сусідня сторона/протилежна сторона

Формула синуса

Синус кута в прямокутному трикутнику - це відношення довжини протилежної сторони до довжини гіпотенузи до даного кута. Функція синуса представлена ​​як sin.

sin θ = протилежна сторона/гіпотенуза

Формула косинуса

Косинус кута в прямокутному трикутнику - це відношення довжини прилеглої сторони до довжини гіпотенузи до даного кута. Функція косинус представлена ​​як cos.

java переміщення до внутр

cos θ = прилегла сторона/гіпотенуза

Деякі основні формули Sin Cos

Функції синус і косинус у квадрантах

• Функція синус додатна в першому і другому квадрантах і від’ємна в третьому і четвертому квадрантах.
• Функція косинуса додатна в першому і четвертому квадрантах і від’ємна в другому і третьому квадрантах.

Ступені	Квадрант	Знак функції синуса	Знак функції косинуса
від 0° до 90°	1-й квадрант	+ (позитивний)	+ (позитивний)
від 90° до 180°	2-й квадрант	+ (позитивний)	– (негативний)
від 180° до 270°	3-й квадрант	– (негативний)	– (негативний)
270° до 360°	4-й квадрант	– (негативний)	+ (позитивний)

Ідентичність негативних кутів функцій синуса та косинуса

• Синус від’ємного кута завжди дорівнює від’ємному синусу кута.

sin (– θ) = – sin θ

• Косинус від’ємного кута завжди дорівнює косинусу кута.

cos (– θ) = cos θ

Співвідношення між функцією синус і косинус

sin θ = cos (90° – θ)

Функції, зворотні функціям синуса і косинуса

• Функція косеканс – це функція, зворотна функції синуса.

cosec θ = 1/sin θ

• Функція секансу є функцією, зворотною функції косинуса.

сек θ = 1/cos θ

Піфагорійська тотожність

без ² θ + cos ² θ = 1

Періодичні тотожності функцій синуса і косинуса

sin (θ + 2nπ) = sin θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

Формули подвійного кута для функцій синуса та косинуса

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = cos ² θ – sin ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – 2 sin ² i

Тотожності півкута для функцій синуса та косинуса

sin (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Потрійні кутові тотожності для функцій синуса та косинуса

sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin ³ i

cos 3θ = 4cos ³ θ – 3 cos θ

Формули суми та різниці

• Функція синус

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• Функція косинус

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Закон синусів або правило синусів

Правило синусів — це тригонометричний закон, який визначає співвідношення між довжинами сторін і кутами трикутника.

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Де a, b і c — довжини трьох сторін трикутника ABC, а A, B і C — кути.

Закон косинусів

Правило косинусів використовується для визначення відсутніх або невідомих кутів або довжин сторін трикутника.

a ² = b ² + c ² – 2bc cos A

b ² = c ² + а ² – 2ca cos B

в ² = а ² + б ² – 2ab cos C

Де a, b і c — довжини трьох сторін трикутника ABC, а A, B і C — кути.

Таблиця формул Sin Cos

Ось таблиця/список формул Sin і Cos для різних кутів у градусах і радіанах:

Список формул Sin Cos

Приклади формул Sin Cos

Задача 1: якщо cos α = 24/25, то знайдіть значення sin α.

рішення:

враховуючи,

cos α = 24/25

З піфагорійських тотожностей ми маємо;

cos²θ + sin²θ = 1

(24/25)²+ без²α = 1

без²α = 1 – (24/25)²

без²α = 1 – (576/625) = (625 – 576)/625

без²α = (625 – 576)/625 = 49/626

sin α = √49/625 = ±7/25

Отже, sin α = ±7/25.

Задача 2: Доведіть формули sin 2A і cos 2A, якщо ∠A= 30°.

рішення:

Дано ∠A= 30°

ми це знаємо,

1) sin 2A = 2 sin A cos A

sin 2(30°) = 2 sin 30° cos 30°

sin 60° = 2 × (1/2) × (√3/2) {Оскільки sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 і sin 60° = √3/2}

√3/2 = √3/2

L.H.S = П.В.Ш

заблокувати рекламу на youtube android

2) cos 2A = 2cos²А – 1

cos 2(30°) = 2cos²(30°) – 1

cos 60° = 2(√3/2)²– 1 = 3/2 – 1 {Оскільки cos 60° = 1/2 і cos 30° = √3/2}

1/2 = 1/2

L.H.S = П.В.Ш

Звідси доведено.

Задача 3: Знайдіть значення cos x, якщо tan x = 3/4.

рішення:

Дано tan x = 3/4

ми це знаємо,

tan x = протилежна сторона/прилегла сторона = 3/4

Щоб знайти гіпотенузу, скористаємося теоремою Піфагора:

гіпотенуза²= протилежність²+ суміжні²

Х²= 3²+ 4²

Х²= 9 + 16 = 25

H = √25 = 5

Тепер cos x = сусідня сторона/гіпотенуза

cos x = 4/5

Таким чином, значення cos x дорівнює 4/5.

Задача 4: Знайдіть ∠C (у градусах) і ∠A (у градусах), якщо ∠B = 45°, BC = 15 дюймів і AC = 12 дюймів.

рішення:

Дано: ∠B = 45°, BC = a = 15 дюймів і AC = b = 12 дюймів.

З закону синусів ми маємо

a/sin A = b/sin B = c/sin C

⇒ a/sin A = b/sin B

⇒ 15/sin A = 12/sin 45°

⇒ 15/sin A = 12/(1/√2)

⇒ 15/sin A = 12√2 = 16,97

⇒ без А = 15/16,97 = 0,8839

⇒ ∠A = sin^-1(0,8839) = 62,11°

Ми знаємо, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.

Отже, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 62,11° + 45° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° – (62,11° + 45°) = 72,89°

Отже, ∠A = 62,11° і ∠C = 72,89°.

Задача 5: Доведіть тотожності півкута функції косинус.

рішення:

Тотожність півкута функції косинуса дорівнює:

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

З подвійних кутових тотожностей ми маємо,

cos 2A = 2 cos²А – 1

Тепер замініть A на θ/2 з обох сторін

⇒ cos 2(θ/2) = 2 cos²(і/2) – 1

⇒ cos θ = 2 cos²(і/2) – 1

⇒ 2cos²(θ/2) = cos θ + 1

⇒ cos²(θ/2) = (cos θ + 1)/2

⇒ cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Звідси доведено.

Практичні завдання на формули Sin Cos у тригонометрії з прикладами

1. Дано sin⁡ θ = 3/5. Знайти cos θ.

2. Доведіть тотожність sin⁡(2A) = 2 sin⁡A cos⁡A для A=45∘.

3. Якщо cos⁡ α = 5/13. Знайдіть sin(2a).

4. Визначте θ, якщо sin θ = cos(90∘−θ).

5. Якщо tan ⁡β = 2. Знайдіть sin ⁡β і cos⁡ β, використовуючи тотожність Піфагора.

Поширені запитання щодо формул Sin Cos у тригонометрії з прикладами

Які основні формули синусів і косинусів тригонометрії?

Основні формули синуса та косинуса: sin ⁡θ = протилежна/гіпотенуза та cos ⁡θ = прилегла/гіпотенуза, де θ — кут у прямокутному трикутнику.

Як знайти синус і косинус особливих кутів?

Спеціальні кути, такі як 0∘, 30∘, 45∘, 60∘ та 90∘, мають конкретні значення синуса та косинуса, які можна запам’ятати за допомогою тригонометричних таблиць або концепцій одиничного кола.

Який зв’язок між функціями синус і косинус?

Функції синус і косинус пов’язані одиницею sin ⁡θ = cos⁡(90∘- θ) і тотожність Піфагора без⁡ ² θ+cos⁡ ² θ = 1.

Як ви використовуєте формули подвійного кута для синуса та косинуса?

Формули подвійного кута є sin⁡(2θ) = 2sin⁡θcos⁡θ і cos⁡(2θ)=cos⁡ ² θ – sin⁡ ² i. Вони використовуються для вираження тригонометричних функцій подвійних кутів через одиничні кути.

Як знайти значення синуса та косинуса для кутів у різних квадрантах?

Знаки функцій синуса і косинуса залежать від того, в якому квадранті лежить кут:

• Перший квадрант: sin⁡ θ> 0 і cos θ> 0
• Другий квадрант: sin ⁡θ> 0 і cos θ <0
• Третій квадрант: sin⁡θ <0 і cosθ < 0
• Четвертий квадрант: sin⁡θ 0