Рекурсивна формула: Рекурсія можна визначити двома властивостями. Базовий випадок і крок рекурсії. Базовий випадок — це сценарій завершення, який не використовує рекурсію для отримання результатів. Крок рекурсії складається з набору правил, які зменшують послідовні випадки для пересилання базового випадку.

Рекурсія або рекурсивна формула — це формула, яка використовується, щоб повідомити нам наступний крок у будь-якій серії рекурсії. У рекурсивному ряді кожен наступний член залежить від попереднього одного або двох членів. У цій статті ми детально дізнаємося про рекурсивні формули або формули рекурсії, приклади та інші.

Зміст

• Що таке рекурсивна функція?
• Рекурсивна формула
• Рекурсивні формули для послідовностей
• Рекурсивна формула для арифметичної прогресії
• Рекурсивна формула для геометричної прогресії
• Рекурсивна формула ряду Фібоначчі
• Корисна послідовність і формули
• Приклади використання рекурсивної формули
• Практичне запитання про рекурсивну формулу

Що таке рекурсивна функція?

Рекурсивна функція — це функція, яка визначає кожен термін послідовності за допомогою попереднього терміна, тобто наступний термін залежить від одного або кількох відомих попередніх термінів. Рекурсивна функція h(x) записується як

h(x) = a ₀ h(0) + a ₁ h(1) + a ₂ h(2) + … + a _{х – 1} h(x – 1)

де_i≥ 0 та i = 0, 1, 2, 3, … ,(x – 1)

Формули рекурсії — це формули, які використовуються для запису рекурсивних функцій або рекурсивних рядів.

Значення рекурсивної функції

У математиці рекурсивна функція відноситься до функції, яка визначає кожен член послідовності за допомогою попереднього терміна або термінів. Простіше кажучи, це спосіб визначення послідовності, де кожен крок залежить від попереднього.

Читайте детально: Рекурсивні функції

Рекурсивна формула

Рекурсивна формула – це формула, яка визначає кожен член послідовності за допомогою попередніх/попередніх термінів. Він визначає наступні параметри

• Перший член послідовності
• Шаблонне правило для отримання будь-якого члена з його попередніх членів

Є кілька рекурсивних формул для знаходження n^тистермін на основі зразка наведених даних. Вони є,

• п^тисчлен арифметичної прогресії а_п= а_{n – 1}+ d для n ≥ 2
• п^тисЧлен геометричної прогресії а_п= а_{n – 1}× r для n ≥ 2
• п^тистермін у послідовності Фібоначчі a_п= а_{n – 1}+ а_{n – 2}для n ≥ 2 та a₀= 0 & a₁= 1

де

• d є загальною відмінністю
• r — загальне співвідношення

Рекурсивні формули для послідовностей

Рекурсивні послідовності — це послідовності, в яких наступний член послідовності залежить від попереднього. Однією з найважливіших рекурсивних послідовностей є послідовність Фібонначі, яка представлена ​​нижче як:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Рекурсивні формули або формули рекурсії для різних видів послідовностей:

Рекурсивна формула для арифметичної прогресії

для Арифметична прогресія потім^тистермін заданий за допомогою рекурсивної формули як,

a _п = а _(n-1) + d для n ≥ 2

де,

перейменування каталогу linux

• a_пє n-м членом A.P.
• d – загальна різниця

Рекурсивна формула для геометричної прогресії

для Геометрична прогресія потім^тистермін заданий за допомогою рекурсивної формули як,

a _п = {a _(n-1) }r для n ≥ 2

де,

• a_пце n^тистермін G.P.
• r — загальне відношення

Рекурсивна формула ряду Фібоначчі

для Послідовність Фібоначчі потім^тистермін заданий за допомогою рекурсивної формули як,

a _п = а _(n-1) + а _(n-1) для n ≥ 2

де,

• a₀= 1
• a₁= 1
• a_пце n^тистермін послідовності Фібоначчі

Корисна послідовність і формули

Деякі з корисних послідовностей і є формули для n^тистермін додано в таблицю нижче.

Статті, пов'язані з рекурсивною формулою:

• Золота середина
• Гармонічна прогресія
• Геометричний ряд
• Арифметичний ряд

Приклади використання рекурсивної формули

Приклад 1. Дано ряд чисел із пропущеним числом посередині 1, 11, 21, ?, 41. Використовуючи рекурсивну формулу, знайдіть пропущений член.

рішення:

враховуючи,

1, 11, 21, …, 41

Перший член (a) = 1

d = Т₂– Т₁= Т₃– Т₂

d = 11 – 1 = 21 – 11 = 10

шехзад пунавала

Рекурсивна функція в AP a_п= а_n-1+ d

a₄= а_4-1+ d

a₄= а₃+ d

a₄= 21 + 10

a₄= 31

Приклад 2: Заданий ряд чисел 5, 9, 13, 17, 21,... З заданого ряду знайдіть рекурсивну формулу

рішення:

Заданий числовий ряд

5, 9, 13, 17, 21,…

Перший член (a) = 5

d = Т₂– Т₁= Т₃– Т₂

d = 9 – 5 = 13 – 9 = 4

Рекурсивна формула для AP a_п= а_n-1+ d

a _п = а _n-1 + 4

Приклад 3: задано ряд чисел із пропущеним числом посередині 1, 3, 9,…,81, 243. Використовуючи рекурсивну формулу, знайдіть пропущений член.

рішення:

враховуючи,

1, 3, 9,…, 81, 243

Перший член (a) = 1

a₂/a₁= 3/1 = 3

a₃/a₂= 9/3 = 3

a₅/a₄= 243/81 = 3

Загальне співвідношення (r) = 3

Рекурсивна функція для пошуку n^тистермін у ГП a _п = а _n-1 × r

a₄= а_4-1× r

a₄= а₃× r

a₄= 9 × 3

a ₄ = 27

Приклад 4: Заданий ряд чисел 2, 4, 8, 16, 32, … З даного ряду знайдіть рекурсивну формулу.

рішення:

Заданий ряд чисел,

2, 4, 8, 16, 32, …

Перший член (a) = 2

a₂/a₁= 4/2 = 2

a₃/a₂= 8/4 = 2

a₄/a₃= 16/8 = 2

Загальне співвідношення (r) = 2

Рекурсивна формула a_п= а_n-1× r

a _п = а _n-1 ×2

Приклад 5: Знайдіть 5 ^тис член ряду Фібоначчі, якщо 3 ^rd і 4 ^тис терміни 2,3 відповідно.

рішення:

враховуючи,

• a₃= 2
• a₄= 4

Тоді в послідовності Фібонначі, a₅= а₃+ а₄

a₅= 23

a ₅ = 5

Практичне запитання про рекурсивну формулу

Q1: Знайдіть рекурсивну формулу для послідовності 3,7, 11, 15….

Q2: Знайдіть середній член послідовності, 4, 9, 14, …. 39, 44

Q3: Знайдіть рекурсивну формулу для послідовності 44, 40, 36, …..

Q4: Знайдіть середній член послідовності 6, 9, 12, …. 33

програми java

Резюме – рекурсивна формула

Рекурсивна формула у математиці — це як набір інструкцій, які розповідають вам, як знайти наступний термін у послідовності на основі попередніх термінів. Це як шаблон, де кожен крок залежить від попереднього. Наприклад, у послідовності Фібоначчі кожен член є сумою двох попередніх членів. Рекурсивні формули зручні для з’ясування послідовностей, у яких кожен термін покладається на попередні. Вони схожі на рецепт, як знайти наступне число в черзі

Поширені запитання щодо рекурсивної формули

Що таке рекурсивна формула в математиці?

Рекурсивна формула, яку також називають формулою рекурсії, — це формула, яка дає наступний член будь-якої послідовності залежно від попередніх членів послідовності.

Що таке рекурсивне правило для ряду Фібоначчі?

Рекурсивною формулою ряду Фібоначчі є F_п= F_(n-1)+ Ф_(n-2), де n> 1.

Яка різниця між рекурсивними та явними формулами?

Рекурсивна формула — це формула, яка використовується для знаходження n-го члена ряду, коли задано попередні члени послідовності, де явні формули дають n-й член послідовності та не залежать від попередніх членів послідовності.

Що таке рекурсивна формула для 9, 15, 21, 27?

Рекурсивна формула для послідовності 9, 15, 21 і 27 така: a _п = а _n-1 + 6.

Які є деякі формули рекурсії?

Деякі відомі формули рекурсії:

• Рекурсивна формула арифметичної послідовності: a_п= а_n-1+ d
• Рекурсивна формула геометричної послідовності: a_п= (а_n-1)r