Передумови: БІТ Дано 'n' відрізків, кожен з яких горизонтальний або вертикальний. Знайдіть максимальну кількість трикутників (включаючи трикутники з нульовою площею), які можна утворити шляхом з'єднання точок перетину відрізків. Ні два горизонтальні відрізки не перекриваються, ні два вертикальні відрізки не перекриваються. Лінія представлена за допомогою двох точок (чотири цілі числа, перші два з яких є координатами x і y відповідно для першої точки, а інші два є координатами x і y для другої точки) приклади:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Ідея заснована на Алгоритм розгортки лінії . Поетапне створення рішення:
заблоковані номери
- Збережіть обидві точки всіх відрізків лінії з відповідною подією (описаною нижче) у векторі та відсортуйте всі точки в порядку неспадання їхніх координат x.
- Давайте тепер уявімо вертикальну лінію, яку ми проводимо через усі ці точки, і опишемо 3 події, виходячи з того, в якій точці ми зараз:
- a вертикальна лінія
- Називаємо область "активний" або горизонтальні лінії "активний" які мали першу подію, але не другу. У нас буде BIT (двійкове індексоване дерево) для зберігання координат «y» усіх активних ліній.
- Коли рядок стає неактивним, ми видаляємо його 'y' з BIT.
- Коли відбувається подія третього типу, тобто коли ми перебуваємо на вертикальній лінії, ми запитуємо дерево в діапазоні його координат «y» і додаємо результат до кількості точок перетину на даний момент.
- Нарешті ми матимемо кількість точок перетину м тоді кількість трикутників (включаючи нульову площу) буде мC3 .
в - крайня ліва точка горизонтального відрізкапоза - крайня права точка горизонтального відрізкаПримітка: Нам потрібно ретельно відсортувати точки, подивитися на cmp() функцію в реалізації для пояснення.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Вихід:
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Допоміжний простір: O(maxy), де maxy = 1000005
хто створив школу