Функція один до одного або One-One Function є одним із види функцій визначається над доменом і кодоменом і описує конкретний тип зв’язку між доменом і кодоменом. Функцію «один до одного» також називають ін’єктивною функцією. Функція один до одного – це математична функція, де кожен елемент в домені відображається на унікальний елемент у кодомені .
У цій статті детально розглядається концепція функції «один до одного» або «один до одного», включаючи її визначення та приклади, які допоможуть вам легко зрозуміти цю концепцію. Ми також обговоримо деякі приклади задач і надамо кілька практичних задач, які ви повинні вирішити. Отже, давайте дізнаємося про це важливе поняття в математиці, відоме як функція один до одного.
Зміст
- Що таке функція «один до одного»?
- Приклади однозначних функцій
- Властивості взаємно однозначних функцій
- Функція один до одного та функція Onto
- Вирішені приклади на функції один до одного
Що таке функція «один до одного»?
Функція «один-до-одного», також відома як ін’єктивна функція, — це функція, де різні елементи A мають різні елементи, пов’язані з B, або різні елементи A мають різні зображення в B.
Якщо є різні зображення для функції, це означає, що вона можлива тільки для один-до-одного, якщо попередні зображення були різними, якщо набір B містить різні елементи, це означає, що це можливо лише тоді, коли набір мав різні елементи, для яких це були попередні зображення.
центрування зображення в css
Визначення функції один до одного
Функція «f» від множини «A» до множини «B» є однозначною, якщо жодні два елементи в «A» не зіставляються з одним елементом у «B».
Розглянемо ці дві діаграми. Для діаграми А ми розуміємо, що 10 відповідає 1, 20 відповідає 2 і 30 відповідає 3.
Однак для діаграми B зрозуміло, що 10 і 30 відповідають 3, а потім 20 відповідають 1.
Оскільки ми маємо елементи в області, що відповідає окремим значенням у кожній області для діаграми A, це робить функцію один-до-одного, таким чином наша діаграма B не один до одного.
Це можна виразити математично як
f(a) = f(b) ⇒ a = b
Приклад функцій «один до одного».
- Функція ідентифікації: Функція ідентифікації є простим прикладом функції один-до-одного. Він приймає вхідні дані та повертає те саме значення, що й вихідні дані. Для будь-якого дійсного числа x функція тотожності визначається як:
f(x) = x
Кожен окремий вхід x відповідає окремому виходу f(x), що робить його функцією один до одного.
- Лінійна функція: Лінійна функція – це функція, у якій найвищий ступінь змінної дорівнює 1. Наприклад:
f(x) = 2x + 3
Це функція один-до-одного, оскільки незалежно від того, яке значення x ви виберете, ви отримаєте унікальне значення для f(x).
- Функція абсолютного значення: Функція абсолютного значення f(x)=∣x∣ також є однозначною функцією. Для будь-якого дійсного числа x функція абсолютного значення повертає невід’ємне значення, а різні значення x призведуть до різних абсолютних значень.
Доведемо один із таких прикладів для однозначної функції.
Приклад: доведіть, що функція f(x) = 1/(x+2), x≠2 є взаємно однозначною.
рішення:
Відповідно до функції один до одного ми це знаємо
f(a) = f(b)
замініть a на x і x на b
f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)
⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)
перехресне множення наведеного вище рівняння
1(b+2)=1(a+2)
b+2=a+2
⇒ b=a+2-2
∴ a=b
Тепер, оскільки a = b, функція називається однозначною.
Властивості Функції один до одного
Давайте розглянемо, що f і g є двома функціями один до одного, властивості яких такі:
- Якщо f і g є один до одного, то f ∘ g слід за ін’єктивністю.
- Якщо g ∘ f один до одного, то функція f є один до одного, але функція g може бути не такою.
- f: X → Y є одно-однозначним тоді і тільки тоді, коли для будь-яких функцій g, h : P → X, коли f ∘ g = f ∘ h, тоді g = h. Іншими словами, функції «одна-одна» — це саме мономорфізми в множині категорій множин.
- Якщо f: X → Y є один-одним і P є підмножиною X, то f-1(f(A)) = P. Таким чином, P можна отримати з його образу f(P).
- Якщо f: X → Y є одно-одним і P і Q є підмножинами X, тоді f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
- Якщо і X, і Y обмежені однаковою кількістю елементів, то f: X → Y є один-одним, якщо і тільки якщо f є сюр’єктивною або онто-функцією.
Графік однозначної функції
Давайте подивимося на одне з графічних зображень функції один до одного
Наведений вище графік функції f(x)= √x показує графічне представлення функції один до одного.
Тест горизонтальної лінії
Функція є однозначною, якщо кожна горизонтальна лінія не перетинає графік більше ніж в одній точці.
Давайте використаємо лінійну функцію як приклад. Назвемо це f(x), тому f(x) має обернену функцію. Щоб визначити, чи має f(x) обернену функцію, ви повинні показати, що це функція один до одного, ви повинні показати, що вона проходить перевірку горизонтальної лінії. Отже, якщо ми малюємо горизонтальну лінію і якщо f(x) торкається горизонтальної лінії більше одного разу, це означає, що f(x) не є однозначною функцією і не має оберненої функції.
У наведеному вище прикладі він перетинає горизонтальну лінію лише в одній точці. Таким чином, f(x) є однозначною функцією, що означає, що вона має обернену функцію.
Функція, обернена до однозначної
Нехай f є взаємно однозначною функцією з областю визначення A та діапазоном B. Тоді оберненою до f є функція з областю визначення B та діапазоном A, визначеною f-1(y) =x тоді і тільки тоді, коли f(x)=y для будь-якого y з B. Завжди пам’ятайте, що функція має обернену функцію тоді і тільки тоді, коли вона є однозначною. Функція є однозначною, якщо старший показник є непарним числом. Але якщо найбільше число є парним числом або абсолютним значенням, це не функція один до одного.
Приклад: f(x)=3x+2 знайти обернену функцію
рішення:
запишіть функцію у формі y=f(x).
⇒ y=3x+2
дозволяє поміняти місцями змінні y і x
⇒ x=3y+2
розв’язати y через x
⇒ x-2=3y
розділіть рівняння на 3
⇒ (x-2)/3=3y/3
⇒ y=(x-2)/3
∴ f-1(x)=(x-2)/3
Функція один до одного та функція Onto
Ключові відмінності між функціями One to One і Onto наведено в наступній таблиці:
| Власність | Функція «один до одного» (ін’єктивна). | Онто (сюр'єктивна) функція |
|---|---|---|
| Визначення | Функція, у якій два різні елементи в домені не відображаються на один і той самий елемент у кодомене. Іншими словами, кожен елемент у домені відображається на унікальний елемент у кодомені. | Функція, у якій кожен елемент кодомена відображається принаймні одним елементом домену. Іншими словами, діапазон функції дорівнює всій кодомені. |
| Символічне представлення | f(x1) ≠ f(x2) якщо x1≠ x2для всіх х1, х2в домені. | Для кожного y в кододемене існує такий x в області, що f(x) = y. |
| Графічне представлення | Графік однозначної функції ніколи не має горизонтальної лінії, яка перетинає його більше ніж в одній точці. | Графік онто-функції може не охоплювати кожну точку кодомені, але він охоплює кожну точку, яку може, тобто в кодобласті немає прогалин. |
| приклад | f(x) = 2x є однозначним, тому що жодні два різних значення x не дають однакового результату. | f(x) = √x використовується для невід’ємного дійсного числа як кодобласті, оскільки всі невід’ємні дійсні числа мають прообраз у цій функції. |
| Обернена функція | Функція «один до одного» зазвичай має обернену функцію. | Онто-функція може мати або не мати оберненої функції. |
| Кардинальність | Мощність домену та кодомена може бути рівною або різною для однозначних функцій. | Потужність кодомени зазвичай більша або дорівнює потужності області для онто-функцій. |
На наступній ілюстрації показано чітку різницю між функцією one one і onto:
Детальніше,
- Функції
- Типи функцій
- Зв'язок і функція
Вирішені проблеми на функції один до одного
Давайте розв’яжемо деякі задачі, щоб проілюструвати функції один до одного:
Задача 1: Визначте, чи є така функція взаємно однозначною: f(x) = 3x – 1
рішення:
Рішення 1: щоб перевірити, чи воно є однозначним, нам потрібно показати, що жодні два різних значення x не відповідають одному значенню y.
Припустимо, f(a) = f(b), де a ≠ b.
3а – 1 = 3б – 1
3а = 3б
a = b
Оскільки єдиним способом для f(a) = f(b) є коли a = b, ця функція справді є однозначною.
Задача 2: Визначте, чи є така функція взаємно однозначною: g(x) = x 2
рішення:
Рішення 2. Ми використаємо перевірку горизонтальної лінії, побудувавши графік функції. Якщо будь-яка горизонтальна лінія перетинає графік більше одного разу, це не є однозначним.
Графік g(x) = x^2 є параболою, що відкривається вгору. Будь-яка горизонтальна лінія перетинає графік лише один раз, тому ця функція не є однозначною.
Практичні завдання на функції один до одного
Проблема 1: Визначте, чи є така функція взаємно однозначною:
- f(x) = 2x + 3
- g(x) = 3x2- 1
- h(x) =3√x
Проблема 2: Знайти взаємно однозначну функцію від множини дійсних чисел до множини дійсних чисел.
Проблема 3: Дано функцію g(x) = x2+ 1, визначте, чи є він один до одного на всьому своєму домені.
Проблема 4: Розглянемо функцію h(x) = eх. Це функція один до одного?
Проблема 5: Знайти обернену функцію f(x) = 4x – 7 і визначити її область визначення.
Проблема 6: Визначте, чи є функція p(x) = √x взаємно однозначною.
Проблема 7: Якщо q(x) = x/2, знайдіть область визначення та діапазон функції.
Проблема 8: Перевірте, чи є функція r(x) = sin (x) взаємно однозначною на інтервалі [0, π].
Проблема 9: Розглянемо функцію s(x) = |x|. Це функція один до одного?
Проблема 10: Визначте, чи є функція t(x) = 1/x взаємно однозначною, і знайдіть її область визначення.
Функції «один на один» – поширені запитання
1. Що таке функція «один до одного»?
Функція «один до одного» — це математична функція, яка відображає кожен елемент у своєму домені на унікальний елемент у його кодомене. Іншими словами, він не зіставляє два різні елементи в домені з тим самим елементом у кодомені.
2. Як я можу визначити, чи функція є однозначною?
Ви можете використовувати тест горизонтальної лінії. Якщо жодна горизонтальна лінія не перетинає графік функції більше одного разу, це є взаємно однозначною функцією.
3. Яка різниця між функцією один до одного та функцією onto?
Функція «один-до-одного» гарантує, що ніякі два різні елементи в домені не відображаються на один і той самий елемент у кодомені, тоді як функція onto, також відома як сюр’єктивна функція, гарантує, що кожен елемент у кодомені відображається принаймні один елемент у домені.
4. Чи всі лінійні функції взаємно однозначні?
Ні, не всі лінійні функції є взаємними. Наприклад, f(x) = 2x є однозначним, але g(x) = 2x + 1 не є таким, оскільки воно відображає два різні значення x на одне й те саме значення y (наприклад, g(1) = 3 і g(2) = 5).