Закон повної ймовірності важливий для визначення ймовірності події. Якщо відомо, що ймовірність події дорівнює 1, то для неможливої ​​події вона ймовірно дорівнюватиме 0. Фундаментальне правило в теорії ймовірностей, яке взаємопов’язане з граничною ймовірністю та умовна ймовірність називається законом повної ймовірності, або теоремою про повну ймовірність.

Після кількох подій відомо, що ймовірність усіх можливостей повинна бути відома. The теорема повної ймовірності є основною основою теореми Байє. У цій статті ми обговорили важливі концепції повної ймовірності, зокрема закон повної ймовірності , твердження, докази та деякі приклади.

Закон повної ймовірності

Дано n взаємовиключних подій A1, A2, …Ak, сума ймовірностей яких дорівнює одиниці, а об’єднання – простір подій E, тоді Ai ∩ Aj= NULL, для всіх I, які не дорівнюють j, і

A1 U A2 U ... U Ak = E>

Потім Теорема повної ймовірності, або Закон повної ймовірності, це: де B — довільна подія, а P(B/Ai) — умовна ймовірність B, якщо припустити, що A вже відбулася.

Доведення теореми повної ймовірності

Нехай A1, A2, …, Ak – непересічні події, які утворюють розбиття вибіркового простору, і припустимо, що P(Ai)> 0, для i = 1, 2, 3….k, так що:

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>

Тоді для будь-якої події B ми маємо

B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>

Оскільки перетин і об'єднання є розподільними. тому

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>

Оскільки всі ці розділи не перетинаються. Отже, ми маємо,

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>

Це теорема додавання ймовірностей для об’єднання непересічних подій. Використання умовної ймовірності

P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>

Або за правилом множення,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>

Тут події A і B називаються незалежними подіями, якщо P(B|A) = P(B), де P(A) не дорівнює нулю (0),

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>

де P(B|A) — умовна ймовірність, яка дає ймовірність появи події B, коли подія A вже відбулася. Отже,

спробуйте блок catch у java

P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>

Застосовуючи це правило вище, ми отримуємо,

Це закон повної ймовірності . Закон повної ймовірності також називають теорема повної ймовірності або закон альтернатив.

Примітка:

Закон повної ймовірності використовується, коли ви не знаєте ймовірність події, але знаєте її виникнення за кількома непересічними сценаріями та ймовірність кожного сценарію.

Застосування теореми повної ймовірності

Використовується для оцінки знаменника в Теорема Байєса . Теорема Байєса для n набору подій визначається як,

Нехай E₁, І₂,…, І_пбути набором подій, пов’язаних із простором вибірки S, у якому всі події E₁, І₂,…, І_пмають ненульову ймовірність появи. Усі події Є₁, І₂,…, E утворюють розбиття S. Нехай A — подія з простору S, для якої ми повинні знайти ймовірність, тоді згідно з теоремою Байєса,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

для k = 1, 2, 3, …., n

приклад

1. Витягаємо дві карти з колоди перетасованих карт із замінами. Знайти ймовірність отримання другої карти короля.

Пояснення: - Нехай A – представляє подію отримання першої карти короля. B – представляє подію, коли перша карта не є королем. E – означає подію, коли друга карта є королем. Тоді ймовірність того, що друга карта буде королем чи ні, буде представлена ​​законом повної ймовірності як:

javac не розпізнається

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>

Де P(E) — ймовірність того, що друга карта — король, P(A) — ймовірність того, що перша карта — король, P(E|A) — ймовірність того, що друга карта — король, враховуючи, що перша карта – король, P(B) – це ймовірність того, що перша карта не є королем, P(E|B) – це ймовірність того, що друга карта є королем, але перша витягнута карта не є королем. Відповідно до запитання:

P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>

тому

P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>

Поширені запитання про закон повної ймовірності

Q.1: Яке використання повної ймовірності?

відповідь:

Закон повної ймовірності використовується для обчислення ймовірності події за будь-якої кількості пов’язаних подій. Використання теореми Байє для оновлення ймовірності гіпотези за наявності нових доказів.

Q.2: Чи завжди загальна ймовірність дорівнює 1?

відповідь:

Сума ймовірностей усіх подій завжди дорівнює 1.

Q.3: Чи може загальна ймовірність бути більшою за 1?

відповідь:

Ні, загальна ймовірність не може бути більшою за 1.