Логічні символи — це символи, які використовуються для представлення логіки в математиці. Існує кілька логічних символів, включаючи квантори, сполучники та інші символи. У цій статті ми розглянемо всі логічні символи, корисні для представлення логічних тверджень у математичній формі. Почнемо наше навчання з теми Логічні символи.
Логічні символи
Зміст
Що таке логічні символи?
Символи, які використовуються для представлення логічних тверджень, називаються логічними символами. Логічні символи допомагають перетворити англійські твердження у форму математичної логіки. Два основних типи математичної логіки - це пропозиційна логіка та логіка предикатів. У пропозиційній логіці в основному використовуються сполучні логічні символи, тоді як у предикатних логічних кванторах логічні символи використовуються разом із сполучними.
Зазвичай використовувані логічні символи можна класифікувати як:
- Квантори
- Сполучники
Давайте обговоримо їх докладніше наступним чином:
Квантори Символи
Нижче наведено таблицю для деяких найпоширеніших кванторів:
| Квантор | символ | Значення | приклад |
|---|---|---|---|
| Універсальний | ∀ | Для всіх або для кожного | ∀x (для всіх x) |
| Екзистенціальний | ∃ | Існує або є принаймні один | ∃x (існує x) |
| Унікальний екзистенціал | ∃! | Існує унікальний або є точно один | ∃!x (існує єдиний x) |
| Екзистенційний негатив | ∄ | Не існує або немає | ∄x (x не існує) |
| Універсальний умовний | ∀→ | Для кожного... є... | ∀x → ∃y (для кожного x існує y) |
| Екзистенціальний умовний | ∃→ | Існує... таке, що... | ∃x → ∀y (існує такий x, що для кожного y) |
| Екзистенціальний унікальний | ∃≡ | Існує рівно один або є унікальний | ∃≡x (існує рівно один x) |
| Універсальний Унікальний | ∀≡ | Для кожного… є рівно один | ∀≡x (для кожного x існує рівно один x) |
Докладніше про Предикати та квантори
Сполучні символи
Деякі приклади сполучників:
| символ | Ім'я | Значення | приклад |
|---|---|---|---|
| ¬ | Заперечення | Заперечення (НІ) | ¬p (не p) |
| ∧ | Сполучник | Сполучник (І) | p ∧ q (p і q) |
| ∨ | диз'юнкція | Диз'юнкція (OR) | p ∨ q (p або q) |
| → або ⇒ | Підтекст | Наслідки (ЯКЩО…ТОДІ) | p → q (якщо p, то q) |
| ↔ або ⇔ | Еквівалентність | Еквівалентність (ЯКЩО І ТІЛЬКИ ЯКЩО) | p ↔ q (p тоді і тільки тоді, коли q) |
Таблиця істинності для сполучників
Таблиця істинності для всіх сполучників подана так:
| стор | q | ¬p | p ∧ q | p ∨ q | p → q | p ⇔ q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| правда | правда | помилковий | правда | правда | правда | правда |
| правда | помилковий | помилковий | помилковий | правда | помилковий | помилковий |
| помилковий | правда | правда | помилковий | правда | правда | помилковий |
| помилковий | помилковий | правда | помилковий | помилковий | правда | правда |
Двійкові логічні сполучні символи
Приклади двійкових логічних сполучних символів:
| Назва символу | Пояснення | приклад |
|---|---|---|
| P ∧ Q | Сполучення (P і Q) | P ∧ Q ≡ Q |
| P ∨ Q конвертувати рядок у json java | Диз'юнкція (P або Q) | ¬ (P ∨ Q) ≡ ¬ P ∧ ¬ Q |
| P ↑ Q | Заперечення кон'юнкції (P nand Q) | P ↑ Q ≡ ¬( P ∧ Q) |
| P ↓ Q | Негатив диз'юнкції (P або Q) | P ↓ Q ≡ ¬ P ∧ ¬ Q |
| P → Q | Умовний (якщо P, то Q) | Для всіх P P → P є тавтологією |
| P ← Q | Converse Conditional (якщо Q, то P) | Q ← (P ∧ Q) |
| P ↔ Q | Біумовний (P тоді і тільки тоді, коли Q) | P ↔ Q ≡ (P → Q) ∧ (P←Q) |
Інші корисні символи
Деякі приклади інших корисних символів:
| символ | Ім'я | Значення | приклад |
|---|---|---|---|
| ∈ | Елемент | Елемент (належить) | x ∈ A (x належить множині A) |
| ∉ | Не є елементом | Не є елементом (не належить) | x ∉ A (x не належить множині A) |
| ⊆ | Підмножина | Підмножина (є підмножиною) | A ⊆ B (множина A є підмножиною множини B) |
| ⊇ | Надмножина | Надмножина (є надмножиною) | A ⊇ B (множина A є надмножиною множини B) |
| ∅ | Порожній набір | Порожній набір (нульовий набір) | ∅ (порожній набір) |
| ∞ | Нескінченність | Нескінченність | ∞ (нескінченність) |
| ≡ | Ідентичний | Ідентичний (еквівалентність) | a ≡ b (a еквівалентно b) |
| ≈ | Приблизно дорівнює | Приблизно дорівнює | a ≈ b (a приблизно дорівнює b) |
| ≠ | Не дорівнює | Не дорівнює | a ≠ b (a не дорівнює b) |
| ∼ | Схожий на | Схоже на (тильда) | x ∼ y (x подібний до y) |
| ∩ | Перетин | Перетин (І) | A ∩ B (перетин множин A і B) |
| ∪ | Союз | Союз (OR) | A ∪ B (об’єднання множин A і B) |
| ⊂ | Власна підмножина | Власна підмножина | A ⊂ B (множина A є власною підмножиною множини B) |
| ⊃ | Правильна надмножина | Правильна надмножина | A ⊃ B (множина A є власною надмножиною множини B) |
| ⊥ | Дно | Знизу (логічна хибність або протиріччя) | ⊥ (логічне протиріччя) |
| ⊤ | Топ | Топ (логічна істина або тавтологія) | ⊤ (логічна тавтологія) |
| ⊨ | тягне за собою | тягне за собою (логічний наслідок) | A ⊨ B (A логічно тягне за собою B) |
Символи операторів відношення
Ось деякі з операторів відношення в логіці:
| Оператор | символ | Значення | приклад |
|---|---|---|---|
| Дорівнює | = | Два значення рівні | 5 = 5 (правда) |
| Не дорівнює | ≠ | Два значення не рівні | 5 ≠ 3 (правда) |
| Більш чим | > | Одне значення більше іншого | 5> 3 (правда) |
| Менше ніж | < | Одне значення менше іншого | 5 <3 (неправда) |
| Більше або дорівнює | ≥ | Одне значення більше або дорівнює іншому | 5 ≥ 5 (правда) |
| Менше або дорівнює | ≤ | Одне значення менше або дорівнює іншому | 5 ≤ 3 (хибно) |
Висновок
Таким чином, логічні символи схожі на спеціальну мову, яку ми використовуємо для дуже точного вираження ідей. Вони допомагають нам говорити такі речі, як для всіх або існує, і з’єднувати різні твердження разом. Використовуючи ці символи, ми можемо краще розуміти складні концепції та вирішувати проблеми в багатьох різних сферах, як-от математика, наука та філософія. Вивчення логічних символів дає нам потужні інструменти для ясного мислення та вирішення головоломок у повсякденному житті.
Детальніше,
- Пропозиційна логіка
- Логічні ворота
- Різниця між логікою висловлювань і логікою предикатів
Логічні символи: поширені запитання
Що таке логічні символи?
Символи, які використовуються для представлення логічних тверджень у математичній логіці, називаються логічними символами.
Що таке 5 логічних символів?
5 символів пропозиційної логіки:
- Сполучник
- диз'юнкція
- підтекст
- Еквівалентність
- Заперечення
Що таке ∈ логічний символ?
∈ логічний символ означає елемент символу.
Що означає P → Q?
Твердження P → Q означає, що якщо P, то Q, тобто P означає Q.
Що таке символ iff?
Символом iff або символом еквівалентності є ↔ або ⇔.