Знайомство з алгоритмом Прима:
Ми обговорили Алгоритм Крускала для мінімального остовного дерева . Як і алгоритм Крускала, алгоритм Прима також є a Жадібний алгоритм . Цей алгоритм завжди починається з одного вузла та переходить до кількох суміжних вузлів, щоб досліджувати всі з’єднані ребра.
Алгоритм починається з порожнього остовного дерева. Ідея полягає в підтримці двох наборів вершин. Перший набір містить вершини, які вже включені в MST, а інший набір містить вершини, які ще не включені. На кожному кроці він розглядає всі ребра, які з’єднують два набори, і вибирає ребро мінімальної ваги з цих ребер. Після вибору ребра він переміщує іншу кінцеву точку ребра до набору, що містить MST.
Група ребер, яка з’єднує два набори вершин у графі, називається скорочення в теорії графів . Отже, на кожному кроці алгоритму Прима знайдіть розріз, виберіть ребро мінімальної ваги з розрізу та включіть цю вершину в набір MST (набір, який містить уже включені вершини).
Як працює алгоритм Прима?
Роботу алгоритму Прима можна описати за допомогою наступних кроків:
Крок 1: Визначити довільну вершину як вихідну вершину МСТ.
Крок 2: Виконуйте кроки 3–5, доки не з’являться вершини, які не входять до MST (відомі як вершини смуги).
крок 3: Знайдіть ребра, що з'єднують будь-яку вершину дерева з вершинами смуги.
крок 4: Знайдіть серед цих ребер найменше.
крок 5: Додайте вибране ребро до MST, якщо воно не утворює жодного циклу.
Крок 6: Поверніть MST і вийдіть
Примітка: Для визначення циклу ми можемо розділити вершини на два набори [один набір містить вершини, включені в MST, а інший містить вершини смуг.]
Рекомендована практика Мінімальне охоплююче дерево Спробуйте!Ілюстрація алгоритму Прима:
Розглянемо наступний графік як приклад, для якого нам потрібно знайти мінімальне остовне дерево (MST).
Приклад графіка
Крок 1: По-перше, ми вибираємо довільну вершину, яка діє як початкова вершина Мінімального остовного дерева. Тут ми вибрали вершину 0 як початкову вершину.
0 обрано як початкову вершину
Крок 2: Усі ребра, що з’єднують неповну MST та інші вершини, є ребрами {0, 1} і {0, 7}. Між цими двома ребра з мінімальною вагою дорівнюють {0, 1}. Тому включіть ребро та вершину 1 у MST.
1 додається до МСТ
крок 3: Ребра, що з’єднують неповний MST з іншими вершинами, це {0, 7}, {1, 7} і {1, 2}. Серед цих ребер мінімальна вага дорівнює 8, тобто ребра {0, 7} і {1, 2}. Включимо сюди ребро {0, 7} і вершину 7 у MST. [Ми також могли б включити ребро {1, 2} і вершину 2 у MST].
7 додається в МСТ
крок 4: Ребра, які з'єднують неповний MST з вершинами смуги, це {1, 2}, {7, 6} і {7, 8}. Додайте ребро {7, 6} і вершину 6 у MST, оскільки вона має найменшу вагу (тобто 1).
6 додається в МСТ
крок 5: З’єднувальні ребра тепер такі: {7, 8}, {1, 2}, {6, 8} і {6, 5}. Включіть ребро {6, 5} і вершину 5 у MST, оскільки ребро має серед них мінімальну вагу (тобто 2).
Включіть вершину 5 у MST
Крок 6: Серед поточних сполучних ребер ребро {5, 2} має мінімальну вагу. Тож включіть це ребро та вершину 2 у MST.
Включіть вершину 2 у MST
Крок 7: Сполучними ребрами між неповним MST та іншими ребрами є {2, 8}, {2, 3}, {5, 3} та {5, 4}. Ребро з мінімальною вагою — це ребро {2, 8}, яке має вагу 2. Тому включіть це ребро та вершину 8 у MST.
Додайте вершину 8 у MST
Крок 8: Подивіться, що обидва ребра {7, 8} і {2, 3} мають однакову вагу, яка є мінімальною. Але 7 вже є частиною MST. Отже, ми розглянемо ребро {2, 3} і включимо це ребро та вершину 3 у MST.
Включіть вершину 3 у MST
Крок 9: Залишається включити лише вершину 4. Мінімальне зважене ребро від неповного MST до 4 становить {3, 4}.
Включіть вершину 4 у MST
Остаточна структура MST така, а вага ребер MST дорівнює (4 + 8 + 1 + 2 + 4 + 2 + 7 + 9) = 37 .
Структура MST сформована за допомогою описаного вище методу
Примітка: Якби ми вибрали ребро {1, 2} на третьому кроці, MST виглядав би так.
Структура альтернативного MST, якщо ми вибрали ребро {1, 2} у MST
Як реалізувати алгоритм Прима?
Виконайте наведені кроки, щоб використовувати Алгоритм Прима згадане вище для знаходження MST графа:
- Створіть набір mstSet який відстежує вершини, які вже включені в MST.
- Призначте значення ключа всім вершинам у вхідному графі. Ініціалізуйте всі ключові значення як НЕСКІНЧЕННІ. Призначте ключове значення 0 для першої вершини, щоб вона вибиралася першою.
- Поки mstSet не включає всі вершини
- Виберіть вершину в цього немає в mstSet і має мінімальне значення ключа.
- Включати в в mstSet .
- Оновіть значення ключа всіх суміжних вершин в . Щоб оновити ключові значення, пройдіть по всіх суміжних вершинах.
- Для кожної сусідньої вершини в , якщо вага краю u-v менше попереднього значення ключа в оновіть значення ключа як вагу u-v .
Ідея використання ключових значень полягає у виборі мінімального вагового краю з вирізати . Значення ключа використовуються тільки для вершин, які ще не включені в MST, значення ключа для цих вершин вказує на мінімальну вагу ребер, що з’єднують їх з набором вершин, включених в MST.
Нижче наведено реалізацію підходу:
C++
// A C++ program for Prim's Minimum> // Spanning Tree (MST) algorithm. The program is> // for adjacency matrix representation of the graph> #include> using> namespace> std;> // Number of vertices in the graph> #define V 5> // A utility function to find the vertex with> // minimum key value, from the set of vertices> // not yet included in MST> int> minKey(>int> key[],>bool> mstSet[])> {> >// Initialize min value> >int> min = INT_MAX, min_index;> >for> (>int> v = 0; v if (mstSet[v] == false && key[v] min = key[v], min_index = v; return min_index; } // A utility function to print the // constructed MST stored in parent[] void printMST(int parent[], int graph[V][V]) { cout << 'Edge Weight
'; for (int i = 1; i cout << parent[i] << ' - ' << i << ' ' << graph[i][parent[i]] << '
'; } // Function to construct and print MST for // a graph represented using adjacency // matrix representation void primMST(int graph[V][V]) { // Array to store constructed MST int parent[V]; // Key values used to pick minimum weight edge in cut int key[V]; // To represent set of vertices included in MST bool mstSet[V]; // Initialize all keys as INFINITE for (int i = 0; i key[i] = INT_MAX, mstSet[i] = false; // Always include first 1st vertex in MST. // Make key 0 so that this vertex is picked as first // vertex. key[0] = 0; // First node is always root of MST parent[0] = -1; // The MST will have V vertices for (int count = 0; count // Pick the minimum key vertex from the // set of vertices not yet included in MST int u = minKey(key, mstSet); // Add the picked vertex to the MST Set mstSet[u] = true; // Update key value and parent index of // the adjacent vertices of the picked vertex. // Consider only those vertices which are not // yet included in MST for (int v = 0; v // graph[u][v] is non zero only for adjacent // vertices of m mstSet[v] is false for vertices // not yet included in MST Update the key only // if graph[u][v] is smaller than key[v] if (graph[u][v] && mstSet[v] == false && graph[u][v] parent[v] = u, key[v] = graph[u][v]; } // Print the constructed MST printMST(parent, graph); } // Driver's code int main() { int graph[V][V] = { { 0, 2, 0, 6, 0 }, { 2, 0, 3, 8, 5 }, { 0, 3, 0, 0, 7 }, { 6, 8, 0, 0, 9 }, { 0, 5, 7, 9, 0 } }; // Print the solution primMST(graph); return 0; } // This code is contributed by rathbhupendra> |
>
>
C
// A C program for Prim's Minimum> // Spanning Tree (MST) algorithm. The program is> // for adjacency matrix representation of the graph> #include> #include> #include> // Number of vertices in the graph> #define V 5> // A utility function to find the vertex with> // minimum key value, from the set of vertices> // not yet included in MST> int> minKey(>int> key[],>bool> mstSet[])> {> >// Initialize min value> >int> min = INT_MAX, min_index;> >for> (>int> v = 0; v if (mstSet[v] == false && key[v] min = key[v], min_index = v; return min_index; } // A utility function to print the // constructed MST stored in parent[] int printMST(int parent[], int graph[V][V]) { printf('Edge Weight
'); for (int i = 1; i printf('%d - %d %d
', parent[i], i, graph[i][parent[i]]); } // Function to construct and print MST for // a graph represented using adjacency // matrix representation void primMST(int graph[V][V]) { // Array to store constructed MST int parent[V]; // Key values used to pick minimum weight edge in cut int key[V]; // To represent set of vertices included in MST bool mstSet[V]; // Initialize all keys as INFINITE for (int i = 0; i key[i] = INT_MAX, mstSet[i] = false; // Always include first 1st vertex in MST. // Make key 0 so that this vertex is picked as first // vertex. key[0] = 0; // First node is always root of MST parent[0] = -1; // The MST will have V vertices for (int count = 0; count // Pick the minimum key vertex from the // set of vertices not yet included in MST int u = minKey(key, mstSet); // Add the picked vertex to the MST Set mstSet[u] = true; // Update key value and parent index of // the adjacent vertices of the picked vertex. // Consider only those vertices which are not // yet included in MST for (int v = 0; v // graph[u][v] is non zero only for adjacent // vertices of m mstSet[v] is false for vertices // not yet included in MST Update the key only // if graph[u][v] is smaller than key[v] if (graph[u][v] && mstSet[v] == false && graph[u][v] parent[v] = u, key[v] = graph[u][v]; } // print the constructed MST printMST(parent, graph); } // Driver's code int main() { int graph[V][V] = { { 0, 2, 0, 6, 0 }, { 2, 0, 3, 8, 5 }, { 0, 3, 0, 0, 7 }, { 6, 8, 0, 0, 9 }, { 0, 5, 7, 9, 0 } }; // Print the solution primMST(graph); return 0; }> |
>
>
Java
// A Java program for Prim's Minimum Spanning Tree (MST)> // algorithm. The program is for adjacency matrix> // representation of the graph> import> java.io.*;> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> class> MST {> >// Number of vertices in the graph> >private> static> final> int> V =>5>;> >// A utility function to find the vertex with minimum> >// key value, from the set of vertices not yet included> >// in MST> >int> minKey(>int> key[], Boolean mstSet[])> >{> >// Initialize min value> >int> min = Integer.MAX_VALUE, min_index = ->1>;> >for> (>int> v =>0>; v if (mstSet[v] == false && key[v] min = key[v]; min_index = v; } return min_index; } // A utility function to print the constructed MST // stored in parent[] void printMST(int parent[], int graph[][]) { System.out.println('Edge Weight'); for (int i = 1; i System.out.println(parent[i] + ' - ' + i + ' ' + graph[i][parent[i]]); } // Function to construct and print MST for a graph // represented using adjacency matrix representation void primMST(int graph[][]) { // Array to store constructed MST int parent[] = new int[V]; // Key values used to pick minimum weight edge in // cut int key[] = new int[V]; // To represent set of vertices included in MST Boolean mstSet[] = new Boolean[V]; // Initialize all keys as INFINITE for (int i = 0; i key[i] = Integer.MAX_VALUE; mstSet[i] = false; } // Always include first 1st vertex in MST. // Make key 0 so that this vertex is // picked as first vertex key[0] = 0; // First node is always root of MST parent[0] = -1; // The MST will have V vertices for (int count = 0; count 1; count++) { // Pick the minimum key vertex from the set of // vertices not yet included in MST int u = minKey(key, mstSet); // Add the picked vertex to the MST Set mstSet[u] = true; // Update key value and parent index of the // adjacent vertices of the picked vertex. // Consider only those vertices which are not // yet included in MST for (int v = 0; v // graph[u][v] is non zero only for adjacent // vertices of m mstSet[v] is false for // vertices not yet included in MST Update // the key only if graph[u][v] is smaller // than key[v] if (graph[u][v] != 0 && mstSet[v] == false && graph[u][v] parent[v] = u; key[v] = graph[u][v]; } } // Print the constructed MST printMST(parent, graph); } public static void main(String[] args) { MST t = new MST(); int graph[][] = new int[][] { { 0, 2, 0, 6, 0 }, { 2, 0, 3, 8, 5 }, { 0, 3, 0, 0, 7 }, { 6, 8, 0, 0, 9 }, { 0, 5, 7, 9, 0 } }; // Print the solution t.primMST(graph); } } // This code is contributed by Aakash Hasija> |
>
>
Python3
закреслена уцінка
# A Python3 program for> # Prim's Minimum Spanning Tree (MST) algorithm.> # The program is for adjacency matrix> # representation of the graph> # Library for INT_MAX> import> sys> class> Graph():> >def> __init__(>self>, vertices):> >self>.V>=> vertices> >self>.graph>=> [[>0> for> column>in> range>(vertices)]> >for> row>in> range>(vertices)]> ># A utility function to print> ># the constructed MST stored in parent[]> >def> printMST(>self>, parent):> >print>(>'Edge Weight'>)> >for> i>in> range>(>1>,>self>.V):> >print>(parent[i],>'-'>, i,>' '>,>self>.graph[i][parent[i]])> ># A utility function to find the vertex with> ># minimum distance value, from the set of vertices> ># not yet included in shortest path tree> >def> minKey(>self>, key, mstSet):> ># Initialize min value> >min> => sys.maxsize> >for> v>in> range>(>self>.V):> >if> key[v] <>min> and> mstSet[v]>=>=> False>:> >min> => key[v]> >min_index>=> v> >return> min_index> ># Function to construct and print MST for a graph> ># represented using adjacency matrix representation> >def> primMST(>self>):> ># Key values used to pick minimum weight edge in cut> >key>=> [sys.maxsize]>*> self>.V> >parent>=> [>None>]>*> self>.V># Array to store constructed MST> ># Make key 0 so that this vertex is picked as first vertex> >key[>0>]>=> 0> >mstSet>=> [>False>]>*> self>.V> >parent[>0>]>=> ->1> # First node is always the root of> >for> cout>in> range>(>self>.V):> ># Pick the minimum distance vertex from> ># the set of vertices not yet processed.> ># u is always equal to src in first iteration> >u>=> self>.minKey(key, mstSet)> ># Put the minimum distance vertex in> ># the shortest path tree> >mstSet[u]>=> True> ># Update dist value of the adjacent vertices> ># of the picked vertex only if the current> ># distance is greater than new distance and> ># the vertex in not in the shortest path tree> >for> v>in> range>(>self>.V):> ># graph[u][v] is non zero only for adjacent vertices of m> ># mstSet[v] is false for vertices not yet included in MST> ># Update the key only if graph[u][v] is smaller than key[v]> >if> self>.graph[u][v]>>0> and> mstSet[v]>=>=> False> > >and> key[v]>>self>.graph[u][v]:> >key[v]>=> self>.graph[u][v]> >parent[v]>=> u> >self>.printMST(parent)> # Driver's code> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >g>=> Graph(>5>)> >g.graph>=> [[>0>,>2>,>0>,>6>,>0>],> >[>2>,>0>,>3>,>8>,>5>],> >[>0>,>3>,>0>,>0>,>7>],> >[>6>,>8>,>0>,>0>,>9>],> >[>0>,>5>,>7>,>9>,>0>]]> >g.primMST()> # Contributed by Divyanshu Mehta> |
>
>
C#
// A C# program for Prim's Minimum> // Spanning Tree (MST) algorithm.> // The program is for adjacency> // matrix representation of the graph> using> System;> class> MST {> >// Number of vertices in the graph> >static> int> V = 5;> >// A utility function to find> >// the vertex with minimum key> >// value, from the set of vertices> >// not yet included in MST> >static> int> minKey(>int>[] key,>bool>[] mstSet)> >{> >// Initialize min value> >int> min =>int>.MaxValue, min_index = -1;> >for> (>int> v = 0; v if (mstSet[v] == false && key[v] min = key[v]; min_index = v; } return min_index; } // A utility function to print // the constructed MST stored in parent[] static void printMST(int[] parent, int[, ] graph) { Console.WriteLine('Edge Weight'); for (int i = 1; i Console.WriteLine(parent[i] + ' - ' + i + ' ' + graph[i, parent[i]]); } // Function to construct and // print MST for a graph represented // using adjacency matrix representation static void primMST(int[, ] graph) { // Array to store constructed MST int[] parent = new int[V]; // Key values used to pick // minimum weight edge in cut int[] key = new int[V]; // To represent set of vertices // included in MST bool[] mstSet = new bool[V]; // Initialize all keys // as INFINITE for (int i = 0; i key[i] = int.MaxValue; mstSet[i] = false; } // Always include first 1st vertex in MST. // Make key 0 so that this vertex is // picked as first vertex // First node is always root of MST key[0] = 0; parent[0] = -1; // The MST will have V vertices for (int count = 0; count // Pick the minimum key vertex // from the set of vertices // not yet included in MST int u = minKey(key, mstSet); // Add the picked vertex // to the MST Set mstSet[u] = true; // Update key value and parent // index of the adjacent vertices // of the picked vertex. Consider // only those vertices which are // not yet included in MST for (int v = 0; v // graph[u][v] is non zero only // for adjacent vertices of m // mstSet[v] is false for vertices // not yet included in MST Update // the key only if graph[u][v] is // smaller than key[v] if (graph[u, v] != 0 && mstSet[v] == false && graph[u, v] parent[v] = u; key[v] = graph[u, v]; } } // Print the constructed MST printMST(parent, graph); } // Driver's Code public static void Main() { int[, ] graph = new int[, ] { { 0, 2, 0, 6, 0 }, { 2, 0, 3, 8, 5 }, { 0, 3, 0, 0, 7 }, { 6, 8, 0, 0, 9 }, { 0, 5, 7, 9, 0 } }; // Print the solution primMST(graph); } } // This code is contributed by anuj_67.> |
>
>
Javascript
> // Number of vertices in the graph> let V = 5;> // A utility function to find the vertex with> // minimum key value, from the set of vertices> // not yet included in MST> function> minKey(key, mstSet)> {> >// Initialize min value> >let min = Number.MAX_VALUE, min_index;> >for> (let v = 0; v if (mstSet[v] == false && key[v] min = key[v], min_index = v; return min_index; } // A utility function to print the // constructed MST stored in parent[] function printMST(parent, graph) { document.write('Edge Weight' + ' '); for (let i = 1; i document.write(parent[i] + ' - ' + i + ' ' + graph[i][parent[i]] + ' '); } // Function to construct and print MST for // a graph represented using adjacency // matrix representation function primMST(graph) { // Array to store constructed MST let parent = []; // Key values used to pick minimum weight edge in cut let key = []; // To represent set of vertices included in MST let mstSet = []; // Initialize all keys as INFINITE for (let i = 0; i key[i] = Number.MAX_VALUE, mstSet[i] = false; // Always include first 1st vertex in MST. // Make key 0 so that this vertex is picked as first vertex. key[0] = 0; parent[0] = -1; // First node is always root of MST // The MST will have V vertices for (let count = 0; count { // Pick the minimum key vertex from the // set of vertices not yet included in MST let u = minKey(key, mstSet); // Add the picked vertex to the MST Set mstSet[u] = true; // Update key value and parent index of // the adjacent vertices of the picked vertex. // Consider only those vertices which are not // yet included in MST for (let v = 0; v // graph[u][v] is non zero only for adjacent vertices of m // mstSet[v] is false for vertices not yet included in MST // Update the key only if graph[u][v] is smaller than key[v] if (graph[u][v] && mstSet[v] == false && graph[u][v] parent[v] = u, key[v] = graph[u][v]; } // print the constructed MST printMST(parent, graph); } // Driver code let graph = [ [ 0, 2, 0, 6, 0 ], [ 2, 0, 3, 8, 5 ], [ 0, 3, 0, 0, 7 ], [ 6, 8, 0, 0, 9 ], [ 0, 5, 7, 9, 0 ] ]; // Print the solution primMST(graph); // This code is contributed by Dharanendra L V.> |
>
>Вихід
Edge Weight 0 - 1 2 1 - 2 3 0 - 3 6 1 - 4 5>
Аналіз складності алгоритму Прима:
Часова складність: O(V2), якщо вхід граф представлений за допомогою списку суміжності , то часова складність алгоритму Прима може бути зменшена до O(E * logV) за допомогою двійкової купи. У цій реалізації ми завжди вважаємо, що остовне дерево починається з кореня графа
Допоміжний простір: O(V)
Інші реалізації алгоритму Прима:
Нижче наведено деякі інші реалізації алгоритму Прима
- Алгоритм Прима для подання матриці суміжності – У цій статті ми обговорили метод реалізації алгоритму Прима, якщо граф представлений матрицею суміжності.
- Алгоритм Прима для подання списку суміжності – У цій статті описується реалізація алгоритму Prim для графів, представлених списком суміжності.
- Алгоритм Прима з використанням пріоритетної черги: У цій статті ми обговорили економічний підхід до впровадження алгоритму Прима.
ОПТИМІЗОВАНИЙ ПІДХІД АЛГОРИТМУ ПРИМА:
інтуїція
- Ми перетворюємо матрицю суміжності в список суміжності за допомогою ArrayList
. - Потім ми створюємо клас Pair для зберігання вершини та її ваги.
- Ми сортуємо список за найменшою вагою.
- Ми створюємо пріоритетну чергу і вставляємо першу вершину та її вагу в чергу
- Тоді ми просто переходимо через його краї та зберігаємо найменшу вагу в змінній, що називається років.
- Нарешті після всіх вершин ми повертаємо ans.
Реалізація
C++
linux м'ята кориця проти мате
#include> using> namespace> std;> typedef> pair<>int>,>int>>pii;> // Function to find sum of weights of edges of the Minimum Spanning Tree.> int> spanningTree(>int> V,>int> E,>int> edges[][3])> {> >// Create an adjacency list representation of the graph> >vectorint>> adj[V]; // Заповнити список суміжності ребрами та їх вагами для (int i = 0; i int u = edges[i][0]; int v = edges[i][1]; int wt = edges[i][2) ]; adj[u].push_back({v, wt});adj[v].push_back({u,wt}); // Створення черги пріоритетів з їх вагами priority_queue pq; відвіданий масив для відстеження вектора відвіданих вершин |
>
>
Java
// A Java program for Prim's Minimum Spanning Tree (MST)> // algorithm. The program is for adjacency list> // representation of the graph> import> java.io.*;> import> java.util.*;> // Class to form pair> class> Pair>implements> Comparable> {> >int> v;> >int> wt;> >Pair(>int> v,>int> wt)> >{> >this>.v=v;> >this>.wt=wt;> >}> >public> int> compareTo(Pair that)> >{> >return> this>.wt-that.wt;> >}> }> class> GFG {> // Function of spanning tree> static> int> spanningTree(>int> V,>int> E,>int> edges[][])> >{> >ArrayList adj=>new> ArrayList();> >for>(>int> i=>0>;i { adj.add(new ArrayList()); } for(int i=0;i { int u=edges[i][0]; int v=edges[i][1]; int wt=edges[i][2]; adj.get(u).add(new Pair(v,wt)); adj.get(v).add(new Pair(u,wt)); } PriorityQueue pq = new PriorityQueue(); pq.add(new Pair(0,0)); int[] vis=new int[V]; int s=0; while(!pq.isEmpty()) { Pair node=pq.poll(); int v=node.v; int wt=node.wt; if(vis[v]==1) continue; s+=wt; vis[v]=1; for(Pair it:adj.get(v)) { if(vis[it.v]==0) { pq.add(new Pair(it.v,it.wt)); } } } return s; } // Driver code public static void main (String[] args) { int graph[][] = new int[][] {{0,1,5}, {1,2,3}, {0,2,1}}; // Function call System.out.println(spanningTree(3,3,graph)); } }> |
>
>
Python3
import> heapq> def> tree(V, E, edges):> ># Create an adjacency list representation of the graph> >adj>=> [[]>for> _>in> range>(V)]> ># Fill the adjacency list with edges and their weights> >for> i>in> range>(E):> >u, v, wt>=> edges[i]> >adj[u].append((v, wt))> >adj[v].append((u, wt))> ># Create a priority queue to store edges with their weights> >pq>=> []> ># Create a visited array to keep track of visited vertices> >visited>=> [>False>]>*> V> ># Variable to store the result (sum of edge weights)> >res>=> 0> ># Start with vertex 0> >heapq.heappush(pq, (>0>,>0>))> ># Perform Prim's algorithm to find the Minimum Spanning Tree> >while> pq:> >wt, u>=> heapq.heappop(pq)> >if> visited[u]:> >continue> ># Skip if the vertex is already visited> >res>+>=> wt> ># Add the edge weight to the result> >visited[u]>=> True> ># Mark the vertex as visited> ># Explore the adjacent vertices> >for> v, weight>in> adj[u]:> >if> not> visited[v]:> >heapq.heappush(pq, (weight, v))> ># Add the adjacent edge to the priority queue> >return> res> ># Return the sum of edge weights of the Minimum Spanning Tree> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >graph>=> [[>0>,>1>,>5>],> >[>1>,>2>,>3>],> >[>0>,>2>,>1>]]> ># Function call> >print>(tree(>3>,>3>, graph))> |
>
>
C#
using> System;> using> System.Collections.Generic;> public> class> MinimumSpanningTree> {> >// Function to find sum of weights of edges of the Minimum Spanning Tree.> >public> static> int> SpanningTree(>int> V,>int> E,>int>[,] edges)> >{> >// Create an adjacency list representation of the graph> >Listint[]>> adj = новий Listint[]>>(); for (int i = 0; i { adj.Add(новий список |
>
>
Javascript
class PriorityQueue {> >constructor() {> >this>.heap = [];> >}> >enqueue(value) {> >this>.heap.push(value);> >let i =>this>.heap.length - 1;> >while> (i>0) {> >let j = Math.floor((i - 1) / 2);> >if> (>this>.heap[i][0]>=>this>.heap[j][0]) {> >break>;> >}> >[>this>.heap[i],>this>.heap[j]] = [>this>.heap[j],>this>.heap[i]];> >i = j;> >}> >}> >dequeue() {> >if> (>this>.heap.length === 0) {> >throw> new> Error(>'Queue is empty'>);> >}> >let i =>this>.heap.length - 1;> >const result =>this>.heap[0];> >this>.heap[0] =>this>.heap[i];> >this>.heap.pop();> >i--;> >let j = 0;> >while> (>true>) {> >const left = j * 2 + 1;> >if> (left>i) {> >break>;> >}> >const right = left + 1;> >let k = left;> >if> (right <= i &&>this>.heap[right][0] <>this>.heap[left][0]) {> >k = right;> >}> >if> (>this>.heap[j][0] <=>this>.heap[k][0]) {> >break>;> >}> >[>this>.heap[j],>this>.heap[k]] = [>this>.heap[k],>this>.heap[j]];> >j = k;> >}> >return> result;> >}> >get count() {> >return> this>.heap.length;> >}> }> function> spanningTree(V, E, edges) {> >// Create an adjacency list representation of the graph> >const adj =>new> Array(V).fill(>null>).map(() =>[]);>> >// Fill the adjacency list with edges and their weights> >for> (let i = 0; i const [u, v, wt] = edges[i]; adj[u].push([v, wt]); adj[v].push([u, wt]); } // Create a priority queue to store edges with their weights const pq = new PriorityQueue(); // Create a visited array to keep track of visited vertices const visited = new Array(V).fill(false); // Variable to store the result (sum of edge weights) let res = 0; // Start with vertex 0 pq.enqueue([0, 0]); // Perform Prim's algorithm to find the Minimum Spanning Tree while (pq.count>0) { const p = pq.dequeue(); const wt = p[0]; // Вага ребра const u = p[1]; // Вершина, з'єднана з ребром if (visited[u]) { continue; // Пропустити, якщо вершину вже відвідали } res += wt; // Додайте вагу краю до результату visited[u] = true; // Позначити вершину як відвідану // Дослідити суміжні вершини для (const v of adj[u]) { // v[0] представляє вершину, а v[1] представляє вагу ребра if (!visited[v[0) ]]) { pq.enqueue([v[1], v[0]]); // Додати сусіднє ребро до черги пріоритетів } } } return res; // Повертає суму ваг ребер мінімального остовного дерева } // Приклад використання const graph = [[0, 1, 5], [1, 2, 3], [0, 2, 1]]; // Виклик функції console.log(spanningTree(3, 3, graph));> |
>
>Вихід
4>
Аналіз складності алгоритму Прима:
Часова складність: O(E*log(E)), де E – кількість ребер
Допоміжний простір: O(V^2), де V - номер вершини
Алгоритм Прима для знаходження мінімального остовного дерева (MST):
Переваги:
- Алгоритм Прима гарантовано знаходить MST у зв’язаному зваженому графі.
- Він має часову складність O(E log V) з використанням бінарної купи або купи Фібоначчі, де E — кількість ребер, а V — кількість вершин.
- Це відносно простий алгоритм для розуміння та реалізації порівняно з деякими іншими алгоритмами MST.
Недоліки:
- Подібно до алгоритму Крускала, алгоритм Прима може працювати повільно на щільних графах із багатьма ребрами, оскільки вимагає повторення всіх ребер принаймні один раз.
- Алгоритм Prim покладається на пріоритетну чергу, яка може займати додаткову пам’ять і сповільнювати роботу алгоритму на дуже великих графіках.
- Вибір початкового вузла може вплинути на вихід MST, що може бути небажаним у деяких програмах.