Враховуючи ан n × n двійкова матриця разом з що складається з 0 с і 1с . Ваше завдання знайти розмір найбільшого '+' форму, яку можна сформувати лише за допомогою 1с .
А '+' форма складається з центральної комірки з чотирма рукавами, що простягаються в усіх чотирьох напрямках ( вгору вниз вліво і вправо ), залишаючись у межах матриці. Розмір a '+' визначається як загальна кількість комірок формуючи його, включаючи центр і всі руки.
Завдання - повернути максимальний розмір будь-якого дійсного '+' в разом з . Якщо ні '+' може бути сформований повернення .
приклади:
введення: з = [ [0 1 1 0 1] [0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1] [1 1 1 0 1] [0 1 1 1 0] ]
Вихід: 9
Пояснення: «+» із довжиною плеча 2 (2 клітинки в кожному напрямку + 1 центр) можна сформувати в центрі килимка.
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1
0 1 1 1 0
Загальний розмір = (2 × 4) + 1 = 9
введення: з = [ [0 1 1] [0 0 1] [1 1 1] ]
Вихід: 1
Пояснення: «+» із довжиною плеча 0 (0 клітинок у кожному напрямку + 1 центр) можна сформувати з будь-якою з одиниць.введення: з = [ [0] ]
Вихід:
Пояснення: немає Можна сформувати знак «+».
[Наївний підхід] - Вважайте кожну точку центром - O(n^4) часу та O(n^4) простору
Перейдіть через комірки матриці одну за одною. Вважайте кожну пройдену точку центром плюса і знайдіть розмір +. Для кожного елемента проходимо вліво вправо вниз і вгору. Найгірший випадок у цьому рішенні відбувається, коли ми маємо всі одиниці.
[Очікуваний підхід] - Попереднє обчислення 4 масивів - O(n^2) часу та O(n^2) простору
The ідея полягає у підтримці чотирьох допоміжних матриць зліва[][] справа[][] зверху[][] знизу[][] щоб зберегти послідовні одиниці в кожному напрямку. Для кожної клітини (i j) у вхідній матриці ми зберігаємо інформацію нижче чотири матриці -
- ліворуч (i j) зберігає максимальну кількість послідовних одиниць до зліва комірки (i j), включаючи комірку (i j).
- праворуч (i j) зберігає максимальну кількість послідовних одиниць до правильно комірки (i j), включаючи комірку (i j).
- top(i j) зберігає максимальну кількість послідовних одиниць at зверху комірки (i j), включаючи комірку (i j).
- дно (i j) зберігає максимальну кількість послідовних одиниць at дно комірки (i j), включаючи комірку (i j).
Після обчислення значення для кожної комірки вищевказаних матриць найбільший'+' буде утворено коміркою вхідної матриці, яка має максимальне значення з урахуванням мінімуму ( ліворуч (i j) праворуч (i j) зверху (i j) знизу (i j) )
Ми можемо використовувати Динамічне програмування щоб обчислити загальну кількість послідовних одиниць у кожному напрямку:
якщо mat(i j) == 1
лівий(i j) = лівий(i j - 1) + 1інакше залишилося (i j) = 0
якщо mat(i j) == 1
top(i j) = top(i - 1 j) + 1;інакше top(i j) = 0;
якщо mat(i j) == 1
bottom(i j) = bottom(i + 1 j) + 1;інакше bottom(i j) = 0;
якщо mat(i j) == 1
right(i j) = right(i j + 1) + 1;інакше право (i j) = 0;
Нижче наведено реалізацію вищезазначеного підходу:
C++// C++ program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming #include
// Java program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming class GfG { static int findLargestPlus(int[][] mat) { int n = mat.length; int[][] left = new int[n][n]; int[][] right = new int[n][n]; int[][] top = new int[n][n]; int[][] bottom = new int[n][n]; // Fill left and top matrices for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (mat[i][j] == 1) { left[i][j] = (j == 0) ? 1 : left[i][j - 1] + 1; top[i][j] = (i == 0) ? 1 : top[i - 1][j] + 1; } } } // Fill right and bottom matrices for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = n - 1; j >= 0; j--) { if (mat[i][j] == 1) { right[i][j] = (j == n - 1) ? 1 : right[i][j + 1] + 1; bottom[i][j] = (i == n - 1) ? 1 : bottom[i + 1][j] + 1; } } } int maxPlusSize = 0; // Compute the maximum '+' size for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (mat[i][j] == 1) { int armLength = Math.min(Math.min(left[i][j] right[i][j]) Math.min(top[i][j] bottom[i][j])); maxPlusSize = Math.max(maxPlusSize (4 * (armLength - 1)) + 1); } } } return maxPlusSize; } public static void main(String[] args) { // Hardcoded input matrix int[][] mat = { {0 1 1 0 1} {0 0 1 1 1} {1 1 1 1 1} {1 1 1 0 1} {0 1 1 1 0} }; System.out.println(findLargestPlus(mat)); } }
# Python program to find the largest '+' in a binary matrix # using Dynamic Programming def findLargestPlus(mat): n = len(mat) left = [[0] * n for i in range(n)] right = [[0] * n for i in range(n)] top = [[0] * n for i in range(n)] bottom = [[0] * n for i in range(n)] # Fill left and top matrices for i in range(n): for j in range(n): if mat[i][j] == 1: left[i][j] = 1 if j == 0 else left[i][j - 1] + 1 top[i][j] = 1 if i == 0 else top[i - 1][j] + 1 # Fill right and bottom matrices for i in range(n - 1 -1 -1): for j in range(n - 1 -1 -1): if mat[i][j] == 1: right[i][j] = 1 if j == n - 1 else right[i][j + 1] + 1 bottom[i][j] = 1 if i == n - 1 else bottom[i + 1][j] + 1 maxPlusSize = 0 # Compute the maximum '+' size for i in range(n): for j in range(n): if mat[i][j] == 1: armLength = min(left[i][j] right[i][j] top[i][j] bottom[i][j]) maxPlusSize = max(maxPlusSize (4 * (armLength - 1)) + 1) return maxPlusSize if __name__ == '__main__': # Hardcoded input matrix mat = [ [0 1 1 0 1] [0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1] [1 1 1 0 1] [0 1 1 1 0] ] print(findLargestPlus(mat))
// C# program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming using System; class GfG { static int FindLargestPlus(int[] mat) { int n = mat.GetLength(0); int[] left = new int[n n]; int[] right = new int[n n]; int[] top = new int[n n]; int[] bottom = new int[n n]; // Fill left and top matrices for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (mat[i j] == 1) { left[i j] = (j == 0) ? 1 : left[i j - 1] + 1; top[i j] = (i == 0) ? 1 : top[i - 1 j] + 1; } } } // Fill right and bottom matrices for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = n - 1; j >= 0; j--) { if (mat[i j] == 1) { right[i j] = (j == n - 1) ? 1 : right[i j + 1] + 1; bottom[i j] = (i == n - 1) ? 1 : bottom[i + 1 j] + 1; } } } int maxPlusSize = 0; // Compute the maximum '+' size for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (mat[i j] == 1) { int armLength = Math.Min(Math.Min(left[i j] right[i j]) Math.Min(top[i j] bottom[i j])); maxPlusSize = Math.Max(maxPlusSize (4 * (armLength - 1)) + 1); } } } return maxPlusSize; } public static void Main() { // Hardcoded input matrix int[] mat = { {0 1 1 0 1} {0 0 1 1 1} {1 1 1 1 1} {1 1 1 0 1} {0 1 1 1 0} }; Console.WriteLine(FindLargestPlus(mat)); } }
// JavaScript program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming function findLargestPlus(mat) { let n = mat.length; let left = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0)); let right = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0)); let top = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0)); let bottom = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0)); // Fill left and top matrices for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < n; j++) { if (mat[i][j] === 1) { left[i][j] = (j === 0) ? 1 : left[i][j - 1] + 1; top[i][j] = (i === 0) ? 1 : top[i - 1][j] + 1; } } } // Fill right and bottom matrices for (let i = n - 1; i >= 0; i--) { for (let j = n - 1; j >= 0; j--) { if (mat[i][j] === 1) { right[i][j] = (j === n - 1) ? 1 : right[i][j + 1] + 1; bottom[i][j] = (i === n - 1) ? 1 : bottom[i + 1][j] + 1; } } } let maxPlusSize = 0; // Compute the maximum '+' size for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < n; j++) { if (mat[i][j] === 1) { let armLength = Math.min(left[i][j] right[i][j] top[i][j] bottom[i][j]); maxPlusSize = Math.max(maxPlusSize (4 * (armLength - 1)) + 1); } } } return maxPlusSize; } // Hardcoded input matrix let mat = [ [0 1 1 0 1] [0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1] [1 1 1 0 1] [0 1 1 1 0] ]; console.log(findLargestPlus(mat));
Вихід
9
Часова складність: O(n²) завдяки чотирьом проходам для обчислення матриць спрямованості та одному останньому проходу для визначення найбільшого «+». Кожен прохід займає O(n²) часу, що призводить до загальної складності O(n²).
Просторова складність: O(n²) завдяки чотирьом допоміжним матрицям (ліворуч праворуч угорі внизу), які займають O(n²) додаткового простору.