LU-декомпозиція матриці — це розкладання даної квадратної матриці на дві трикутні матриці, одну верхню трикутну матрицю та одну нижню трикутну матрицю, так що добуток цих двох матриць дає вихідну матрицю. Він був представлений Аланом Тюрінгом у 1948 році, який також створив машину Тюрінга.

Метод декомпозиції LU для факторизації матриці як добутку двох трикутних матриць має різні застосування, наприклад розв’язування системи рівнянь, яка сама по собі є невід’ємною частиною багатьох додатків, таких як знаходження струму в ланцюзі та розв’язування задач дискретної динамічної системи. ; знаходження оберненого до матриці та знаходження визначника матриці.

Що таке L U декомпозиція?

Квадратну матрицю A можна розкласти на дві квадратні матриці L і U так, що A = L U, де U — верхня трикутна матриця, утворена в результаті застосування методу виключення Гаусса до A, а L — нижня трикутна матриця з діагональними елементами дорівнює 1.

Для A =egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} .

як переробити в фотошопі

Маємо L = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} і U =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

Такий, що A = L U, тобтоleft[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

Тут значення l_{двадцять один}, в_{одинадцять}, тощо можна порівняти і знайти.

Що таке метод елімінації Гауса?

Усунення Гаусса, також відоме як усунення Гаусса-Жордана, — це метод, який використовується в лінійній алгебрі для розв’язування систем лінійних рівнянь і знаходження оберненого до матриці. Він названий на честь математика Карла Фрідріха Гаусса, а також математика Вільгельма Йордана, які зробили значний внесок у його розвиток.

За методом елімінації Гауса:

1. Будь-який нульовий рядок має бути внизу матриці.
2. Перший ненульовий запис кожного рядка має бути праворуч від першого ненульового запису попереднього рядка. Цей метод зводить матрицю до форми рядкового ешелону.

Метод декомпозиції LU

Щоб розбити будь-яку квадратну матрицю на дві трикутні матриці, тобто одна є нижньою трикутною матрицею, а друга є верхньою трикутною матрицею, ми можемо використати наступні кроки.

• Дано набір лінійних рівнянь, спочатку перетворіть їх у матричну форму A X = C, де A — матриця коефіцієнтів, X — матриця змінних, а C — матриця чисел у правій частині рівнянь.
• Тепер зменшіть матрицю коефіцієнтів A, тобто матрицю, отриману з коефіцієнтів змінних у всіх наведених рівняннях так, щоб для ‘n’ змінних ми мали матрицю nXn, до форми ешелону рядків за допомогою методу виключення Гаусса. Отримана таким чином матриця є U.
• Щоб знайти L, у нас є два способи. Перший полягає в тому, щоб прийняти решта елементів як деякі штучні змінні, скласти рівняння за допомогою A = L U і розв’язати їх, щоб знайти ці штучні змінні. Інший метод полягає в тому, що решта елементів є коефіцієнтами множника, через які відповідні позиції стали нульовими в U-матриці. (Цей метод трохи складно зрозуміти словами, але він стане зрозумілим у прикладі нижче)
• Тепер у нас є A (матриця коефіцієнтів nXn), L (нижня трикутна матриця nXn), U (верхня трикутна матриця nXn), X (матриця змінних nX1) і C (матриця чисел nX1 праворуч). частина рівнянь).
• Дана система рівнянь: A X = C. Ми підставляємо A = L U. Таким чином, ми маємо L U X = C. Покладаємо Z = U X, де Z — матриця або штучні змінні, і спочатку розв’язуємо L Z = C, а потім розв’язуємо для U X = Z, щоб знайти X або значення змінних, які були потрібні.

Приклад декомпозиції LU

Розв’яжіть наведену нижче систему рівнянь методом LU-декомпозиції:

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

Рішення: тут ми маємо A =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

і

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

таким, що A X = C. Тепер спочатку розглянемо

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

і перетворити його на форму ешелону рядків за допомогою методу виключення Гаусса. Отже, роблячи

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

ми отримуємо

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

Тепер, роблячи

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

Ми отримуємо

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(Пам’ятайте, що між ними потрібно завжди тримати знак «–», замінити знак «+» на два знаки «–»). Отже, ми отримуємо L =

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

і U =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(зверніть увагу, що в матриці L,

l_{21} = 4

з (1),

l_{31} = 3

є з (2) і

l_{32} = -2

є з (3)) Тепер ми припускаємо Z

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

і розв’язати L Z = C.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

Отже, маємо

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

Розв'язуючи, отримуємо

z_1 = 1

java виходить із циклу

,

z_2 = 2

і

z_3 = 5

. Тепер розв’язуємо U X = Z

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

Тому отримуємо

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

,

-10x_3 = 5 .

Отже, розв’язком заданої системи лінійних рівнянь є

x_1 = 1

,

x_2 = 0.5

,

x_3 = -0.5

а отже, матриця X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

Вправа на розкладання ЛУ

В ЛУ розкладання матриці

| 2 2 |
| 4 9 |

, якщо обидва діагональні елементи U дорівнюють 1, то нижній діагональний елемент l22 L є (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

Рішення див ВОРОТА | GATE-CS-2015 (Набір 1) | Питання 65 .

Поширені запитання щодо декомпозиції LU

Що таке метод декомпозиції LU?

LU-декомпозиція, скорочення від Lower-Upper decomposition, — це метод факторизації матриці, який використовується для розкладання квадратної матриці на добуток нижньої трикутної матриці (L) і верхньої трикутної матриці (U). Його зазвичай використовують для спрощення розв’язування систем лінійних рівнянь і обчислення визначників.

Чому декомпозиція LU унікальна?

LU-декомпозиція є унікальною, оскільки вона надає спосіб однозначно розкласти квадратну матрицю A на нижню та верхню трикутні матриці (L та U), що дозволяє ефективно розв’язувати лінійні системи та обчислювати детермінанти.

string.format java

Як обчислюється декомпозиція LU?

Розклад LU обчислюється за допомогою виключення Гауса, коли ви перетворюєте квадратну матрицю A на нижню (L) і верхню (U) трикутні матриці, виконуючи операції з рядками, одночасно відстежуючи зміни в окремих матрицях. Цей процес є ітеративним і триває до тих пір, поки A не буде повністю розкладено. У статті наведено метод з усіма етапами декомпозиції LU.

Коли декомпозиція LU неможлива?

Розкладання LU може бути неможливим, коли матриця A є сингулярною (необерненою) або коли вона вимагає повороту для стабільності, але опорний елемент стає нульовим, викликаючи ділення на нуль під час процесу розкладання.

Чи є якісь альтернативи декомпозиції LU?

Так, альтернативи декомпозиції LU включають Розкладання Холєського для симетричних позитивно визначених матриць, QR-розкладу для загальних матриць і методів на основі власних значень, таких як спектральна декомпозиція та сингулярна декомпозиція (SVD) для різних операцій із матрицею та додатків.

Чи можна LU-декомпозицію застосувати до неквадратних матриць?

Розкладання LU зазвичай застосовується до квадратних матриць. Для прямокутних матриць частіше використовується QR-декомпозиція. Однак такі варіації, як декомпозиція LUP, також можуть працювати з прямокутними матрицями, де P є матрицею перестановок.