Припустимо, що є два складених твердження, X і Y, які будуть відомі як логічна еквівалентність тоді і тільки тоді, коли таблиця істинності обох з них містить однакові значення істинності у своїх стовпцях. За допомогою символу = або ⇔ ми можемо представити логічну еквівалентність. Отже, X = Y або X ⇔ Y буде логічною еквівалентністю цих тверджень.
За допомогою визначення логічної еквівалентності ми з’ясували, що якщо складені твердження X і Y є логічною еквівалентністю, у цьому випадку X ⇔ Y має бути тавтологією.
Закони логічної еквівалентності
У цьому законі ми будемо використовувати символи «І» та «АБО», щоб пояснити закон логічної еквівалентності. Тут І позначається за допомогою символу ∧, а АБО позначається за допомогою символу ∨. Існують різні закони логічної еквівалентності, які описуються наступним чином:
Ідемпотентний закон:
У ідемпотентному законі ми використовуємо лише одне твердження. Відповідно до цього закону, якщо ми об’єднуємо два однакові висловлювання з символом ∧(і) та ∨(або), то результуюче висловлювання буде самим висловлюванням. Припустимо, що існує складене твердження P. Для позначення ідемпотентного закону використовується наступне позначення:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
Таблиця істинності для цього закону описується наступним чином:
| П | П | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| Т | Т | Т | Т |
| Ф | Ф | Ф | Ф |
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях P, P ∨ P і P ∧ P.
Отже, можна сказати, що P ∨ P = P і P ∧ P = P.
Комутативні закони:
Два твердження використовуються для демонстрації комутативного закону. Відповідно до цього закону, якщо ми об’єднаємо два висловлювання символом ∧(і) або ∨(або), то результуюче висловлювання буде таким самим, навіть якщо ми змінимо положення висловлювань. Припустимо, що є два твердження, P і Q. Пропозиція цих тверджень буде хибною, якщо обидва твердження P і Q хибні. У всіх інших випадках це буде правдою. Для позначення комутативного закону використовується таке позначення:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
Таблиця істинності для цих нотацій описується наступним чином:
| П | Q | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| Т | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Т | Т |
| Ф | Т | Т | Т |
| Ф | Ф | Ф | Ф |
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях P ∨ Q і Q ∨ P.
Отже, ми можемо сказати, що P ∨ Q ? Q ∨ P.
Те саме, що ми можемо довести P ∧ Q ? Q ∧ P.
найкраща машина в світі
Асоціативний закон:
Три твердження використовуються для демонстрації асоціативного закону. Відповідно до цього закону, якщо об’єднати три висловлювання за допомогою дужок символом ∧(і) або ∨(або), то результуюче висловлювання буде таким самим, навіть якщо ми змінимо порядок дужок. Це означає, що цей закон не залежить від груп чи асоціацій. Припустимо, є три твердження P, Q і R. Пропозиція цих тверджень буде хибною, якщо P, Q і R хибні. У всіх інших випадках це буде правдою. Для позначення асоціативного закону використовуються такі позначення:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Таблиця істинності для цих нотацій описується наступним чином:
| П | Q | Р | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Т | Т | Т | Т | Т | Т | Т |
| Т | Т | Ф | Т | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Т | Т | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф | Т | Ф | Т | Т |
| Ф | Т | Т | Т | Т | Т | Т |
| Ф | Т | Ф | Т | Т | Т | Т |
| Ф | Ф | Т | Ф | Т | Т | Т |
| Ф | Ф | Ф | Ф | Ф | Ф | Ф |
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях P ∨ (Q ∨ R) і (P ∨ Q) ∨ R.
Отже, ми можемо сказати, що P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
Те саме, що ми можемо довести P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Закон розподілу:
Ці три твердження використовуються для демонстрації закону розподілу. Відповідно до цього закону, якщо ми об’єднаємо оператор із символом ∨(OR) із двома іншими операторами, які об’єднані символом ∧(AND), то результуючий оператор буде таким самим, навіть якщо ми окремо поєднуємо оператори з символ ∨(OR) і поєднання об’єднаних операторів з ∧(AND). Припустимо, є три твердження P, Q і R. Для позначення закону розподілу використовується наступне позначення:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Таблиця істинності для цих нотацій описується наступним чином:
| П | Q | Р | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| Т | Т | Т | Т | Т | Т | Т | Т |
| Т | Т | Ф | Ф | Т | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Т | Ф | Т | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф | Ф | Т | Т | Т | Т |
| Ф | Т | Т | Т | Т | Т | Т | Т |
| Ф | Т | Ф | Ф | Ф | Т | Ф | Ф |
| Ф | Ф | Т | Ф | Ф | Ф | Т | Ф |
| Ф | Ф | Ф | Ф | Ф | Ф | Ф | Ф |
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях P ∨ (Q ∧ R) і (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Отже, можна сказати, що P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Те саме, що ми можемо довести P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Закон про ідентифікацію:
Для показу закону тотожності використовується один оператор. Відповідно до цього закону, якщо ми об’єднаємо висловлювання та значення True за допомогою символу ∨(або), то це створить значення True. Якщо ми об’єднаємо оператор і значення False із символом ∧(і), то це згенерує сам оператор. Аналогічно ми зробимо це з протилежними символами. Це означає, що якщо ми об’єднуємо висловлювання та значення True із символом ∧(і), тоді він генеруватиме сам висловлювання, а якщо ми об’єднуємо висловлювання та значення False із символом ∨(or), тоді він створюватиме Помилкове значення. Припустимо, що існує складене висловлювання P, істинне значення T і хибне значення F. Наступні позначення використовуються для позначення закону тотожності:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
Таблиця істинності для цих нотацій описується наступним чином:
| П | Т | Ф | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| Т | Т | Ф | Т | Т |
| Ф | Т | Ф | Т | Ф |
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях P ∨ T і T. Отже, можна сказати, що P ∨ T = T. Подібним чином, ця таблиця також містить однакові значення істинності в стовпцях P ∨ F і P. Отже, можна сказати, що P ∨ F = P.
Те саме, що ми можемо довести P ∧ T ? P і P ∧ F ? Ф
Закон доповнення:
Вираз Single використовується в законі доповнення. Відповідно до цього закону, якщо ми об’єднаємо висловлювання з додатковим висловлюванням із символом ∨(or), то воно створить значення True, а якщо ми об’єднаємо ці висловлювання із символом ∧(and), то воно створить значення False значення. Якщо ми заперечуємо істинне значення, воно створить хибне значення, а якщо ми заперечуємо хибне значення, тоді воно згенерує істинне значення.
Панель швидкого доступу до ms word
Наступне позначення використовується для позначення закону доповнення:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
Таблиця істинності для цих нотацій описується наступним чином:
| П | ¬P | Т | ¬T | Ф | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Т | Ф | Т | Ф | Ф | Т | Т | Ф |
| Ф | Т | Т | Ф | Ф | Т | Т | Ф |
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях P ∨ ¬P і T. Отже, можна сказати, що P ∨ ¬P = T. Подібним чином, ця таблиця також містить однакові значення істинності в стовпцях P ∧ ¬P і F. Отже, можна сказати, що P ∧ ¬P = F.
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях ¬T і F. Отже, ми можемо сказати, що ¬T = F. Подібним чином ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях ¬F і T. Отже, ми можемо сказати, що ¬F = T.
Закон подвійного заперечення або закон інволюції
Для показу закону подвійного заперечення використовується одне твердження. Відповідно до цього закону, якщо ми виконуємо заперечення запереченого твердження, то результуюче твердження буде самим твердженням. Припустимо, що є твердження P і заперечне твердження ¬P. Наступне позначення використовується для позначення закону подвійного заперечення:
¬(¬P) ? P
Таблиця істинності для цих нотацій описується наступним чином:
| П | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| Т | Ф | Т |
| Ф | Т | Ф |
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях ¬(¬P) і P. Отже, ми можемо сказати, що ¬(¬P) = P.
Із закону Моргана:
Ці два твердження використовуються для демонстрації закону Де Моргана. Відповідно до цього закону, якщо ми об’єднуємо два висловлювання за допомогою символу ∧(AND), а потім виконуємо заперечення цих об’єднаних висловлювань, тоді результуюче висловлювання буде таким самим, навіть якщо ми поєднуємо заперечення обох висловлювань окремо за допомогою символу ∨( АБО). Припустімо, що є два складених твердження, P і Q. Для позначення закону Де Моргана використовується наступне позначення:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Таблиця істинності для цих нотацій описується наступним чином:
| П | Q | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Т | Т | Ф | Ф | Т | Ф | Ф |
| Т | Ф | Ф | Т | Ф | Т | Т |
| Ф | Т | Т | Ф | Ф | Т | Т |
| Ф | Ф | Т | Т | Ф | Т | Т |
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях ¬(P ∧ Q) і ¬ P ∨ ¬Q. Отже, можна сказати, що ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Те саме, що ми можемо довести ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Закон поглинання:
шехзад пунавала
Ці два твердження використовуються для демонстрації закону поглинання. Відповідно до цього закону, якщо ми об’єднуємо оператор P за допомогою символу ∨(АБО) з тим самим оператором P та одним іншим оператором Q, які об’єднані символом ∧(AND), то результуючий оператор буде першим оператором P. Той самий результат буде згенеровано, якщо ми поміняємо символи місцями. Припустимо, що є два складених висловлювання, P і Q. Для позначення Закону поглинання використовується наступне позначення:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
Таблиця істинності для цих нотацій описується наступним чином:
| П | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| Т | Т | Т | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф | Т | Т | Т |
| Ф | Т | Ф | Т | Ф | Ф |
| Ф | Ф | Ф | Ф | Ф | Ф |
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях P ∨ (P ∧ Q) і P. Отже, ми можемо сказати, що P ∨ (P ∧ Q) ? П.
Подібним чином ця таблиця також містить однакові значення істинності в стовпцях P ∧ (P ∨ Q) і P. Отже, ми можемо сказати, що P ∧ (P ∨ Q) ? П.
Приклади логічної еквівалентності
Існують різні приклади логічної еквівалентності. Деякі з них описані так:
приклад 1: У цьому прикладі ми встановимо властивість еквівалентності для висловлювання, яке описується наступним чином:
p → q ? ¬p ∨ q
рішення:
Доведемо це за допомогою таблиці істинності, яка описується наступним чином:
| П | Q | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
| Т | Т | Ф | Т | Т |
| Т | Ф | Ф | Ф | Ф |
| Ф | Т | Т | Т | Т |
| Ф | Ф | Т | Т | Т |
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях p → q і ¬p ∨ q. Отже, можна сказати, що p → q ? ¬p ∨ q.
приклад 2: У цьому прикладі ми встановлюємо властивість еквівалентності для твердження, яке описується наступним чином:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
рішення:
| П | Q | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| Т | Т | Т | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф | Т | Ф | Ф |
| Ф | Т | Т | Ф | Ф | Ф |
| Ф | Ф | Т | Т | Т | Т |
Ця таблиця містить однакові значення істинності в стовпцях P ↔ Q і (P → Q) ∧ (Q → P). Отже, можна сказати, що P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
приклад 3: У цьому прикладі ми використаємо еквівалентну властивість, щоб довести таке твердження:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ (¬ p ∧ ¬q )
рішення:
Щоб довести це, ми використаємо деякі з вищеописаних законів, і з цього закону ми маємо:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Тепер ми використаємо комутативний закон у наведеному вище рівнянні та отримаємо наступне:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Тепер ми використаємо закон розподілу в цьому рівнянні та отримаємо наступне:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Тепер ми використаємо закон розподілу в цьому рівнянні та отримаємо наступне:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Тепер ми використаємо закон доповнення в цьому рівнянні та отримаємо наступне:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Тепер ми використаємо закон тотожності та отримаємо наступне:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
пуста java
Тепер ми використаємо комутативний закон у цьому рівнянні та отримаємо наступне:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Нарешті, рівняння (1) стає таким:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Нарешті, можна сказати, що рівняння (1) стає p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)