Інтеграція це процес підсумовування малих значень функції в області границь. Це як раз протилежне диференціації. Інтеграція також відома як антипохідна. Ми пояснили інтегрування тригонометричних функцій у цій статті нижче.

Нижче наведено приклад інтеграції даної функції.

наприклад, Розглянемо функцію f(y) = y².

Ця функція може бути інтегрована як:

∫y²ти =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Проте ан невизначений інтеграл є функцією, яка приймає протипохідну іншої функції. Він представлений у вигляді інтегрального символу (∫), функції та похідної функції в кінці. Невизначений інтеграл є легшим способом символізації протипохідної.

Давайте дізнаємося, що таке інтеграція з математичної точки зору, інтеграція функції f(x) задається F(x) і представлена ​​так:

∫f(x)dx = F(x) + C

Тут R.H.S. рівняння означає інтеграл від f(x) по відношенню до x, F(x) називається антипохідною або примітивною, f(x) називається інтегрантом, dx називається інтегруючим агентом, C називається константою інтегрування або довільна константа, а x – змінна інтегрування.

Деякі важливі інтеграли тригонометричних функцій

Нижче наведено список деяких важливих формул невизначених інтегралів на базисі тригонометричні функції пам'ятати наступним чином:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ сек²x dx = tan x + C
• ∫ cosec²x dx = -cot x + C
• ∫ sec x tan x dx = sec x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | сек х | +C
• ∫ cot x dx = ln | гріх х | + C
• ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – cot x | + C

Де dx є похідною від x, C є константою інтегрування, а ln представляє логарифм функції всередині модуля (| |).

Як правило, задачі невизначених інтегралів на основі тригонометричних функцій розв’язуються методом підстановки. Тож давайте докладніше обговоримо метод інтегрування за допомогою підстановки:

Інтегрування шляхом підстановки

У цьому методі інтеграція заміщенням , будь-який заданий інтеграл перетворюється на просту форму інтеграла шляхом заміни незалежної змінної іншими. Розглянемо приклад для кращого розуміння.

Приклад: спростіть ∫ 3x ² гріх (х ³ ) dx.

відповідь:

Нехай I = ∫ 3x²гріх (х³) dx.

Щоб обчислити заданий інтеграл, замінимо будь-яку змінну новою змінною у вигляді:

Нехай x³бути t для заданого інтеграла.

Тоді dt = 3x²dx

тому

I = ∫ 3x²гріх (х³) dx = ∫ sin (x³) (3x²dx)

Тепер замініть t замість x³і dt для 3x²dx у наведеному вище інтегралі.

I = ∫ sin (t) (dt)

лінійний пошук в java

Оскільки ∫ sin x dx = -cos x + C, таким чином

I = -cos t + C

Знову замініть назад x³для t у виразі як:

I = ∫ 3x ² гріх (х ³ ) dx = -cos x ³ + C

Що є шуканим інтегралом.

Отже, загальна форма інтегрування шляхом заміщення:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

Де t = g(x)

Зазвичай метод інтегрування підстановкою надзвичайно корисний, коли ми робимо заміну функції, похідна якої також присутня в підінтегральному вираженні. Завдяки цьому функція спрощується, і тоді для інтегрування функції можна використовувати основні формули інтегрування.

У численні метод інтегрування за допомогою підстановки також відомий як правило зворотного ланцюга або метод U-підстановки. Ми можемо використовувати цей метод, щоб знайти інтегральне значення, якщо воно встановлено в спеціальній формі. Це означає, що даний інтеграл має вигляд:

Детальніше,

• Обчислення в математиці
• Інтеграли
• Інтегральне числення
• Диференціація тригонометричних функцій
• Тригонометричні рівняння

Зразки задач на інтегрування тригонометричних функцій

Задача 1: Визначити інтеграл такої функції: f(x) = cos ³ х.

рішення:

Розглянемо інтеграл заданої функції як

швета тіварі актор

I = ∫ cos³x dx

Його можна переписати так:

I = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Використання тригонометричної тотожності; cos²x = 1 – sin²х, отримуємо

I = ∫ (cos x) (1 – sin²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin²x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²x dx

Оскільки ∫ cos x dx = sin x + C,

Отже, I = sin x – ∫ sin²x cos x dx . . . (1)

Нехай sin x = t

⇒ cos x dx = dt.

Замініть t замість sin x і dt замість cos x dx у другому члені наведеного вище інтеграла.

I = sin x – ∫ t²dt

⇒ I = sin x – t³/3 + C

Знову замініть назад sin x замість t у виразі.

Отже, ∫ cos ³ x dx = sin x – sin ³ х / 3 + С.

Проблема 2: якщо f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) потім визначити ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

рішення:

Розглянемо інтеграл заданої функції як

I = ∫sin²(x) cos³(x) dx

що таке maven

Використання тригонометричної тотожності; cos²x = 1 – sin²х, отримуємо

I = ∫sin²x (1 – sin²x) cos x dx

Нехай sin x = t тоді,

⇒ dt = cos x dx

Підставте їх у наведений вище інтеграл як,

I = ∫ t²(1 – т²) dt

⇒ I = ∫ t²– т⁴dt

⇒ I = t³/ 3 – т⁵/ 5 + С

Замініть назад значення t у наведеному вище інтегралі як,

Отже, я = гріх ³ х / 3 – без ⁵ х / 5 + С.

Задача 3: Нехай f(x) = sin ⁴ (x), тоді знайдіть ∫ f(x)dx. тобто ∫ sin ⁴ (x) dx.

рішення:

Розглянемо інтеграл заданої функції як

I = ∫sin⁴(x) dx

⇒ I = ∫ (без²(x))²dx

Використання тригонометричної тотожності; гріх²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, отримуємо

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Отже, ∫ sin ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Задача 4: Знайти інтегрування old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

рішення:

Розглянемо інтеграл заданої функції як

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Нехай t = tan^-1x . . . (1)

Тепер відрізнимо обидві сторони відносно x:

dt = 1 / (1+x²) dx

Отже, даний інтеграл набуває вигляду:

I = ∫ e^tdt

⇒ I = e^t+ C . . . (2)

знайти заблоковані номери на android

Підставте значення (1) у (2) як:

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Що є необхідною інтеграцією для даної функції.

Задача 5: Знайти інтеграл функції f (x), визначеної як,

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

рішення:

Розглянемо інтеграл заданої функції як

I = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

Нехай (x²– 5) = t . . . (1)

Тепер відрізнимо обидві сторони відносно x як,

2x dx = dt

Підставляючи ці значення в наведений вище інтеграл,

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Підставте рівняння значення (1) у рівняння (2), як,

⇒ I = sin (x²– 5) + С

Це необхідна інтеграція для даної функції.

Задача 6: Визначте значення заданого невизначеного інтеграла, I = ∫ cot (3x +5) dx.

рішення:

Даний інтеграл можна записати як

I = ∫ cot (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Нехай t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Таким чином,

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1/3) ln | t | + C

Замініть t на sin (3x+5) у наведеному вище виразі.

I = (1/3) ln | гріх (3x+5) | + C

Це необхідна інтеграція для даної функції.

Інтеграція тригонометричних функцій – поширені запитання

Що таке інтегрування тригонометричної функції?

Інтегрування тригонометричних функцій, як випливає з назви, є процесом обчислення інтегрування або першопохідної тригонометричних функцій. Це зворотний процес диференціювання тригонометричних функцій.

Що таке основні тригонометричні функції?

Основними тригонометричними функціями є:

рядок до логічного java

• синус (без),
• косинус (cos),
• тангенс (tan),
• котангенс (коліно),
• січна (сек), і
• косеканс (csc).

Як об’єднати функції синус (sin) і косинус (cos)?

Щоб інтегрувати функції синуса та косинуса, ми можемо використовувати такі формули:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Де C є константою інтегрування.

Що таке інтегрування тангенса (tan) тригонометричної функції?

Інтеграл функції тангенса задається таким чином:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

Де,

• пров представляє натуральний логарифм, і
• C є константою інтегрування.

Як знайти інтеграл секансу (Sec) тригонометричної функції?

Інтеграл січної функції задається як:

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

Де,

• пров представляє натуральний логарифм, і
• C є константою інтегрування.

Що таке інтегрування котангенса (cot) тригонометричної функції?

Інтеграл функції котангенса можна обчислити за такою формулою:

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C

Де,

• пров представляє натуральний логарифм, і
• C є константою інтегрування.

Як знайти інтеграл функції косеканс (cosec)?

Інтеграл косекансної функції задається як:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – cot x | + C

Де,

• пров представляє натуральний логарифм, і
• C є константою інтегрування.