Інтеграл sin x дорівнює -cos(x) плюс константа (C). Він представляє площу під синусоїдальною кривою. Функція повторюється кожні 2π радіан через її періодичний характер. У цій статті пояснюється інтеграл функції синус, показується його формула, доказ і застосування для знаходження конкретних визначених інтегралів. Крім того, у ньому згадуються вирішені проблеми та запитання, які часто задаються.

Зміст

• Що таке інтеграл Sin x?
• Інтеграл Sin x Формула
• Графічне значення інтеграла Sin x
• Інтеграл Sin x Доведення методом підстановки
• Визначений інтеграл Sin x
• Інтеграл Sin x Від 0 до π
• Інтеграл Sin x Від 0 до π/2

Що таке інтеграл Sin x?

Інтеграл sin(x) відносно x дорівнює -cos(x) плюс константа (C). Це означає, що коли ви диференціюєте -cos(x) відносно x, ви отримуєте sin(x). Константа інтегрування (C) представляє будь-яке додаткове постійне значення, яке може бути присутнім у вихідній функції.

Інтеграл sin x фізично означає площу, охоплену кривою синуса.

вчись,

• Обчислення в математиці
• Інтеграція в мат

Інтеграл Sin x Формула

Інтеграл від функції синуса ∫ sin(x) dx дорівнює -cos(x) + C, де C — константа інтегрування.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Тут cos(x) — функція косинуса, а C — константа, яка додається до першопохідної, оскільки похідна константи дорівнює нулю.

Графічне значення інтеграла Sin x

Інтеграл sin(x) від (a) до (b) має графічне значення з точки зору обчислення площі під кривою в межах цього інтервалу. Давайте дослідимо графічне значення, використовуючи як метод визначеного інтеграла, так і геометричний метод.

Метод визначеного інтеграла

Інтеграл sin(x) від (a) до (b) визначається як:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Це являє собою позначену область між кривою sin(x) і віссю x від (a) до (b).

Геометричний метод

Розглянемо графік sin(x) від (a) до (b). Площу під кривою можна розділити на дві області:

• Позитивна область: Області, де sin(x) додатний (над віссю x). Це сприяє створенню позитивної площі під кривою.
• Негативна область: Ділянки, де sin(x) негативний (нижче осі x). Це сприяє негативній площі під кривою.

Загальна площа є алгебраїчною сумою цих додатних і від’ємних площ.

приклад:

Щоб знайти площу під кривою sin(x) від ( a = 0 ) до ( b = π/2 ).

Використовуючи метод визначеного інтеграла:

∫₀^p/2sin x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Це площа під кривою зі знаком.

За допомогою геометричного методу:

Графік sin(x) від 0 до (π/2) є чвертю кола, а площа справді дорівнює 1.

Інтеграція Sin x Доведення методом підстановки

Щоб знайти інтеграл sin(x) за допомогою методу підстановки, розглянемо інтеграл:

Одна поширена заміна тригонометричних інтегралів полягає в тому, що u дорівнює виразу всередині тригонометричної функції. У цьому випадку нехай u = cos(x). Потім обчисліть du через dx:

du/dx = -sin(x)

Тепер вирішіть для dx:

dx = -1/sin(x) du

Тепер підставте u та dx через u у вихідний інтеграл:

Інтеграл sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Спростіть вираз:

Інтеграл sin(x) dx = -∫ du

Тепер інтегруємо відносно u:

Інтеграл sin(x) dx = -u + C

Тепер замініть u, яке було визначено як cos(x):

Інтеграл sin(x) dx = -cos(x) + C

Таким чином, використовуючи метод підстановки, ми прийшли до того ж результату, що й у доведенні похідними. Інтеграл sin(x) дорівнює -cos(x) + C, де C є константою інтегрування.

Визначений інтеграл Sin x

Визначений інтеграл sin(x) від a до b, позначається як

∫ ^b _a sin(x) dx = [-cos(b)-(-cos(a)]

Він обчислює чисту площу під синусоїдальною кривою між x = a і x = b, враховуючи напрямок площі над і під віссю x.

вчись, Визначений інтеграл

Інтеграл Sin x Від 0 до пі

Щоб знайти інтеграл sin(x) від 0 до π, ми можемо використати першу похідну. Першопохідною від sin(x) є -cos(x). Оцінюючи цю першопохідну від 0 до π, ми отримуємо:

∫₀^піsin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^піsin(x) dx = [-(-1) + 1]

Оскільки cos(π) дорівнює -1, а cos(0) дорівнює 1, вираз спрощується до:

∫₀^піsin(x) dx = 1 + 1 = 2

Таким чином, інтеграл sin(x) від 0 до π дорівнює 2. Це представляє знакову площу між кривою sin(x) і віссю x від x = 0 до x = π.

Інтеграл Sin x Від 0 до пі /2

Визначений інтеграл представляє площу зі знаком між кривою та віссю х на заданому інтервалі.

Інтеграл задається як:

∫₀^p/2sin(x) dx

Використання першопохідної -cos(x) для обчислення інтеграла:

15 із 100,00

cos(x) |[від 0 до π/2]

Тепер замініть π/2 на -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Нагадаємо, що cos(π/2) = 0 і cos(0) = 1. Підставте ці значення:

-(0) – (-1)

Спростіть:

0 + 1 = 1

Певний інтеграл sin(x) від 0 до π/2 дорівнює 1. Це означає, що площа зі знаком між синусоїдальною кривою та віссю x від x = 0 до x = π/2 дорівнює 1.

Також перевірте

• Інтегрування Cos x
• Інтеграція Tan x
• Формули інтегрування

Інтеграл Sin x – розв’язані приклади

приклад 1: Знайдіть інтеграл sin2(x)

рішення:

Для без²(x), можна використати формулу з cos(2x).

∫гріх²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Розділіть його на дві частини:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

Інтеграл dx — це просто x. Інтеграл від cos(2x) передбачає використання формули sin(2x). Це виглядає так:

= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Об’єднайте два результати та додайте константу C, щоб врахувати будь-яку потенційну константу у вихідному інтегралі.

(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

приклад 2: Знайдіть інтеграл від синуса ³ х.

рішення:

Інтеграл від синуса в кубі відносно x можна записати так:

∫гріх³x dx

Використовуйте тригонометричну тотожність, щоб спростити:

без³x = [1 – cos²(x)] sin(x)

∫[1 – cos²(x)] sin(x) dx

Розподіліть і відокремте терміни:

∫[sin x – sin x. cos²(x)]dx

Інтегруйте кожен термін окремо:

-cos(x) + 1/3 cos³х + С

Тут ( C ) представляє константу інтегрування.

Приклад 3: Знайдіть інтеграл sin x ^-1

рішення:

Інтеграл sin(x)^-1можна виразити за допомогою функції арксинуса. Інтеграл визначається як:

∫1/sin x = -ln|cosec x + cot x| + C

Тут (C) є константою інтегрування.

Приклад 4: Знайдіть інтеграл sin x ²

рішення:

Інтеграл sin²(x) відносно x можна розв’язати за допомогою тригонометричної тотожності.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Тепер інтегруйте кожен термін окремо:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C

де ( C ) – постійна інтегрування.

Приклад 5: Знайдіть інтеграл sin x ^-3

рішення:

Інтеграл sin(x)^-3відносно (x) передбачає тригонометричну заміну. Ось як ви можете це вирішити:

Нехай u = sin(x), тоді du = cos(x)dx

Тепер підставте їх в інтеграл:

∫sin(x)⁻³dx = ∫u⁻³з

Тепер проінтегруйте відносно (u):

∫u⁻³ти = u⁻²/−2​ + C

Замініть назад через (x), використовуючи u = sin(x):

∫sin(x)⁻³dx = -1/2sin²х + С

Отже, інтеграл sin(x)^-3відносно (x) становить -1/2sin²x , де (C) – постійна інтегрування.

Приклад 6: Знайдіть інтеграл sin, обернений x

рішення:

Знайти інтеграл гріха^-1(x) відносно (x) можна використовувати інтегрування частинами. Формула інтегрування частинами:

∫udv=uv−∫vdu

u = гріх^-1(x) і dv = dx

Тепер знайдіть (du) і (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Застосуйте формулу інтегрування частинами:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Тепер інтегруйте решту члена з правого боку. Ви можете використати заміну, поклавши (t = 1 – x²), тоді (dt = -2x , dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Тепер замініть назад у термінах (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Зібравши все разом:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

де (C) – постійна інтегрування.

Приклад 7: Знайдіть інтеграл від x sin 2x dx

рішення:

Щоб знайти інтеграл від xsin(2x) відносно (x), можна використати інтегрування частинами. Формула інтегрування частинами задається так:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x і dv = sin(2x)dx

Тепер знайдіть (du) і (v):

du = dx і v = -1/2cos(2x)

Застосуйте формулу інтегрування частинами:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Тепер інтегруйте решту члена з правого боку. Інтеграл від -1/2cos(2x) можна знайти, припустивши (u = 2x) і використовуючи просту заміну:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Підставте цей результат назад у вихідне рівняння:

-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C

Отже, інтеграл від xsin(2x) відносно (x) дорівнює -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, де (C) є константою інтегрування.

Приклад 8: Знайдіть інтеграл sin x cos 2x

рішення:

Щоб знайти інтеграл sin(x) cos(2x) відносно (x), можна використати інтегрування частинами. Формула інтегрування частинами:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) і dv = cos(2x)dx

Тепер знайдіть (du) і (v):

du = cos(x) dx і v = 1/2 sin(2x)

Застосуйте формулу інтегрування частинами:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Тепер інтегруйте решту члена з правого боку. Ви можете знову використати інтеграцію за частинами:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Продовжуйте процес, доки інтеграл не стане керованим. Після спрощення ви отримаєте кінцевий результат:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

де (C) – постійна інтегрування.

Інтеграл Sin x – практичні запитання

Q1. Знайдіть інтеграл від синуса від 0 до пі.

Q2. Обчисліть інтеграл від синуса від -π/2 до π/2.

Q3. Знайдіть значення інтеграла від синуса плюс косинуса від x.

Q4. Обчисліть інтеграл синуса (2x) від 0 до π/3.

Q5. Знайдіть першу похідну синуса (3x) по x.

Q6. Обчисліть інтеграл від синуса (2x) від π до 2π.

Q7. Проінтегруйте функцію синус у квадраті відносно x.

Q8. Обчисліть інтеграл синуса в квадраті від -π/4 до π/4.

Інтеграл Sin x – Часті запитання

Що таке інтеграл Sin x?

Інтеграл sin x дорівнює -cos x

Що таке Sin x?

Sin(x) — це тригонометрична функція, яка представляє відношення довжини сторони, протилежної куту, до довжини гіпотенузи в прямокутному трикутнику.

Що таке діапазон Sin x?

Діапазон Sin x становить [-1, 1].

Що таке інтеграл і похідна Sin x?

Інтеграл від sin x дорівнює -cos x, а похідна від si x дорівнює cos x

Що таке інтеграл Sin x і Cos x?

Інтеграл від sin x дорівнює -cos x + C, а інтеграл від cos x дорівнює sin x

Що таке інтеграл від Sin 2x?

Інтегрування sin 2x є (-cos2x)/2 + c